高中数学高考三角函数重点题型解析常见试题含含

高中数学高考三角函数重点题型分析及常有试卷试题、含含高中数学高考三角函数重点题型分析及常有试卷试题、含含高中数学高考三角函数重点题型分析及常有试卷试题、含含三角函数的主要考点是：三角函数的看法和性质（单调性，周期性，奇偶性，最值），三角函数的图象，三角恒等变换（主若是求值），三角函数模型的应用，正余弦定理及其应用，平面向量的基本问题及其应用．题型1三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余弦函数的有界性，经过三角换元也许是其他的三角恒等变换转变问题．例1若x是三角形的最小内角，则函数ysinxcosxsinxcosx的最大值是（）A．1B．2C．122D．122分析：三角形的最小内角是不大于的，而32sinxcosx12sinxcosx，换元解决．分析：由0x，令tsinxcosx2sin(x),而347x，得44121t2．又212sincostxx，得21tsinxcosx，2得2t112yt(t1)1，有222(2)1110y22．选择答案D．22谈论：涉及到sinxcosx与sinxcosx的问题时，平时用换元解决．解法二：1ysinxcosxsinxcosx2sinxsin2x，42当1x时，ymax2，选D。42例2．已知函数2f(x)2asinxcosx2bcosx．，且f(0)8,f( )12．6（1）求实数a，b的值；（2）求函数f(x)的最大值及获取最大值时x的值．分析：待定系数求a，b；尔后用倍角公式和降幂公式转变问题．分析：函数f(x)可化为f(x)asin2xbcos2xb．（1）由f(0)8，f( )12可得f(0)2b8，633f( )ab12，因此622b4，a43．（2）f(x)43sin2x4cos2x48sin(2x)4，6故当22xkkZ时，函数fx获取最大值为12．xk即( )626谈论：结论22asinbcosabsin是三角函数中的一个重要公式，它在解决三角函数的图象、单调性、最值、周期以及化简求值恒等式的证明中有着广泛应用，是实现转变的工具，是联系三角函数问题间的一条纽带，是三角函数部分高考命题的重点内容．题型2三角函数的图象：三角函数图象从“形”上反应了三角函数的性质，素来是高考所重点察看的问题之一．例3．（2009年福建省理科数学高考样卷第8题）为获取函数πycos2x的图象，3只要将函数ysin2x的图象A．向左平移5π个长度单位B．向右平移5π个长度单位1212C．向左平移5π个长度单位D．向右平移65π个长度单位6分析：先一致函数名称，在依照平移的法规解决．分析：函数π55ycos2xsin2xsin2xsin2x，332612故要将函数ysin2x的图象向左平移5π个长度单位，选择答案A．12y

