《量子力学》题库

《量子力学》题库一、简答题1试写了德布罗意公式或德布罗意关系式，简述其物理意义答：微观粒子的能量和动量分别表示为：其物理意义是把微观粒子的波动性和粒子性联系起来。等式左边的能量和动量是描述粒子性的；而等式右边的频率和波长则是描述波的特性的量。2简述玻恩关于波函数的统计解释，按这种解释，描写粒子的波是什么波？答：波函数的统计解释是：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。按这种解释，描写粒子的波是几率波。3根据量子力学中波函数的几率解释，说明量子力学中的波函数与描述声波、光波等其它波动过程的波函数的区别。答：根据量子力学中波函数的几率解释，因为粒子必定要在空间某一点出现，所以粒子在空间各点出现的几率总和为1，因而粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度而不决定于强度的绝对大小；因而将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，这是其他波动过程所没有的。TOC\o"1-5"\h\z4设描写粒子状态的函数W可以写成W=c中+c中，其中c和c为复数，中和平11 22 1 2 1 2为粒子的分别属于能量％和弓的构成完备系的能量本征态。试说明式子W=c出+匕驾的含义，并指出在状态W中测量体系的能量的可能值及其几率。答：W=c中+c中的含义是：当粒子处于平和中的线性叠加态W时，粒子是既11 22 1 2处于平态，又处于中态。或者说，当平和平是体系可能的状态时，它们的线性1 2 1 2叠加态W也是体系一个可能的状态；或者说，当体系处在态W时，体系部分地处于态平、中中。在状态W中测量体系的能量的可能值为E1和乌，各自出现的几率为|cj2和可2。5什么是定态？定态有什么性质？答：定态是指体系的能量有确定值的态。在定态中，所有不显含时间的力学量的几率密度及向率流密度都不随时间变化。6什么是全同性原理和泡利不相容原理？两者的关系是什么？答：全同性原理是指由全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。泡利不相容原理是指不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态。

