课堂授课专题3特殊函数的可视化名师优质课赛课一等奖市公开课获奖课件

数学物理建模与计算机辅助设计专题3：特殊函数可视化第1页本专题主要内容与参考资料主要内容MATLAB包括特殊函数Γ函数(Gamma函数)勒让德(Legendre)函数球函数贝塞尔函数参考资料杨华军,数学物理方法,电子工业出版社彭芳麟,数学物理方程MATLAB解法与可视化,清华大学出版社第2页2MATLAB包括特殊函数查看方法-MATLAB中特殊函数调用在命令窗口输入helpmatlab\specfunairy -Airyfunctions.爱里函数besselj-1stkindBesselfunction.第一类贝塞尔函数bessely-2ndkindBesselfunction.第二类贝塞尔函数（诺伊曼函数）besselh-3rdkindBesselfunctions.第三类贝塞尔函数（汉开尔函数）besseli-1stkind

modifiedBesselfunction.第一类虚宗量贝塞尔函数besselk-2ndkindModifiedBesselfunction.第二类虚宗量贝塞尔函数beta -Betafunction.Beta函数betainc-Incompletebetafunction.不完全Beta函数

betaln-Logarithmofbetafunction.Beta函数对数ellipj -Jacobiellipticfunctions.雅可比椭圆函数ellipke-Completeellipticintegral.完全椭圆积分第3页3MATLAB包括特殊函数erf -Errorfunction.误差函数erfc -Complementaryerrorfunction.余误差函数erfcx-Scaledcomplementaryerrorfunction.标度余误差函数erfinv-Inverseerrorfunction.逆误差函数expint-Exponentialintegralfunction.指数积分函数gamma-Gammafunction.Γ函数gammainc-Incompletegammafunction.不完全Γ函数gammaln-Logarithmofgammafunction.Γ函数对数psi -Psi(polygamma)function.双(多值)Γ函数legendre-AssociatedLegendrefunction.连带勒让德函数第4页4Γ函数(Gamma函数)Γ函数定义Γ函数性质：（3）Γ(z)在整个复平面上除去z=0,z=-1,z=-2,…之外处处解析。（1）（2）（4）Γ(z)在全平面内无零点，即。第5页5Γ函数(Gamma函数)Γ函数图形绘制x=-3:0.01:3;y=gamma(x);plot(x,y,'linewidth',4);gridonaxis([-33-55])Γ(x)奇点分布：z=0,z=-1,x=-2,…第6页6Γ函数(Gamma函数)怎样绘制复变量Γ(z)函数图形?z=5*cplxgrid(30);f=mfun('gamma',z);cplxmap(z,f);view(60,30)axis([-55-55-1010])%mfun是数学软件MAPLE中函数，是对经典特殊函数求值第7页7勒让德(Legendre)函数问题来由：球域内Laplace方程边值问题：第8页分解为两个常微分方程:

(1)

(2)球函数方程方程（2）深入分离变量将得到关于φ本征值方程（3）和关于ϴ连带勒让德方程（4）：变量分离R(r)：第9页满足泛定方程、周期边界条件和球内约束条件变量分离解:：：第10页(cos-1x)=y(x)：即：x=cos