yy

y3

322

222-2-o2-xo2-xo3xxo3222

2ABCD例4（2008高考江西文10）函数ytanxsinxtanxsinx在区间图象是3(,)22内的分析：分段去绝对值后，结合选择支分析判断．分析：函数ytanxsinxtanxsinx2tanx,tanxsinx当时2sinx,tanxsinx当时．结合选择支和一些特别点，选择答案D．谈论：本题综合察看三角函数的图象和性质，当不注意正切函数的定义域或是函数分段不正确时，就会解错这个题目．题型3用三角恒等变换求值：其主要方法是经过和与差的，二倍角的三角变换公式解决．例5（2008高考山东卷理5）已知π4cossin365，则sin7π6的值是A．235B．235C．45D．45分析：所求的7πsinsin( )66，将已知条件分拆整合后解决．分析：C．4333434cossinsincossin6522565，因此74sinsin665．谈论：本题察看两角和与差的正余弦、引诱公式等三角函数的知识，察看分拆与整合的数学思想和运算能力．解题的重点是对π4cossin365的分拆与整合．例6（2008高考浙江理8）若cos2sin5,则tan=A．12B．2C．12D．2分析：可以结合已知和求解多方向地搜寻解题的思路．方法一：5sin5，其中12sin,cos55，即tan12，再由sin1知道2kkZ，因此2k，22因此sin2costantan2ktan2．22sincos2方法二：将已知式两端平方得2222cos4cossin4sin55sincos22sin4sincos4cos02tan4tan40tan2方法三：令sin2cost，和已知式平方相加得255t，故t0，即sin2cos0，故tan2．方法四：我们可以认为点Mcos,sin在直线x2y5上，而点M又在单位圆221xy上，解方程组可得x55，y255y从而tan2．这个解法和用方程组xcos2sin522sincos1求解实质上是一致的．方法五：只能是第三象限角，消除C．D．，这时直接从选择支下手考据，因为12计算麻烦，我们假设tan2，不难由同角三角函数关系求出255sin,cos55，检验吻合已知条件，应选B．谈论：本题察看利用三角恒等变换求值的能力，试题的根源是考生所常有的“已知1sincos,0,5，求tan的值（人教A版必修4第三章复习题B组最后一题第一问）”之类的题目，背景是熟悉的，但要解决这个问题还需要考生拥有相当的知识迁移能力．题型4正余弦定理的实质应用：这类问题平时是有实质背景的应用问题，主要表现在航海和测量上，解决的主要方法是利用正余弦定理建立数学模型．例7．（2008高考湖南理19）在一个特准时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E正北55海里处有一个雷达察看站A．某时辰测得一艘匀速直线行驶o的船只位于点A北偏东45且与点A相距402海里的地址B，经过40分钟又测得该o(其中船已行驶到点A北偏东45sin2626oo)且与点A相距，0901013海里的地址C．（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（2）若该船不改变航行方向连续行驶．判断它可否会进入警戒水域，并说明原由．分析：依照方向角画出图形，如图．第一问实质上就是求BC的长，在ABC中用余弦定理即可解决；第二问实质上求是求点E到直线BC的距离，即可以用平面分析几何的方法，也可以经过解三角形解决．分析：（1）如图，AB4022，AC1013，BAC26,sin.26oo，因此cos1(26)2526.因为0902626由余弦定理得222cos105.BCABACABgACg因此船的行驶速度为10523155（海里/小时）．（2）方法一：如上面的图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B,C的坐标分别是Bx1,y1,Cx2,y2，BC与x轴的交点为D．由题设有，2xyAB40，112ox2ACcosCAD1013cos(45)30，oy2ACsinCAD1013sin(45)20.因此过点B,C的直线l的斜率20k2，直线l的方程为y2x40．10又点E0,55到直线l的距离|05540|d357，因此船会进入警戒水域．14解法二：以下列图，设直线AE与BC的延长线订交于点Q．在ABC中，由余弦定理得，cosABC222ABBCAC2ABBC=22240210510132402105=31010．从而2910sinABC1cosABC1.1010在ABQ中，由正弦定理得，AQ10402ABABCsin10o．40sin(45ABC)2210210因为AE5540AQ，因此点Q位于点A和点E之间，且EQAEAQ15．过点E作EPBC于点P，则EP为点E到直线BC的距离．在RtQPE中，o5PEQEsinPQEQEsinAQCQEsin(45ABC)15357.5因此船会进入警戒水域．谈论：本题以教材上所常用的航海问题为背景，察看利用正余弦定理解决实责问题的能力，解决问题的重点是依照坐标方向画出正确的解题图．本题简单出现两个方面的错误，一是对方向角的认识模糊，画图错误；二是因为运算相对繁琐，在运算上出错．题型5三角函数与平面向量的结合：三角函数与平面向量的关系最为亲近，这二者的结合有的是利用平面向量去解决三角函数问题，有的是利用三角函数去解决平面向量问题，更多的时候是平面向量只起衬托作用，三角函数的基本问题才是察看的重点．例8（2009年杭州市第一次高考科目教课质量检测理科第18题）已知向量a(2cosx,cos2x),b(sinx,1)，（0），令f(x)ab，且f(x)的周期为．(1)求f的值；(2)写出fx在[,]上的单调递加区间．422分析：依照平面向量数量积的计算公式将函数fx的分析式求出来，再依照f(x)的周期为就可以详尽确定这个函数的分析式，下面只要依照三角函数的有关知识解决即可．分析：(1)f(x)ab2cosxsinxcos2xsin2xcos2x2sin(2x)，

4∵f(x)的周期为．∴1，f(x)2sin(2x)，4f( )sincos1．422(2)因为f(x)2sin(2x)，4当2k2x2k242（kZ）时，fx单增，3即kxk88（kZ），∵x[,]223