两者的关系是由全同性原理出发，推论出全同粒子体系的波函数有确定的交换对称性，将这一性质应用到费米子组成的全同粒子体系，必然推出费米不相容原理。7试简述波函数甲的标准条件。答：波函数在变量变化的全部区域内应满足三个条件：有限性、连续性和单值性。8为什么表示力学量的算符必须是厄米算符？答：因为所有力学量的数值都是实数。而表示力学量的算符的本征值是这个力学量的可能值，所以表示力学量的算符的本征值必须是实数。厄米算符的本征值必定是实数。所以表示力学量的算符必须是厄米算符。9请写出微扰理论适用条件的表达式。答：H' mn E(0)-E(0)答：10试简述微扰论的基本思想。答：复杂的体系的哈密顿量角分成#。与两部分。是可求出精确解的，而可看成对丑的微扰。只需将精确解加上由微扰引起的各级修正量，逐级迭代，逐级逼近，就可得到接近问题真实的近似解。11简述费米子的自旋值及其全同粒子体系波函数的特点，这种粒子所遵循的统计规律是什么？决 方 方答：由电子、质子、中子这些自旋为3的粒子以及自旋为3的奇数倍的粒子组成的全同粒子体系的波函数是反对称的，这类粒子服从费米(Fermi)—狄拉克(Dirac)统计，称为费米子。12通常情况下，无限远处为零的波函数所描述的状态称为什么态？一般情况下，这种态所属的能级有什么特点？答：束缚态，能级是分立的。13简述两个算符存在共同的完备本征态的充要条件，并举一例说明(要求写出本征函数系)。在这些态中，测量这两个算符对应的力学量时，两个测量值是否可以同时确定？答：两个算符存在共同的完备本征函数系的充要条件是这两个算符对易。例如，[LL]=0，这两个算符有共同的完备本征函数系^Y^(6,平异。14若两个力学量的算符不对易，对这两个力学量同时进行测量时，一般地它们是否可以同时具有确定值？它们的均方偏差之间有什么样的关系？答：不可能同时具有确定值。它们的均方偏差之间满足海森堡不确定性关系。15请写出线性谐振子偶极跃迁的选择定则。答：AZ=l'—l=±116指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。4X2三:②［】2:③Xdx2K=1解：①4X2£1是线性算符dx2［】2不是线性算符X是线性算符K=117指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。d218下列函数哪些是算符d-的本征函数，其本征值是什么？dx2①x2，②ex，③sinx， ④3cosx， ⑤sinx+cosx解：①广(x2)=2dx2d2・.・x2不是d-的本征函数。dx2d2ex=exdx2d2.・.ex不是—的本征函数，其对应的本征值为1。dx2三生(sinx)=—(cosx)=-sinxdx2 dxd2..・可见，sinx是d-的本征函数，其对应的本征值为一1。dx2-^(3cosx)=—(-3sinx)=-3cosx-(3cosx)dx2 dxd2・•・3cosx是—的本征函数，其对应的本征值为一1。dx2d2 dd (sinx+cosx)=——(cosx一sinx)=-sinx一cosxdx2 dx=-(sinx+cosx)一d2sinx+cosx是 的本征函数，其对应的本征值为一1。dx219问下列算符是否是厄米算符:xp②2(xp+px)解：①』w；(幼)wd=』w；x(pw2)dT・.・xpx不是厄米算符。』w*[1(xp+px)]wdT=1jw*(xp)wdT+1jw*(px)wdT12xx2 2 1x2 2 1x22(xp+px)是厄米算符。20全同粒子体系的波函数应满足什么条件？答：描写全同粒子体系的波函数只能是对称的或是反对称的，且它们的对称性不随时间改变。二、证明题 • • - 一人 . • ■ . 一、• k1己知粒子在中心力场中运动，试证明L(角动量在x方向的分量)是守恒量。x证：因为粒子在势函数为Ur)的中心力场中运动时’哈密顿算答是- A因为Lx与9、中有关而与r无关，且[Lx,L2]=0所以，[L,H]=0x2试证：对于一维运动，设有两个波函数w1及w2是对应于同一级量E的解，则w1w2-w2w1=常数。其中，“’”是对X的微商。证：因为[-2-d~+U()]w()=Ew()，所以凑全微分得：(ww2-w2W1)'=0积分得：w1w2-w2w1=常数3试证明：一维运动的束缚态都是不简并的。证明：设w和W是对应于同一能级E的不同本征态，则WW'-WW'二常数。1 2 12 21在特例下，令ww2-w2W1=0，艮口由此得：w=Cw1 2所以w1和w2描述同一个态。4试在一维情况下证明哈密顿算符是厄米算符。证明：考虑一维情况}— *为厄密算符，肋2次/为厄密算符，『⑴为实数为厄密算符???????？'-食=为厄密算符5已知轨道角动量的两个算符月和共同的正交归一化本征函数完备集为P如,4 Z 卜 入 卜取十匚士匕试证明:虹也？?也是产和％共同本征函数，对应本征值分别?证.巾*E如值八)二£士倬心二小+W虹心O?寸遍?是月的对应本征值为"'T?的本征函数???????????????••'±耳是上目的对应本征值为(用土'涧?的本征函数6.证明在定态中，几率流与时间无关。证：对于定态，可令可见J与t无关。7在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U(-x)=U⑴，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为方2d2 w(x)+U(x)w(x)=Ew(x)①2日dx2将式中的x以(-x)代换，得方2d2 c W(-x)+U(一x)w(一x)=Ew(-x) ②2日dx2利用U(-x)=U(x)，得方2d2 _ w(-x)+U(x)w(-x)=Ew(-x)③2日dx2比较①、③式可知，w(-x)和w(x)都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此w(-x)和w(x)之间只能相差一个常数c。方程①、③可相互进行空间反演(x.-x)而得其对方，由①经xr-x反演，可得③，nw(-x)=cw(x)④由③再经-xrx反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。nw(x)=cw(-x) ⑤乘⑤，得可见，c2=1当c=+1时，w(-x)=w(x)，nw(x)具有偶宇称，当c=-1时，w(-x)=-w(x)，nw(x)具有奇宇称，当势场满足U(-x)=U(x)时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。8证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是证：电子的电流密度为V在球极坐标中为式中e、e、e为单位矢量r0 9w“饥中的r和0部分是实数。ieh2prieh2prsin0(-imw|2-imw|2)e=

