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文档简介

高等数学竞赛讲义数列极限1利用单调有界数列必有极限准则准则I单调有界数列必有极限单调增加有上界数列必有极限单调减少有下界数列必有极限1)设求证明:先证明是递增数列.事实上假设成立，则因此是递增数列.

用归纳法证明于是是有界数列.

显然成立.而成立.

设成立，则

因此，成立.

由单调有界定理收敛，设在两边取极限，得,解得

或但由于于是3)设求

证明:显然首先证明.

若假设则根据归纳法可得成立.

又由即是递增数列且有上界,由单调有界定理知收敛，

设在两边取极限，得

得解得或但由于因此从而

证明:注意两个事实：1)单调递增趋于e单调递减趋于e。

2)4)设求证：存在。

有不等式故单调下降，且于是存在。

注记：其中是欧拉常数。

更一般的情形,设单调递减且，求证：存在。

证明:故单调下降。而于是存在。

5)验证证明由于于是因此即将区间进行n等分,则取区间的右端点:

可用定积分来计算数列的和式极限问题

若函数在区间上连续，并有,则7)设求解：令则故

8)求极限解：

4利用微分近似公式9)设存在,定义数列求利用此结果求极限

解于是因此若令,则若令,则

5利用Taylor公式

10)试求的值

解利用Taylor公式可得其中,于是

.其中为整数,

12)设数列由给出,,求证证明:显然是单调减少且趋于0的,而

于是于是于是

即13)求最小的和最大的使对所有正整数n都有

解:令,则可证明时,,于是于是最大的而最小的14)设证明

证明:因故利用Stolz公式，

得

15)设证明证明:显然是单调增加的,又可证明事实上若有极限,则矛盾,因此

又令,由施笃兹(stolz)定理可得.

而,于是,因此16)求极限解而18)设数列满足请问收敛吗？若收敛，求；若发散，说明理由.解：则单减有下界根据单调有界定理知收敛，令在两边取极限得，于是有由于于是故，从而收敛.

而19)证明：数列收敛，并求其极限。

证明：设该数列通项为，则令则由拉格朗日中值定理存在介于之间，使得

由题意得令则由且由夹逼定理得即同理可得

所以，20)设证明：存在

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