∴fx在[,]上的单调递加区间为[,]．

2288谈论：本题以平面向量的数量积的坐标运算为入口，但实质上是察看的三角函数的性质，这是近来几年来高考命题的一个热点．例9（2009江苏泰州期末15题）r已知向量a3sin,cosr，b2sin,5sin4cos，3,22，且rrab．（1）求tan的值；（2）求cos的值．23分析：依照两个平面向量垂直的条件将问题转变成一个三角函数的等式，经过这个等式研究第一问的答案，第一问解决后，借助于这个结果解决第二问．rr分析：（1）∵abrr，∴ab0r．而a3sin,cosr，b2sin,5sin4cos，故rrab226sin5sincos4cos0，因为cos0，∴26tan5tan40，解得tan43，或tan12．∵3π，，tan0，2π2故tan12（舍去）．∴tan43．（2）∵3π，2π，∴23π（，π）．24由tan43，求得tan122，tan22（舍去）．∴525sincos，，2525cos23ππcoscossinsin2323251535252251510．谈论：本题以向量的垂直为依赖，实质上察看的是三角恒等变换．在解题要注意角的范围对解题结果的影响．题型6三角形中的三角恒等变换：这是一类重要的恒等变换，其中心点是三角形的内角和是，有的时候还可以和正余弦定理相结合，利用这两个定理实现边与角的互化，然后在利用三角变换的公式进行恒等变换，是近来几年来高考的一个热点题型．例10．（安徽省皖南八校2009届高三第二次联考理科数学17题）三角形的三内角A，urrurrB，C所对边的长分别为a，b，c，设向量m(ca,ba),n(ab,c)，若m//n，（1）求角B的大小；（2）求sinAsinC的取值范围．分析：依照两个平面向量平行的条件将向量的平行关系转变成三角形边的关系，结合余弦定理解决第一问，第一问解决后，第二问中的角A,C就不是独立关系了，可以用其中的一个表达另一个，就把所要解决的问题概括为一个角的三角函数问题．urr分析：（1）Qm//n,c(ca)(ba)(ab)，222acb222,1cacba．由余弦定理，得ac1cosB,B．232（2）ABC,ACQ，3222sinAsinCsinAsin(A)sinAsincosAcossinA33333sinAcosA3sin(A)226Q250A,A366613sin(A)1,sinAsinC3262谈论：本题从平面向量的平行关系下手，实质察看的是余弦定理和三角形中的三角恒等变换，解决三角形中的三角恒等变换要注意三角形内角和定理和角的范围对结果的影响．题型7用平面向量解决平面图形中的问题：因为平面向量既有数的特色（能进行近似数的运算）又拥有形的特色，因此利用平面向量去解决平面图形中的问题就是必然的了，这在近来几年的高考中经常出现．考试大纲明确指出用会用平面向量解决平面几何问题．例11.如图，已知点G是ABO的重心，点P在OA上，点Q在OB上，且PQ过ABO的重心G，OPmOA，OQnOB，试证明11mn为常数，并求出这个常数．分析：依照两向量共线的充要条件和平面向量基本定理，把题目中需要的向量用基向量表达出来，本题的实质是点P,G,Q共线，利用这个关系搜寻m,n所满足的方程．uuurr分析：令OAauuurr，OBbuuurr，则OPmauuurr，OQnb，设AB的中点为M，显然uuuurrruuuruuuurrr1，因为G是ABC的重心，因此21( )．由P、OM(ab).OGOMab233