n£m n£m 9ehmwprsin0 n£m2e可见，J=9=09如果算符&、B满足关系式dc|3-f^dc=1,求证①dCf2-62d=2fc②dS-Sd=3f2证：①dg2-02d=(1+62d)-62d②dg3-63d=(2[3+62d)6-63d证明：666=ixyz证：由对易关系66-66=2i6及对易关系66+66=0，得xyyx z xyyx上式两边乘，z，得666= i62 •/62=1TOC\o"1-5"\h\zxyz z z•qq •..666 =ixyz11证明x?),x?),x?)和穴A组成的正交归一系。证：x(1)+X⑴=[x(S)x(S)]+[x(S)x(S)]SS 1/21z1/22z 1/21z1/22zTOC\o"1-5"\h\z=x+(S)x(S)=11/2 2z1/2 2z=x+(S)x+(S)x (S)x (S)=01/2 2z1/2 1z-1/2 1z-1/2 2z=][x+(S)x(S)+0]=0打2 1/2 2z-1/2 2z同理可证其它的正交归一关系。12对于无限深势阱中运动的粒子(如图所示)证明并证明当nT8时上述结果与经典结论一致。[解]写出归一化波函数：七1)=8近nax(1)先计算坐标平均值：利用公式：(2)jsindxcospx+sin(2)得jxcospxdx=-空蛭+迦(3)p p2C}~计算均方根值用(x-x)2=x2- ,x以知，可计算x2利用公式jx2cospxdx-—x2sinpx+ xcospx一一!一sinpx(5)a2a2=——一 (6)12 2n2兀2在经典力学的一维无限深势阱问题中，因粒子局限在(0,a)范围中运动，各点的几率密度看作相同，由于总几率是1,几率密度3=1oa故当nT8时二者相一致。13设京p]=ih,f(q)是q的可微函数，证明下述各式：[一维算符]q,p2f(q)]=2hipf.(证明)根据题给的对易式及侦f(q)]=0；[q,pf(q)p]=ih(fq+pf)(证明)同前一论题[q,f(q)p2]=2ihfp[证明]同前一题论据：[p,p2f(q)]=-p2fii[证明]根据题给对易式外，另外应用对易式[p,pf(q)p]=hpfipi(证明)论据同(4)：[p,f(q)p2]=hfip2i(证明)论据同(4)：

14设算符A,B与它们的对易式[A,B]都对易。证明（甲法）递推法，对第一公式左方，先将原来两项设法分裂成四项，分解出一个因式，再次分裂成六项，依次类推，可得待证式右方，步骤如下：按题目假设重复运算n-1次以后，得15证明心"点）是厄密算符证明）本题的算符可以先行简化，然后判定其性质是厄密算符，因此原来算符也是厄密的。另一方法是根据厄密算符的定义：用于积分最后一式：刖式=说明题给的算符满足厄密算符定义。16定义[A,B]三,4B+^A（反对易式）证明：+其中a，b与A，B对易。（证明）第一式等号右方TOC\o"1-5"\h\z八八八 八八八 八… 人… …八 八八八 …八=ABC+ACB-BCA-CBA+CAB+CBA-ACB-CAB=第一式等号左方|一人¥人人 人人 1 人—△人 △人第二式等号右方=_（ab+ba）（.AB—BA）+—（ab—ba）（.AB+BA）\o"CurrentDocument"2 2因a，b与A，B对易，b^A=Ab，aB=B，前式=aAbB一bBaA=[aA,bB]17证明力学量A（不显含/的平均值对时间的二次微冏为：加土a=-[[A,H],H] （H是哈密顿量）dt2dA

