BLACK-SCHOLES期权定价模型

(完整)BLACK-SCHOLES期权定价模型BLACK—SCHOLES期权定价模型BLACK—SCHOLES期权定价模型Black-Scholes（Black-ScholesOptionPricingModel)，199710Black-Scholes（Black-ScholesOptionPricingModel)，19971010九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者,哈佛商学院教授罗伯特·默顿（RoBertMerton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(MyronScholes)。他们创立和发展的布莱克-斯克尔斯期权定价模型(BlackScholesOptionPricingModel）为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础，特别是为评估组合保险成本、可转换债券定价及认股权证估值等提供了依据。BLACK—SCHOLES期权定价模型—简介BLACK—SCHOLES期权定价模型—简介斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·(FischerBlack)70价的复杂公式（看涨和看跌两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。所以,布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型（含红利的价的复杂公式（看涨和看跌两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。所以,布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型（含红利的协会（TheRoyalSwedishAcademyofSciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。BLACK-SCHOLES期权定价模型—其假设条件(一)B—S模型有5个重要的假设1、金融资产收益率服从对数正态分布;（股票价格走势遵循几何布朗运动）2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦,即不存在税收和交易成本；4、该期权是欧式期权,即在期权到期前不可实施；5、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得（该假设后被放弃)；6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷。(二）B-S(完整)BLACK-SCHOLES期权定价模型c)LerTN(d)1 2其中:d/L)2/1 Td/L)2/2 T

d T1C-期权初始合理价格L—期权交割价格S—T—期权有效期r-连续复利计无风险利率2—年度化方差（波动率）N（）—正态分布变量的累积概率分布函数 ，（标准正态分布μ=0）在此应当说明两点：第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。一个简单的或不连续的无风险利率(设为r0)一般是一年复利一次,而rr0必须转化为rr=l（1+r0

或r0

=er—1r0=0。06，则r=ln（1+0.06）=0.05831005。106，该r0=0.06第二，T365100T=100/365=0。274。BLACK—SCHOLES期权定价模型—推导运用（一)B—S模型的推导B-S模型的推导是由看涨期权入手的，对于一项看涨期权,其到期的期值是:E[G]=E［max（ST—L，O)］其中,E［G］—看涨期权到期期望值-到期时交易金融资产的市场价值L—期权交割价（期权费)(完整)BLACK-SCHOLES期权定价模型到期有两种可能情况：1S>L，则期权实施以进帐(In-the—moneymax（S—L，O）=S-Lt t t2S〈L,(Out—of-the-money)失效，且max(S—L，O）t t=0从而:其中:P：(S〉L)E[S|S>L］：既定(S〉L)下SE[G］按有效期无风险连续复利

贴现,得期权t t t t t t初始合理价格:C=P×E-r×（E［S｜S〉L]-L)（*)这样期权定价转化为确定PE［S｜S>L］.t t t t t首先,)与现价比值的对数值，即t收益=lnS由假设1收益服从对数正态分,即所以=μ，t t t t tS可以证明,相对价格期望值大于eut=eut+2T2=eutt t tσ2），且有σt=σT其次,求(St

〉L）的概率P，也即求收益大于（LS)的概率。已知正态分布有性质：Pr06［ζ>χ]=1-N(χ-μσ）其中:ζ—χ—关键值μ—ζ的期望值σ—ζ的标准差所以：：=P06［S>］=P06[lnS/]〉lnLL−lnL− − σ）σTn4由对称性：1−（）t t=(−）=NlnS+（− σ2）σTar。SL下S｜S处于正态分布的Lt t t tE[St

|S>=S•erT•N(dt 1

）N（d）2其中：d1

=［ln（S/L）+（γ+2/2）T]/σTd =ln（S/L)+（γ—2/2）T/σT=d2

—σT最后，将P、E［St

｜S]>L]代入(*)式整理得B—StC=SN(d1

LerTN(d)2(完整)BLACK-SCHOLES期权定价模型(二)B-S模型应用实例（以欧式期权看涨期权为例）题目：假设市场上某股票现价S为164元，无风险连续复利利率γ是0.0521，市场方差2为0。0841（=0.29 ），实施价格（行权价格是165元，有效期T为0。0959（即为35天）的期权初始合理价格（权费）是多少？公式回忆：d/L)2/1 Td/L)2/2 T

d T1(完整)BLACK-SCHOLES期权定价模型c)LerTN(d)1 2计算步骤如下:①d =［ln（164/165)+(0.0521+0.0841/2）×0.0959］/（0.29×0.0959）=0.03281②d =0.0328—0。29×0.0959=—0。5702③N（0。03）=0.5120N（—0。06）=1—N(0.06）=1—0。5239=0.4761④C=164×0。5120-165×e0.0521×0.0959×0。4761=5.803因此理论上该期权的合理价格是5。803。如果该期权市场实际价格是5.75，那么这意味着该期权有所低估。在没有交易成本的条件下，购买该看涨期权有利可图.（三）看跌期权定价公式的推导B—S可以推移项得:将B-S模型代入整理得：此即为看跌期权初始价格定价模型.BLACK—SCHOLES期权定价模型-模型发展B-S模型只解决了不分红股票的期权定价问题,默顿发展了B-S模型，使其亦运用于支付红利的股票期权。(完整)BLACK-SCHOLES期权定价模型(一）存在已知的不连续红利假设某股票在期权有效期内某时间T（即除息日)支付已知红利D，只需将该红t利现值从股票现价S中除去,将调整后的股票价值S′代入—S’=−Drt内存在其它所得，依该法一一减去。从而将B-S模型变型得新公式:（δ）0.04，164，164×004=656.41646.56。因为股在此红利现值为：S(1-E—δT),所以S′=S•E—δT，以S′代S，得存在连续红利支付的期权定价公式:C=S•E—δT•N(D1