uuuruuuruuuruuurG、Q三点共线，有PG、GQ共线，因此，有且只有一个实数，使PGGQ，而uuuruuuruuurrrrrr111PGOGOP(ab)ma(m)ab333，uuuruuuruuurrrrrr111GQOQOGnb(ab)a(n)b333，因此rrrr1111(m)ab[a(n)b]3333．r又因为a、b不共线，由平面向量基本定理得1313m(n1313)，消去，整理得3mnmn，故113mn．结论得证．这个常数是3．【谈论】平面向量是高中数学的重要工具，它有着广泛的应用，用它解决平面几何问题是一个重要方面，其基本思路是依照采用基向量或坐标把所要解决的有关的问题表达出来，再依照平面向量的有关知识加以办理．课标区已把几何证明选讲列入选考范围，应引起同学们的注意．题型8用导数研究三角函数问题：导数是我们在中学里引进的一个研究函数的重要工具，利用导数商议三角函数问题有它极大的优越性，特别是单调性和最值．22例12.已知函数fxxtxxx，若函数f(x)在区间(,]( )cos2sincossin126是增函数，求实数t的取值范围．上分析：函数的fx导数在(,]126大于等于零恒建立．分析：函数f(x)在区间(,]126上是增函数，则等价于不等式f(x)0在区间(,]126上恒建立，即f(x)2sin2x2tcos2x0在区间(,]126上恒建立，从而ttan2x在区间(,]126上恒建立，而函数ytan2x在区间(,]126上为增函数，因此函数ytan2x在区间(,]126为所求．上的最大值为ymaxtan(2)3，因此t36谈论：用导数研究函数问题是导数的重要应用之一，是解决高中数学问题的一种重要的思想意识．本题如将f(x)化为2fxtsin2xcos2xt1sin(2x)的形式，则与t有关，谈论起来极不方便，而借助于导数问题就很简单解决．题型9三角函数性质的综合应用：将三角函数和其他的知识点相结合而产生一些综合性的试题，解决这类问题经常要综合运用我们的数学知识和数学思想，全方向的多方向进行思虑．例13.设二次函数2f(x)xbxc(b,cR)，已知不论，为何实数，恒有f(sin)0和f(2cos)0．（1）求证：bc1；（2）求证：c3；（3）若函数f(sin)的最大值为8，求b，c的值．分析：由三角函数的有界性可以得出f10，再结合有界性研究．分析：（1）因为1sin1且f(sin)0恒建立，因此f(1)0，又因为12cos3且f(2cos)0恒建立，因此f(1)0，从而知f(1)0，1bc0，即bc1．（2）由12cos3且f(2cos)0恒建立得f(3)0，即93bc0，将b1c代如得933cc0，即c3．（3）21c21c2f(sin)sin(1c)sinc(sin)c( )，22因为1c22，因此当sin1时[f(sin)]max8，由1bc81bc0，解得b4，c3．谈论：本题的重点是bc1，由ff(sin)0(2cos)0利用正余弦函数的有界性得出ff1010，从而f(1)0，使问题解决，这里正余弦函数的有界性在起了重要作用．【专题训练与高考展望】一、选择题1．若[0,2)，且221cos1sinsincos，则的取值范围是（）A．[0,]2B．[,]2C．3[,]2D．3[,2)22．设是锐角，且lg(1cos)m，lg11cosn，则lgsin（）11A．mnB．(m)2nrrrr00，a与b3．若|a|2sin15,|b|4cos15mn2C．rr的夹角为30。，则abD．11(n)2m（）A．32B．3C．23D．12uuuruuuruuuruuuruuur4．若O为ABC的内心，且满足(OBOC)(OBOC2OA)0，则ABC的形状为（）A．等腰三角形B．正三角形C．直角三角形D．钝角三角形5．在ABC中，若acosAbcosBccosC，则ABC是（）A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形6．已知向量OB(2，0)、OC(2，2)、CA(2cos，2sin)，则直线OA与直线OB的夹角的取值范围是（）555A．][0，[，B．[，]C．[，]D．]12124121224二、填空题7．6622sinxcosx3sinxcosx的化简结果是__________．r8．若向量ar与brr的夹角为，则称abrrrr为它们的向量积，其长度为|ab||a||b|sin，rrrrrr已知|a|1，|b|5，且ab4，则|ab|_______________．9．一货轮航行到某处，测得灯塔S在货轮的北偏东15，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30的方向航行30分钟后，又得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为每小时海里．三、解答题10．已知：tan( )13，tan( )2sin2( )4cos2210cossin2．（1）求tan( )的值；（2）求tan的值．11．已知函数2fx3sin2x2sin(x)xR．612（1）求函数fx的最小正周期；（2）求使函数fx获取最大值的x的会集．r12．已知向量a(cos,sin)（1）求cos( )的值;r，b(cos,sin)，rrab255．（2）若02，0sin，且2513，求sin．【参照答案】1．分析：B由已知可得sin0，且cos0，故得正确选项B．2．分析：Clg(1cos)n与lg(1cos)m相加得2lg(1cos)mn，∴2lgsinmn，应选C．rr。。。3．分析：Bab4sin30cos302sin603，选B．uuuruuuruuur4．分析：A已知即CB(ABAC)