dt（解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量A不显含t，有dA

dt(1)一 - . .. .... . .一一■一 . ....I人人一・ -将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量-[A,H]的平均值，则有:访d2d2A

dt21 1 ~~ 1 ~~大 L=-[-[A,H],H]=-尸[[A,H],H]inin n2(2)此式遍乘n2即得待证式。18试证明：一维运动的束缚态都是不简并的。证明：设W和w是对应于同一能级E的不同本征态，则WW'-WW'二常数。在1 2 12 2 1特例下，令ww2-ww1=0，艮口由此得：w=Cw1 2所以w1和w2描述同一个态。19证明泡利矩阵满足关系。aa=i。f°\cr丁+弓％=0..—CTp—2jCT„【证】..l订丁丁芥*??20试在一维情况下证明哈密顿算符是厄米算符。证明：考虑一维情况}— 办'为厄密算符，端源为厄密算符，叮3）为实数为厄密算符???????？'-食=为厄密算符21已知轨道角动量的两个算符疗和&共同的正交归一化本征函数完备集为P如，取匚堇=虹士诅卜试证明：么上!？?也是产和Ar共同本征函数，对应本征值分别为:巾+1时，伽土1忧。?证业工」=。如值八）二£士倬心二小+W虹心O?寸遍?是月的对应本征值为"E）?的本征函数

???????????????••'士耳是上g的对应本征值为（部土1涧?的本征函数2222证明：描写全同粒子体系的波函数的对称性不随时间改变证明：设邛寸刻波函数是对称的，用中S表示，因为H是对称的，所以H中在t时刻也是对称的，S由知，咯在t时刻也是对称的，故在下一时刻的态函数:中s+£|sdt也是对称的以此类推，波函数在以后任意时刻都是对称的。同理可证，若某一时刻波函数反对称，则以后任一时刻的波函数都是反对称的。三、计算题1由下列定态波函数计算几率流密度：从所得结果说明W1表示向外传播的球面波，V2表示向内（即向原点）传播的球面波。— —解：J］和J2只有尸分重在球坐标中v=一在球坐标中v=一a一1a03r Orao一1a+e 中rsinOa中L与r同向。表示向外传播的球面波。可见，七与7反向。表示向内（即向原点）传播的球面波。2一粒子在一维势场中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解：U⑴与t无关，是定态问题。其定态S一方程在各区域的具体形式为一 方2d2II：0<x<a-2—d—W(x)=Ew(x) ②III：x>a -2—d—W(x)+U(x)w(x)=Ew(x) ③由于(1)、(3)方程中，由于U(x)=8，要等式成立，必须即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(2)可变为d上，")+2^£w2(x)=0其解为w2<x)=Asinkx+Bcoskx④根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得w2(0)=w1(0)⑤w2(a)=w3(a)⑥nB=0nAsinka=0n兀・・w(x)=Asin——x由归一化条件得A2』asin2区xdx=1a由』asinmlx*sin竺xdx=Osbaa2mnnE= n2 (n=1,2,3,…)可见E是量子化的。对应于En的归一化的定态波函数为3求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。解：w(x)=，——-2oxe-2^x22扣令穿丑=0，得dx由31(x)的表达式可知，X=0，x=±3时，31(x)=0。显然不是最大几率的位置。可见X=±L=± —是所求几率最大的位置。a\旦①①t①t2，求:4一维谐振子处在基态W(x)=」—e，•逐1 ⑴势能的平均值u=-呻2X2；(2)动能的平均值T=p-M(3)动量的几率分布函数。解：(1)?U=-go2x2=-岬--^卜x2e-axdx2' 2・s-8(2)T=土=—j8w*(x)P2W(x)dx2g2g—8或T=E—U=—h3――h3=—方32 4 4(3)c(p)=jW*(x)W(x)dxp动量几率分布函数为5氢原子处在基态5氢原子处在基态W(r,。，甲)=~^=e-r/a0，求:郭a3最可几半径；最可几半径；动能的平均值；动量的几率分布函数。解：(1)r=jrW(r,0,甲)|2dT=(1)r的平均值;⑵势能—土的平均值;r1卜j2小re—2r/a0r2sin0drd0d甲

