探索三角形全等易错题剖析

探索三角形全等易错剖析全等三角形的判定和性质及其应用是初中几何的重点内容之一， 也是中考所要考查的重要内容之一•同学们由于对概念、判定、性质的理解不清或对问题的考虑不周密，往往会出现各种错误•下面列举常见的解题错误进行分析，希望能引起同学们的注意.一、寻找全等三角形的对应边和对应角时出错例1如图1，已知：△ABC◎△EFD,/C=ZD,AE=BF,指出其他的对应边和对应角。错解对应边BC与DF,AE与BF,对应角/DEF和/ABC.错解分析：识图能力差，不能看出两个三角形如何重合的， 不能正确识别对应边和对应角。正解对应边AB=EF,AC=ED,BC=DF;对应角/A=/EEF,/ABC=/F.例2如图2(1)所示，若△ABC中的/A=30°,/B=70°,AC=17cm;如图2(2)所示，若△DEF的/D=70°,/E=80°,DE=17cm，那么△ABC与厶DEF全等吗？为什么？错解：△ABC与厶DEF全等.在厶DEF中，因为/D=70°,/E=80°,所以/F=180°-/D-/E=18O0-7O0-8O0=3O0.在厶ABC中，因为/A=30°,/B=70°,所以/A=/F,ZB=/D.又因为AC=17cm,DE=17cm,

所以AC=DE.在厶ABC与厶DEF中，"/A^/F（已证）,.B=/D（已证）,••• △ABC◎△DEF.AC=DE（已证），错解分析：AC是/B的对边，DE是/F的对边，而/BM/F,所以这两个三角形不全等.正确解法：△ABC与厶DEF不全等.因为相等的两边不是相等的两角的对边，不符合全等三角形的识别法.练习1:如图3所示，已知△ABE◎△ACD，/AEB=/ADC，/B=/C，指出其他的对应边和对应角。二、利用三个角对应相等说明全等出错例3如图4，/CAB=/DBA，/C=/D，E为AC和BD的交点.△ADB与厶BCA全等吗？说说理由•错解△ADB BCA.因为/C=/D,/CAB=/DBA，/DAB=CBA,所以△CBE◎△DAE（AAA）.错解分析两个三角形全等是对的，但说明的理由不正确 •三个角对应相等不能作为三角形全等的识别方法•因为三个角对应相等的两个三角形不一定全等正解△CABDBA.因为/CAB=/DBA,/C=/D,AB=BA(公共边),所以△CAB◎△DBA(AAS).练习2:已知在两个直角三角形中，有一对锐角相等，又有一组边相等，说明这两个三角形是否全等图5三、利用两边及一边对应相等说明全等出错例4如图6,已知△ABC中,AB=AC,D、E分别是AB、AC的中点，且CD=BE，△ADC与厶AEB全等吗？说说理由.错解△ADC AEB.因为AB=AC,BE=CD,/BAE=/CAD,所以△ADCAEB(SSA)错解分析错解在把SSA错解分析错解在把SSA作为三角形全等的识别方法,实际上，SSA不能作为三角形全等的识别条件•等的识别条件•因为两边及一边对角相等的两个三角形不一定全等•正解△ADC◎△AEB.因为AB=AC,D、E为AB、AC的中点，所以AD=AE.在厶ADC和厶AEB中,因为AB=AC,AD=AE,CD=BE,所以△ADC AEB(SSS). 图6练习3练习3:如图7所示，D是厶ABC中BC边上一点,E是AD上一点，EB=EC,/ABE=/ACE，求证：/BAE=/CAE.图7四、禾U用部分当整体说明全等出错例5如图8，已知AB=AC,BD=CE,试说明△ABE与厶ACD全等的理由.错解：因为AB=AC,所以/B=/C,在厶ABE和厶ACD中，因为AB=AC,/B=/C,BD=CE,所以△ABE ACD(SAS).

错解分析错解在把三角形边上的一部分当作说明的条件方法•正解△ABE与厶ACD全等•因为AB=AC,所以/B=/C,因为BD=CE,所以BD+DE=CE+DE,即BE=CD.在厶ABE和厶ACD中,因为AB=AC,B=C,BE=CD,所以△ABC◎△ACF(SAS).练习4:如图9所示，已知在Rt△ABC和Rt△DAB中，AC=DB，判断Rt△ABC与Rt△DAB是否全等?五、利用减法运算说明全等出错例6如图10,已知AC、BD相交于点0,/A=/B,/ACD=/BDC,AD=BC.试说明△AODBOC.错解在厶ADC和厶BCD中，因为/A=/B,/ACD=/BDC,DC=CD,所以△ADC◎△BCD(AAS),所以△ADC-△DOC=△BCD-△DOC，即△A0D◎△B0C.错解分析错解在将等式的性质盲目地用到三角形全等中， 实际上，三角形全等是不能根据等式的性质说明的•正解在厶ADO和厶BCD中，/A=/B，/AOD=/BOC,AD=BC,所以△AOD◎△BOC(AAS).