l阶连带勒让德方程连带勒让德多项式勒让德(Legendre)函数第11页勒让德(Legendre)函数勒让德(Legendre)函数：连带勒让德(Legendre)函数：第12页12勒让德(Legendre)函数求勒让德(Legendre)函数Matlab函数legendre(N,x)求全部N阶连带勒让德函数值>>legendre(2,0.0:0.1:0.2)ans=-0.5000-0.4850-0.44000-0.2985-0.58793.00002.97002.8800第13页13勒让德(Legendre)函数绘制前6个勒让德(Legendre)函数图形%P20_1.mx=0:0.01:1;y1=legendre(1,x);y2=legendre(2,x);y3=legendre(3,x);y4=legendre(4,x);y5=legendre(5,x);y6=legendre(6,x);plot(x,y1(1,:),x,y2(1,:),x,y3(1,:),x,y4(1,:),x,y5(1,:),x,y6(1,:));legend('P_1^0','P_2^0','P_3^0','P_4^0','P_5^0','P_6^0');title('勒让德多项式')(m=0,l=1,2,…6)第14页14勒让德(Legendre)函数前6个勒让德(Legendre)函数图形第15页15勒让德(Legendre)函数绘制以俯仰角θ为变量勒让德函数%P22_1.mt=0:0.1:2*pi;rho1=legendre(1,cos(t));rho2=legendre(2,cos(t));rho3=legendre(3,cos(t));subplot(3,4,1);polar(t,rho1(1,:));subplot(3,4,2);polar(t,rho1(2,:));subplot(3,4,5);polar(t,rho2(1,:));subplot(3,4,6);polar(t,rho2(2,:));subplot(3,4,7);polar(t,rho2(3,:));subplot(3,4,9);polar(t,rho3(1,:));subplot(3,4,10);polar(t,rho3(2,:));subplot(3,4,11);polar(t,rho3(3,:));subplot(3,4,12);polar(t,rho3(4,:));第16页16勒让德(Legendre)函数以俯仰角θ为变量勒让德函数图形第17页17球函数问题来由：求解球谐方程：球函数：归一化系数：第18页18球函数归一化球函数：前四个球函数：第19页19球函数球函数表示式和特点复数形式球函数表示式：球函数特点：球函数是在球面上二元函数球函数图形是空间图形，必须指定球半径依据欧拉公式：线性独立l阶球函数共有2l+1个，m=0，Pl

(cosϴ)；m=1,2,…l,各有两个球函数和第20页20球函数球函数图形绘制方法：对复数形式球函数，必须对其实部和虚部分别作图xyz第21页21球函数%P81_1.ml=3;m=2;R=4;A=3;delta=pi/40;theta0=0:delta:pi;phi=0:2*delta:2*pi;[phi,theta]=meshgrid(phi,theta0);

%构建θ,

φ数据网路Ymn=legendre(l,cos(theta0));

%计算了勒让德多项式值Ymn=Ymn(m+1,:)';L=size(theta,1);yy=repmat(Ymn,1,L);Reyy=yy.*cos(m*phi);%实球谐函数Imyy=yy.*sin(m*phi);%虚球谐函数ReM=max(max(abs(Reyy)));Rerho=R+A*Reyy/ReM;Rer=Rerho.*sin(theta);Rex=Rer.*cos(phi);Rey=Rer.*sin(phi);Rez=Rerho.*cos(theta);%球坐标系subplot(1,2,1);surf(Rex,Rey,Rez);%绘制实球谐函数三维图像light;lightingphong;axis('square');axis([-55-55-55]);axis('off');view(40,30)title('实球谐函数');第22页22球函数ImM=max(max(abs(Imyy)));Imrho=R+A*Imyy/(ImM+eps*(ImM==0));Imr=Imrho.*sin(theta);Imx=Imr.*cos(phi);Imy=Imr.*sin(phi);Imz=Imrho.*cos(theta);subplot(1,2,2);surf(Imx,Imy,Imz);light;lightingphong;axis('square');axis([-55-55-55]);axis('off');view(40,30)title('虚球谐函数');第23页23球函数实球谐函数和虚球谐函数仿真图形第24页24球函数第25页25球函数能够绘制一个球面，球面上颜色来表示对应方向上数值第26页26贝塞尔方程解-贝塞尔函数经典实例：求解固定边界圆膜二维振动:v阶贝塞尔方程二维极坐标系下分离变量变量代换第27页27贝塞尔方程解-贝塞尔函数v阶贝塞尔方程通解通常有以下3种形式：Jv(x)、Nv(x)、Hv(x)分别为为v阶第一类、第二类、第三类、贝塞尔(柱)函数。第28页28贝塞尔方程解-贝塞尔函数Jv(x)为v阶第一类贝塞尔(柱)函数（简称贝塞尔函数）Nv(x)为v阶第二类贝塞尔(柱)函数（又称诺依曼函数）（1）当(整数)时，贝塞尔方程通解为：（A和B为任意常数）*当

