1.1.1集合的概念与表示导学案

集合的概念与表示（一）（1分钟）.掌握集合中元素的三个特性，能够用其解决相关问题，提高分析问题和解决问题的能力，培养应用意识.2,掌握集合的两种常用表示方法：列举法和描述法，培养数学抽象素养..能正确使用常用数集及其记法，熟使练用区间来表示集合.（1分钟）《渔民与数学家的故事》一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义.于是，他请教数学家：“尊敬的先生，请你告诉我，集合是什么？”集合是不加定义的概念，数学家很难回答那位渔民.有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，轻轻一拉，许多鱼在网中跳动.数学家非常激动，高兴地告诉渔民：“这就是集合!”问题1：数学家说的集合是指什么？问题2：网中的“大鱼”能构成集合吗？（24分钟）精讲1集合的概念【问题情境】集合论是现代数学的基础，创始者是德国数学家——康托尔・康托尔在研究函数论时产生了探索无穷集和超穷数的兴趣.康托尔肯定了无穷数的存在，并对无穷问题进行了哲学的讨论，最终建立了较完善的集合理论，为现代数学的开展打下了坚实的基础.【问题1］初中我们接触了哪些集合？【答案】（1）数集：自然数的集合，有理数的集合，.…（2）点集：圆（同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合），线段的垂直平分线（到一条线段的两个端点的距离相等的点的集合），….【问题2】所有的“美景”能否构成集合？【答案】不能构成集合.【抽象概括】.一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫作集合..集合与元素的符号语言：通常用大写拉丁字母4B,C,…表示集合，小写拉丁字母a,b,c9・・•表兀素..常用的数集及其记法常用的数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或N+ZQR【学以致用】【例1】(1)以下元素的全体能组成集合的是0.A.著名数学家B.很大的数C.聪明的人D.小于3的实数(2)判断以下元素的全体能否组成集合.①不超过20的非负数；②方程f-9二0在实数范围内的解；③某校2020年在校的所有高个子同学；④旧的近似值的全体.【方法指导】根据集合的定义判断.【解析】(1)只有选项D有明确的标准，能组成一个集合，应选D.(2)①对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能组成集合；②能组成集合；③“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能组成集合；④“旧的近似值”没有明确精确到什么程度，因此不能判断一个数是不是它的近似值，所以不能组成集合.【答案】⑴D【方法小结】判断每个元素是否具有确定性是判断其能否构成集合的关键，而判断一个元素是不是确定的，关键就是要找到一个明确的衡量标准，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.【针对训练】1.以下元素的全体不能组成集合的是().A.中国古代四大创造B.地球上的小河流C.方程的实数解D.周长为10cm的三角形【解析】因为没有明确的标准确定什么样的河流称为小河流，所以地球上的小河流不能组成集合.【答案】B.给出以下说法：①集合N与集合N*是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合N中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素.其中正确说法的个数是.【解析】由数集的性质知①③错误，②④正确.【答案】2精讲2集合的表示方法【问题情境】开学第一天学习了集合，老师布置了一道作业：把所有满足不等式3/l<2x+9的正整数用集合表示.结果王浩宇、李琦、张瑜、谢芳四位同学的答案如下：姓名答案王浩宇{1,2,3,4,5,6,7,8,9)李琦“|烂9,x£N*}张瑜{烂9,x£N*}谢芳{x£N［烂9}【问题1】王浩宇的答案是否正确?他用了什么方法表示？【答案】正确，他是先解不等式，再找出正整数解，最后用列举法表示.【问题2】小组讨论李琦、张瑜、谢芳三位同学的答案有几个是正确的？