图10/B=/C,AF与DE相等吗？练习5:如图11,点/B=/C,AF与DE相等吗？六、仅据图形的直观印象就视为条件来参与证明出错例7如图12，在厶ABC中，AD是它的角平分线,BD=CD，例7如图12，在厶ABC中，AD是它的角平分线,BD=CD，DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足为E、F.求证：BE=CF.错证一：认为DE=DF，并以此为条件,在Rt△BDE与Rt△CDF中,因为DE=DF，BD=CD,所以Rt△BDE也Rt△CDF（HL）.所以BE=CF（全等三角形的对应边相等）错证二：认为AD丄BC,并以此为条件，通过证明△ABDACD，得AB=AC.再由Rt△AED也Rt△AFD，得AE=AF，从而得到：BE=CF.错证分析：错证一中认为DE=DF，并直接作为条件应用，因而产生错误；错证二中,认为AD丄BC,没有经过推理，而直接作为条件应用，因而也产生错误. 产生上述错误的原因是审题不清，没有根据题设，结合图形找证题方法，推论过程不符合全等的判定方法.正确证法：在厶AED和厶AFD中，NDEA=NDFA（垂直的定义），

*NBAD=NCAD（角平分线的定义）,

、 AD=AD（公共边）,•••△AED AFD（AAS）.•••DE=DF（全等三角形的对应边相等）在Rt△BDE与Rt△CDF中,”BD=CD（已知）,:DE=DF（已正）,•Rt△BDE逾CDF（HL）.练习6: 如图13所示，已知/1=72,/3=74,AB与AD相等吗？为什么?七、观察图形出现重复或遗漏出错七、观察图形出现重复或遗漏出错例8如图14所示，在等边厶ABC中，D、E、F分别为AB、BC、CA上一点（不是中点），且AD=BE=CF，图中全等三角形组数为（ ）.A.3组 B.4组 C.5组 D.6组错解：A.错解分析没有灵活运用所给条件，只是直接运用了已知条件就做出判断 •全等三角形共有6组，分另是：△ABE也CAD,△ABE也BCF,△CAD也BCF,△ABF也CAE,△ABF也BCD,△CAE也BCD.正解：C.点评对这类问题平时学习要多观察多总结， 充分地用上所给条件，逐步找出所有的全等三角形.练习7:如图15所示，在厶ABC中，AB=AC,BD丄AC垂足为D,7A=40,求7DBC.练习参考答案:1、错解：对应边有：AB与AD,AE与AC,BD与CE,对应角有：7BAD=7CAE误区点击：本题错误的原因是观察图形的能力太差， 未能准确地将两个全等三角形分离出来，并正确地找出其对应元素。全等三角形的对应边、对应角是严格对应的，对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边，公共边是对应边，公共角是对应角。正解：因为/B=ZC,ZAEB=ZADC,所以另一组对应角为/BAE与/CAD因为/B和/C的对边分别是AE与AD，/AEB与/ADC的对边分别是AB与AC所以对应边分别是：AB与AC,AE与AD,BE与CD.2、 错解：这两个三角形全等【错解分析】 对“ASA全等识别法中对应边相等”没有理解，错把边相等当成对应边相等•正解：这两个三角形不一定全等 •如图所示，Rt△ABC和Rt△EDC,在Rt△EDC中，CD=AB，/1=/2,ZC=/C=90,显然△ABC与厶EDC不全等•3、错解：在厶AEB和厶AEC中，AXE•••△AEB◎△AEC.•••/BAE=/CAE.错解分析本题错在判定△AEB◎△AEC时，用了边边角”的判定法，这是不正确的,因为有两条边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等正解：在厶BEC中，TBE=CE,/EBC=/ECB.•//ABE=/ACE,/ABC=/ACB.•AB=AC.在厶AEB和厶AEC中，A町EE二CE、AB^AC.•••△AEB◎△AEC.•••/BAE=/CAE.4、 错解：在Rt△ABC与Rt△DAB中AC=DB,AB=BA,所以Rt△ABC也Rt△DAB(HL)误区点击：在推理过程中，说明Rt△ABC也RtADAB时，虽然也列举了两个条件，但两个三角形全等的对应元素只有一个，全等条件不足，同时也是没有真正理解直角三角形全等判定中的“HL”正解：Rt△ABC与Rt△DAB不全等。5、 错解在厶ABF和厶DCE中,AB=DC,/B=/C,BE=CF,△ABF◎△DCE(SAS),•AF=DE.错解分析没有看图形，而只看文字条件，错用三角形的边，来参与三角形全等的推导•6、 错解：在厶ABC与厶ADC中，因为/1=Z2，/3=Z4,AC=AC，根据“AAS可得厶ABC◎△ADC，所以AB=AD。误区点击：上述推理过程，没有认真结合图形来分析，错把/ 3、/4作为三角形的内角来参与证明，读题不细、审题不清是造成错误的直接原因。正解：因为/3是厶ABC的外角，/4是厶ADC的外角，所以/ACB=180°—/3,/ACD=180°-/4，又因为/3=/4,所以/ACB=/ACD,在厶ABC与厶ADC中，AC=AC，/1=/2,/ACB=/ACD,所以△ABC◎△ADC(ASA),所以AB=AD.7、 错解：T△ABC中AB=AC，/A