《随机过程》第一章题目与答案

第一章一.填空题p(A)=0.5,p(B)=0.7,A与B相互独立，则p(AUB)=—若已知两点(x,y),(x,y)有x<x,y<y，则概率密度p(x<1i 2 2 i2 12 ix<x2,yi<y<y?}=—-若p(A)=0.2,p(B)=0.5,p(C)=0.1，且p(A),p(B),p(C)两两相互独立，则pA(CIB)=.设X,Y是相互独立的随机变量，已知EX=1,EY=2,DX=1,DY=2贝UE(XY)=,E(2X+3Y)=,D(2X+3Y)=.若X17X2,^,Xn是相互独立的随机变量,且g.(t)是X.的特征函数,i=1,2,...,n)则X=X1+X2+^Xn的特征函数g(t)=.二・证明题设P(S)是的母函数，试证：⑴若E(X)存在，则EX=P，(1)⑵若D(X)存在，则DX=P〃(1)+P，⑴-[P，⑴]2试证明连续型随机变量的全概率公式：P(A)二」_；m*Y=v〕dFY(y)=j_；MA|Y=yfY(y)dy三.计算题通过抛掷一枚均匀硬币定义一个随机过程｛X(t),—8<t<8｝，其中X其中X(t)=COStj出现正面

tr出现反面试求随机过程X(t)的一维分布函数F(x；—-「).设X服从B(n,p),求X的特征函数g(t).设商店在一天的顾客数N服从［900,1100］上的均匀分布，又设每位顾客所花的钱Xi服从N(100,502);求商店的日销售额Z的平均值.已知随机变量X服从［0,a］上的均匀分布，且随机变量Y服从［X,a］上的均匀分布，试求：(1)E(Y|X=a),0匚x：：：a(2)E(Y)参考答案一.填空题TOC\o"1-5"\h\z0.85F(x,y)—F(x,y)—F(x,y)+F(x,y)2 2 12 2 1 1 1，0.12,8,22g1(t)g2(t)・・gn(t)(s)=(s)=切kpsk-i，令sk=1k1.证明:(1)因为p(s)=£pSk，则p,k=0 kf1,得EX=£kp=p，(1)。k=1 k(2)同理可证DX=p〃(1)+p，(1)—[p，(1)]22.证明:定义IA="..、葺»则IA称为事件A的示性函数,用全期望公式得 p(A)=E(IA)=E[E(IA IY)]=」一E(IAIY=y)dF(y)=jpQ*Y=V〕dF(y)=|pQ*Y=vif(y)dy.三.计算题：1.解：当t=一匚.4时，X(一口/4)是离散型随机变量，它的取值范围是仲om—工,・4■一7T.•4｝=｛二,一tt.二｝。由于硬币硬币出现正面与反面的概率都是］,乙因此，X(一「4)的概率

分布为X(一-)TL/4寿Pr1/21/2从而X（―L4）得分布函数为F(X;—7T0,x<—n/4

/4)—F(X;—7TiLx因为：X的分别列为P(X=k)二CkpkQn-k,q=1-p,k=0,1nn.g(t)—,eitkCkpkqn-k—2^Ck(p,)kqn-k二(p*eit:+q)“k=0 n k=0n由条件知EN-(900+1100)/2-1000,EX1—100,则EZ—ENXEX1—1000X100=100000(元)。4.(1)由条件知fY/x(y/x)=