兀a30000(3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为

令d®(r)=0,nr=0,r=8, r=aTOC\o"1-5"\h\zdr i 2 3 0当r=0,r=8时，®(r)=0为几率最小位置r=a0是最可几半径。C(r2旦C(r2旦)+孔&(sin©4)+ —-drdrsin060 60sin20洒2(4)T=—p2=-一V22旦 2日(5)c(p)=jW*(r)W(r,0，甲)dTp动量几率分布函数6设t=0时，粒子的状态为求此时粒子的平均动量和平均动能。解：w3)=A[sin2kx++coskx]=A[+(1一cos2kx)++coskx]222可见，动量pn的可能值为0 2检-2检k力一kh动能g的可能值为0 空2 空2k2方2k2方22g 日 日2g2g对应的几率®应为上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得A=1/如方..・动量p的平均值为7设氢原子处于状态求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。解：在此能量中，氢原子能量有确定值角动量平方有确定值为角动量Z分量的可能值为其相应的几率分别为1 3—，—4 4其平均值为8试求算符F=-iexd的本征函数。dx解：F的本征方程为4=ce-Feix(F是F的本征值)

TOC\o"1-5"\h\z9设波函数w(x)=sinx,求[(牛)x]叩-[x飞]=?dx dx解：原式=[(§)尤][(¥)尤加-[尤§][x^L]wdxdx dxdx10证明：如果算符人和B都是厄米的，那么(A+B)也是厄米的*AwdT+jw*BwdT12 12证：j*AwdT+jw*BwdT12 121 2・.・A+B也是厄米的。人人 人人 _求LP-PL=?解：LP—PL=(yP—zP)P—P(yP—zP)xxxx zyxxzy=0卜人""人 人--人 A- -A求Lx—xL=?Lx—xL=?Lx—xL=?x x y 目 z, z,解：Lx—xL=(yP—zP)x—x(yP—zP)x x zy zy=013求在动量表象中角动量Lx的矩阵元和L2的矩阵元。匕f 1，上_|_ i--解：(L) =( )3je一方p-r(yp—zp)e方prdTxpp 2丸力 zy14求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。解：基矢：u(x)=I—sinEx能量：E能量：E=丸2h2n2

n2pa2对角元:x=j^-xsin2m^xdx=—对角元:mm0aa22Lz•m兀 n兀当时，m丰nxmn=(sin x)-x当时，m丰nxmna0a a15求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。解：H=Lp2+1岬2x2=—生旦+-岬2x22曰2 2顷2 216求连续性方程的矩阵表示解：连续性方程为

I"J=——(yVv*瑚*Vv)2目—i"而V-J=——V-(VVv*-v*Vv)2日..i"——=(V*Tv-VTV*)所写成矩阵形式为17设一体系未受微扰作用时有两个能级：E01及气2，现在受到微扰H1的作用，微扰矩阵兀为H'=H'=a，H'=H'=b；a、b都是实数。用微扰公式求能量12 21 11 22至二级修正值。解：由微扰公式得得E(1)=H'=bE(1)=H'=b..・能量的二级修正值为18计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。解：A解：A=d"2mk 3"c3 mk由选择定则M=±1，知2s-1s是禁戒的故只需计算2p-1s的几率而\r|2=|x|2+|y|2+|z|2|211 121 211 12112p有三个状态，即V210，V211，V211(1)先计算z的矩阵元z=rcos0r⑵计算x的矩阵元x=rsin0cos中=—sin0(e^+e-叩)2计算y的矩阵元y=rsin0sin中=』rsin0(e^-e-洱)2i计算f19求线性谐振子偶极跃迁的选择定则解：Ax|—|2=X|2mkmk mkI1kk+1,由功k=&[注k-1+\：亍"k+1]nm=k±1时，x。0