v=n(整数)时,J-n(x)=(-1)nJn(x),J-n(x)与Jn(x)线性相关。所以必有。（2）当取任意值时，贝塞尔方程通解为：*当

v是否为整数，上式都成立。第29页29贝塞尔方程解-贝塞尔函数（3）当取任意值时，由第一类和第二类还能够组成线性独立第三类贝塞尔(柱)函数Hv(x)，(又称汉克尔函数)和分别称为第一个和第二种汉克尔函数。于是贝塞尔方程通解又能够表示为：第30页30贝塞尔函数贝塞尔函数表示式第一类贝塞尔函数：第二类贝塞尔函数：虚宗量贝塞尔方程

将贝塞尔方程宗量x变换为虚数ix，于是得到虚宗量贝塞方程：第31页31贝塞尔函数特殊贝塞尔函数：虚宗量贝塞尔函数Iv(x)为v阶第一类虚宗量贝塞尔函数（第一类修正贝塞尔函数）（1）当(整数)时，虚宗量贝塞方程通解为：（C和D为任意常数）（2）当取任意值时，定义：Kv(x)为v阶第二类虚宗量贝塞尔函数（或麦克唐纳函数，或第二类修正贝塞尔函数）第32页32贝塞尔函数当v

取任意值时，虚宗量贝塞方程通解为：贝塞尔函数计算和图形绘制j=Besselj(nu,z)nu为阶，z为贝塞尔函数常点

（或复数变量）Besselj 第一类贝塞尔函数，简称贝塞尔函数Bessely 第二类贝塞尔函数，又称诺依曼函数Besselh 第三类贝塞尔函数，又称汉克尔函数Besseli 第一类虚宗量贝塞尔函数，又称虚宗量贝塞尔函数Besselk 第二类虚宗量贝塞尔函数，又称虚宗量汉克尔函数第33页33贝塞尔函数图形绘制贝塞尔函数图形y=besselj(0:3,(0:0.2:10)');figure(1)plot((0:0.2:10)',y)legend('J_0','J_1','J_2','J_3')第34页34贝塞尔函数寻找贝塞尔函数零点%方法I(插值法)x=0:0.05:50;y=besselj(0,x);LD=[];fork=1:length(y)-1ify(k)*y(k+1)<0h=interp1(y(k:k+1),x(k:k+1),0);%插值函数LD=[LD,h];endend%方法II(利用Matlab内建函数)j=1;LD=[];

y=inline('besselj(0,x)','x')%直接定义函数表示式fork=1:16while~(besselj(0,j)*besselj(0,j+1)>0)j=j+1;end

q=fzero(y,j);%查找一元连续函数零点j=j+1;LD=[LD,q];k=k+1;end第35页35贝塞尔函数贝塞尔函数及其零点LD=2.40495.52018.653711.791514.930918.071121.211624.352527.493530.634633.775836.917140.058443.199846.341249.4826第36页36贝塞尔函数绘制诺依曼函数图形y=bessely(0:1,(0:0.02:10)');plot((0:0.02:10)',y)legend('N_0','N_1')axis([010-3.51])gridon第37页37贝塞尔函数绘制虚宗量贝塞尔函数图形I=besseli(0:1,(0.1:0.3:3)');plot((0.1:0.3:3)',I)legend('I_0','I_1')axis([0305])第38页38贝塞尔函数绘制虚宗量汉克尔函数图形K=besselk(0:1,(0.1:0.1:3)');plot((0.1:0.1:3)',K)legend('K_0','K_1')axis([03010])第39页39问题由来：与时间相关三维方程变量分离分解为两个常微分方程：

亥姆霍兹方程球贝塞尔方程及其解第40页2.三维热传导(输运)方程

分离变量：

分解为两个常微分方程

亥姆霍兹方程:球贝塞尔方程及其解第41页亥姆霍兹方程在球坐标系中变量分离分离变量形式解：

球贝塞尔方程及其解