【答案】李琦和谢芳的答案都是正确的，用描述法要注意花括号内用一竖杠分开，竖杠左边的是元素，竖杠右边的是元素满足的条件.【问题3】任何一个集合是否既能用列举法也能用描述法表示?假设不能，举例说明.【答案】不一定，一般有有限个元素的集合或有无限个元素且元素之间有明显规律的集合可用列举法表示，而有无限个元素且元素间无规律可循的集合不能用列举法表示，如不等式3x-l<2x+8的解组成的集合只能用描述法表示为3烂9}.【抽象概括】集合常用的表示法(1)列举法：在花括号内把集合的所有元素一一列举出来，特点是适用于元素的个数较少的集合.(2)描述法：用集合中元素的属性表示集合，其一般形式是{Rx所具有的属性}.【学以致用】【例2】用适当的方法表示以下集合：（1）方程后=«的所有实数解组成的集合；（2）方程组卜+y=i’的解组成的集合.［x-y--1【方法指导】（1）既可以用描述法表示，也可以求出方程的解，用列举法表示；（2）注意到点是用坐标表示，采用列举法表示.【解析】（1）（法一）用描述法表示为｛x£R|V^=«｝.（法二）由旧=«,解得广0或41,故用列举法表示为｛0,1｝.（2）解方程组卜+y=L得卜二°'因此用列举法表示为｛（0,1）｝.【方法小结】用列举法描述集合时要注意元素的不重不漏，不计次序，且元素与元素之间用隔开用描述法表示集合时，常用的模式是｛x|p（x）｝,其中x代表集合中的元素，p（x）为集合中元素所具备的共同特征.要注意竖线不能省略，同时表达要力求简练、明确.【针对训练】1.分别用列举法和描述法表示方程组尸“+y=2,的解集.3y=27［解析］方程组序（y=上的解是卜=3；（2%-3y=27（y=-7.用描述法表示该集合为［（刈y）|^xty"2,I用列举法表示该集合为｛（3,-7）｝.（|12x-3y=27）2.集合人二国加米生。，x£R｝,假设集合A中有两个元素，求实数。的取值集合.【解析】因为集合A中有两个元素，所以关于x的方程"2_344=0有两个不相等的实数根，所以解得"尚且存0.(J=9+16a>0,16故实数a的取值集合是｛硝>京且aW0｝.精讲3元素与集合的关系【问题情境】把高一年级所有的同学组成的集合记为4〃是高一⑺班的同学，h是高二⑺班的同学.【问题1】请问〃与A,8与A之间各自有什么关系？【答案】—A,【问题2】由2,3,4,5,卜3|构成的集合里是不是有5个元素？【答案】由2,3,4,5,卜3|构成的集合表示为M=｛2,3,4,5),只有4个元素.【问题3】问题2中卜3|在集合M中吗?-3在集合M中吗？【答案】因为卜3|二3,所以卜3|在集合M中；集合M中没有-3,所以-3不在集合M中.【抽象概括】.集合中元素的三要素确定性：判断每个对象是否具有确定性是判断其能否组成集合的关键，而判断一个对象是不是确定的，关键就是要找到一个明确的衡量标准.互异性：集合中的任何两个元素都是不相同的.无序性：在用列举法表示集合时，元素的排列顺序没有关系，例如，集合｛1,2,3｝同时也可以写成｛3,2,1｝和｛2,1,3)..元素与集合的关系：如果。是集合A中的元素，就说，属于集合A,记作qGA；如果。不是集合A中的元素，就说〃不属于集合A,记作NA.含有有限个元素的集合叫作有限集；含有无限个元素的集合叫作无限集；不含任何元素的集合叫作空集，记作【学以致用】【例3】集合A=｛x|x=a+或〃，m,〃£Z｝.(1)判断0,(1+遮F―石与A的关系；3-V2(2)假设X1，X2^A,试探究九1尤2，X1+X2与A的关系.【方法指导】根据元素与集合关系的定义判断.【解析】⑴易知0=0+0乂/，且0£Z,所以0WA.因为(1+&)2=3+2鱼，且3,2ez,所以(1+鱼产0人ffl1_3+V2_3V2□3lj-ry因为康=匹历而历=1+3,且Tfz，所以会建A.3-V2(2)因为X1，所以可设％1=加+加〃1，%2=根2+鱼〃2，且加1，〃1，m2,〃2£Z,所以用工2=(如+鱼〃1)(m2+夜〃2)-mI加2+鱼。%2〃1+根1〃2)+2〃1〃2=(m।加2+2〃1〃2)+迎(加2〃1+m1〃2).因为如〃22+2〃i〃2£Z,/%2〃1+/%1〃2£Z,所以X\X2^A.因为Xl+X2=(m1+m2)+鱼(〃1+〃2)，mi+m2^Z,所以Xi+%2£4【方法小结】判断元素与集合关系的两种方法：(1)直接法，假设集合中的元素是直接给出的，那么只要判断该元素在集合中是否出现即可.(2)推理法，对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确集合中的元素具有什么特征.