即选择定则为Am=m—k=±120一维无限深势阱(0vxva)中的粒子受到微扰作用，试求基态能级的一级修正。解：基态波函数(零级近似)为.,•能量一级修正为 • 八一- 一21求在自旋态X(S)中，S和S的测不准关系：Tz xy2解：在S表象中X(S)、S、s的矩阵表示分别为z tzxy2.••在X(S《)态中2讨论：由S、S的对易关系名yTOC\o"1-5"\h\z个 人 人[S,S]=ihSxy z一 力2~S2 力4要求(AS)2(AS)2>―L (AS)2(AS)2=—xy4 xy16在XT(S《)态中，2一 : 力4・•.(AS)2(AS)2>-6.可见①式符合上式的要求。22求S22求Sx=的本征值和所属的本征函数。0)解：S的久期方程为x力・.・S的本征值为土-TOC\o"1-5"\h\zx 2- (a\设对应于本征值2的本征函数为X1/2=(gJ由本征方程Sx=—x，得x1/2 2 1/2由归一化条件Xj2XT/2=1，得即2|a|2=1

.、…，一，一… 1①对应于本征值2的本征函数为七=克［J一.、一.，，.力 -1/2…，一一- 力由本征万程s"一=--2*尤-1/2-1/2由归一化条件，得即2|a2I2=1对应于本征值-!的本征函数为*-1〃=壬-J同理可求得号的本征值为土2。其相应的本征函数分别为23求自旋角动量(cos-1/2…，一一- 力由本征万程s"一=--2*尤-1/2-1/2由归一化条件，得即2|a2I2=1对应于本征值-!的本征函数为*-1〃=壬-J同理可求得号的本征值为土2。其相应的本征函数分别为23求自旋角动量(cos以,cosP,cosy)方向的投影本征值和所属的本征函数。 一・ . . …… -, … , 人在这些本征态中，测量S有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？Sz z的平均值是多少？解：在S表象，S的矩阵兀为z n其相应的久期方程为方2 方2即：N一一cos2y-一(cos2以+cos2P)=04 4力所以S的本征值为土或。

n2、…、一力，… 设对应于Sn=2的本征函数的矩阵表示为*(S)=由归一化条件，得1+cosy取a=v—V2cosa+icosP得b= 一- 力可见，S的可能值为-z 2(2(1+cosy)方——2，则2 2(1+cos7)一一一-、一 力…,，一 ,…同理可求得对应于sn=-2的本征函数为力在此态中，S的可能值为-z 2相应的几率为项竺町1+C0S7224设氢的状态是W=求轨道角动重z分重L和自旋角动量z分量S的平均值;zzM求总磁矩M=———L—-S2日日的z分量的平均值(用玻尔磁矩子表示)。解：①巾可改写成… •人… … ，从巾的表达式中可看出L的可能值为力0z,、…一、.13相应的几率为——44s的可能值为:-Jz 22 13相应的几率\c| 12的可能测值及相应的几率。 12的可能测值及相应的几率。- - -方-/方、^②M=———L——S=-——x———x(——)25一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？解：体系可能的状态有4个。设两个单粒子态为七，七，则体系可能的状态为26设体系处于w=cY+cY态，求111 220 一 lx的可能测值及其平均值。（3） /,l,的可能测值。尤yTOC\o"1-5"\h\z（解）（1）按照习惯的表示法7（6,甲）表示角量子数为l，磁量子数m的，虐,/）im x的共同本征函数，题材给的状态是一种12,，的非本征态，在此态中去测量12,/都x x只有不确定，下面假定C］|2+C2|2=1从w（6,甲）=cY+cY111 220看出，当体系处在Y态时，l的测值力，处在Y态时，l的测值为零。11 x 20 x人, ・ ……l在w态中的平均值一、• •、 1 ・ 一・ … ―一一 - • 、人 （2）又从波函数甲看出，l也可以有两种值，体系处Y态中时l2测值为11当体系处在Y20态时12的测值为相应的几率即表示该态的展开式项系数的复平方：|cj2，|c2|212的并态W中的平均值（3）关于在W态中/，亍的可能测值可以从对称性考虑来确定，当使用直角坐标xy表示算符时，l，l，，有轮换对称性，由于在w态中12可有二种量子数l=1,2所xyx以将七轮换lx的结果，知道lx的可能测值只能是l=2方，力，0，-力，-2力同理，ly的可能测值也是这此值l=2力，力，0，—力，一2力27设粒子处在宽度为。的无限深势阱中，求能量表象中粒子坐标和动量的矩阵表示。［解］一维无限深方势阱的归一化波函数是： 一这波函数是能量本征函数，任何力学量F的矩阵兀是：此公式用于坐标矩阵：此式不适用于对角矩阵元，后者另行推导。当m=n时，得对角矩阵元：x=-Msin2丝xdx=a⑵mm20a2动量矩阵元（非对角的）

2himna22himna2(n2—m2)(1+(—1)n+m-1)⑶2方n兀 mnx nnx,0, 0<x<a, 0<y<a其他区域30, 0<x<a, 0<y<a其他区域3,28粒子在二维无限深势阱中运动，已知U(x,y)写出第一激发态的能级；问第一激发态的能级是否简度，若是简并，是几重简并？以下的线不知如何去掉？解：(1)二维无限深势阱中运动的粒子，其能级为n,n=n,n=1,2,3...En1n2 (n2+nEn1n22"2 1 2所以其基态能级为E11，而第一激发态能级为E12=气，(2)粒子的波函数为所以％?卫中21，第一激发态是二重简并的。29求一维谐振子的坐标及Hamilton量在能量表象中的矩阵表示。提示：可利用公式：及解：线性谐振子的能级为解：线性谐振子的能级为甲 甘P=E坦对应的能量本征函数*，??H-a?利用公式(2)?利用公式(2)30质量为r的粒子在一维势场U=]0, 0<x<a中运动。设状态由波函数(x) [3,x<0,x>a描述。求(1)粒子能量的可能值及相应的几率；(2)粒子的平均能量E；(3)写出状态在能量表象中的波函数。

（1）w（1）w（X）4mm=sin（一）cos2（一）而一维无限深势场中的能量本征函数为W=「2sin四，对应的本征值为n\：aan2兀2力2E= n 2pa2所以本题中，粒子的能量的可能值是£=矗，E3=岑:，出现的几率均为1/2。S、万y 1/兀2方2 5兀2方2 山击丑=［中*（工）加⑴七山、（2）E=y君ICk=万］ +9兀2招）=— （也可由」 求出）n（3） 由（1）得，所以，在能量表象中，31设在#°（无微扰时的哈密顿算符）表象中，#的矩阵表示为其中研哎义？＜目，？试用微扰论求能级二级修正。解：在丑。表象中，32求在状态w=Yw=Y八10（9即）Y八1,T（9即）中算符J的本征值。z解：jw=（L+S）wz zz所以，算符J的本征值为--z 233已知厄密算符人和&是二行二列矩阵，且为二斧二1???，毒十如i=0??（1）求算符&为的本征值，（2）在A表象下求算符&为的矩阵表示。解：（1）?-「？？A二日二1?设4的本征值为'，本征函数为W,