【针对训练】集合4={。+1,a2-1},假设0£4那么实数，的值为.【解析】・・・0£A,・・・0=。+1或0=/-1.当0=〃+1时，〃=-1,此时a2-1=0,A中元素重复，不符合题意.当〃2一1=0时,.=1或々=-1(舍去),/.a-1,此时,A=[2,0},符合题意.【答案】1精讲4区间【问题1】区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？【答案】不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示.【问题2]“8”是数吗?如何正确使用“00”？【答案】“00”读作“无穷大”，是一个符号，不是数.以"-8"或"+00”作为区间一端时，这一端必须是小括号.【抽象概括】区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表：定义名称符号数轴表示TOC\o"1-5"\h\z{x\a<x<b}闭区间b]*1—>abx{x\a<x<b}开区间(a,b)abx{x\a<x<b}半闭半开区间[。，b)Labx定义名称符号数轴表示{x\a<x<b}半开半闭区间(。，b]abx{x\x>a}[a,+oo)>ax{x\x>a](q,+8)>ax{x|烂a}(-oo,a]>ax{x\x<a](-oo,d)axR(-00,+oo)取遍数轴上所有的值特别提醒：(1)“8”读作无穷大，是一个符号，不是数，以-00或+8作为区间一端时,这一端必须是小括号.(2)区间是数集的另一种表示方法，区间的两个端点必须保证左小、右大.【学以致用】【例4】假设口3〃-1]为一确定区间，那么，的取值范围是.【方法指导】根据左端点值小于右端点值进行求解.【解析】由题意得3如1>〃，那么。【答案】G，+8)【针对训练】用区间表示以下数集：(1){x|x>1}=；(2){x|2<%<4}=【答案】⑴口,+8)⑵(2,4](10分钟)探究：点集在集合中的表示与应用【思考1】集合3〃(x)}与集合{(x,y)|〃(x，y)}有什么不同?它们代表的元素有何区别？【答案】集合{班⑴}表示数集,代表的元素为数；集合{(x,y)\p(x9>)}表示点集,代表的元素为点.【思考2】假设点(mb)£{(x,y)\p(x,y)},那么点3，〃)£{(%,y)\p(x,y)},对吗?【答案】(〃，加是一个有序实数对，位置是不能随便互换的，比方在平面直角坐标系中，点的坐标(1,2)与(2,1)是不同的.【例5】二次函数产jA2x+i,画出它的函数图象并思考以下问题：(1)该函数图象上所有的点能否组成一个集合?其元素用什么表示？(2)选择合适的方法表示该函数图象上所有的点组成的集合.【解析】画出函数产f-2x+l的图象，如下图.(1)因为二次函数产P2x+1的图象是确定的研究对象，所以可以组成一个集合，集合中的元素是函数图象上的点，点的描述可以用坐标(x,y)表示.(2)因为函数图象中的点(心)，)满足等式y=f-2x+l,所以采用描述法表示比拟合适，表示如下：{(x,y)|y=f-2x+1}.【探究小结】将平面内的点与平面直角坐标系中的坐标建立对应关系，每一个点只对应一个坐标，同时每一个坐标在平面内对应的点只有一个，从而平面内的点可以用坐标表示，解决了集合中元素的表示问题，提升了数学抽象素养.【变式训练】将以下集合用符号语言表示出来：(1)平面内第一象限内的所有点组成的集合；(2)二次函数产f-2x-3的图象与冗轴的所有交点组成的集合；(3)如图，阴影区域内所有的点组成的集合(含边界).【解析】(1)第一象限内的点(x,y)满足条件x>0且)，>0,故集合可表示为{(x,y)|x>0,)>0}.(2)令y=0,那么/々工乌二。，解得或卡3,二次函数产炉-2上3的图象与无轴有两个交点，分别为(-1,0),(3,0),故采用列举法表示为{(-1,0),(3,0)}.(3)观察图象，可知阴影区域内的点(x,y)满足条件上烂6且10.04,故集合可表示为{(X，)，)|1二后6，1<><4}.(1分钟).知识图谱：.数学思想、学科素养：分类讨论、等价转化；数学抽象、数学运算、逻辑推理；.常见误区：忽视集合中元素的互异性.(5分钟)1.以下各组对象可以组成集合的是0.A.数学必修1课本中所有的难题.小于8的所有素数C.直角坐标平面内第一象限的一些点D.所有小的正数【解析