????????????则？？???????''甲=心甲=????????????又？？另二1??????????弁甲=甲?????????••PPP几二1???????????'二±1?同理算符*''的本征值也为±1.(2)?在A表象，算符@的矩阵为一对角矩阵，对角元素为本征值，即???????????招=0-bB—???????设????????????则？？???????''甲=心甲=????????????又？？另二1??????????弁甲=甲?????????••PPP几二1???????????'二±1?同理算符*''的本征值也为±1.(2)?在A表象，算符@的矩阵为一对角矩阵，对角元素为本征值，即???????????招=0-bB—???????设利用？??4、f\NAB+BA=0?••????<■^21 °J??B为厄密算符归+二B即？？？？？00旗0)????」•？??％f42又？？？？？？日二1???????Al'???取:?w匀1?????/、〔八r/十e10, —a<x<a,—a<y<a 、士>_十.>u34(1)粒子在二维无限深方势阱U={廿口l心，请与出能级]3,其他区域和能量本征函数；(2)加上微扰H，=Uy，求最低能级的一级微扰修正。解：?(1)解：?(1)无微扰时，E(0)nln2兀22 (n2+n2)2"2 1 2(2)最低能级为基态能级E]]。基态非简并，所以35试在«为对角的表象中，（1）求S的本征值和所属的本征函数；（2）在SZ x x的本征值为--的本征态中，求S的平均值；（3）在S的本征值为-的本征态2 y x 2中，测S的可能值及相应的几率。yra\7和人，则Ira\7和人，则Ib)解：（1）设S的本征态及所属的本征值为Xx方 一由此可得：人=±—，a2=b22由X+X=1得：a2+b2=1a=b=-L，a=b=-L，

<2iria=-b=」，XV2（2）S的本征值为—攵的本征态为Xx 2 i—2所以，s=x+Sx=0

y1y1TOC\o"1-5"\h\z— —2 2方 -（3）将S的本征值X=-的本征态展开为:x 2两边相等，得一..力. 、，， 1所以，当s=2时几率A2=2力i当s=—2时几率网2=236（1）证明W（x）=Aexp（-旦）？是H=-企+x2的一个本征函数并求出相应的本TOC\o"1-5"\h\z2 dx2征值；（2）求x在W（x）态中的平均值。，2 疽加（汇）二（_弓+己皿寻解：????????? dxA即？？？？？？？？？？？？中侦）是#的本征函数。本征值凡=1

37一维谐振子在「二。时的归一化波函数为所描写的态中以腴二七阻⑴十七"对十5心）式中，吼⑴是谐振子的能量本征函数，求（1）弓的数值；（2）在心）态中能量的可能值，相应的概率及平均值；（3）f》0时系统的波函数。［解］（1）? BV11C|a=1,??忏（如归一化4［解］（1）? B（2）??????????????????己；???；♦♦♦■"rJ（3）CO时，吼（那）=攻世击??所以:??所以:38已知体系的能量算符为殁=就皿+电，其中底q»必。，E为轨道的角动量算符。视尤项为微扰项，求能级至二级近似值。计算过程中可用公式:-4> =—J（!+蛇-幽+-4> =—J（!+蛇-幽+1）-m）（l+械+1）t,m-¥的精的精确解为???本征函????????????????本征能量？5'观一如(，+1)为+幽涕按微扰论???=（赢位向）—按微扰论???=（赢位向）—XlimJ,网J=0利用了公式能量二级修正为-?在二级近似下?％浸明+电'+电)391中(x)>=3叫()>+C2Iu2()>，求C2的值解：由1W(x)>的归一化条件得：TOC\o"1-5"\h\z一. 3一,1=<W(x)IW(x)>=4+IC2I2，所以，c=±2或c=±240求在球谐函数y(6，甲)所描述的态中，力学量L和L的平均值。£m xy,一 ,