弹性与塑性力学的解题方法市公开课金奖市赛课一等奖课件

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第四章弹性与塑性力学解题方法辅导老师：王贵君教授第1页4-1按位移求解弹性力学问题一基本假定弹性力学中基本假定：理想弹性体中线性问题，连续、均匀、各向同性完全弹性体，在外力作用下，只产生小变形。二解题方法求解15个基本未知量：

求解方程：3个平衡微分方程(1-39)，6个几何方程(2-8)（即微分方程），6个物理方程(3-13)（即广义胡克定律）。

第2页三位移问题1思绪先把位移u,v,w求出2推导按位移求解弹性力学问题，能够取位移u,v,w作为基本未知量。在物理方程式中，能够利用几何方程式将应变用位移表示，这么便可得到用位移表示应力分量。以下：第3页(4-1)

将式（4-1）中各应力分量代入平衡微分方程，得到：其中G为剪切弹性模量，为体力

第4页最终可得：

式中称为拉普拉斯算子，且

为体积应变，且

类似得到另外两个用位移表示平衡微分方程，也叫拉梅位移方程，其形式为：

（4-2）

第5页因为

其中

为拉梅弹性常数，为广义胡克定律中泊松比

，因而式（4-2）也可写为：（4-3）3边界条件位移边界条件：已知物体表面位移，则边界条件可直接带入式中，很轻易提出。应力边界条件：已知物体表面表面力，按照第6页式（4-1）所表示应力带入以下力边界条件（l,m,n为方向余弦函数）得：则边界条件可写为：（4-4）

第7页在求解问题时，使所求得位移函数u,v,w在物体内部满足方程式（4-2），在边界上满足条件（4-4）或者是直接给出位移边界条件，那么，将所求得位移代入几何方程便可求出应变，利用式（4-1）便可求得应力分量。

四：

讨论缺点：按位移求解弹性力学问题，未知函数个数比较少，即仅有三个未知量u,v,w。但必须求解三个联立二阶偏微分方程，而不能按应力争解问题时那样简化为求解一个单独微分方程。

优点：从标准上讲，按位移求解问题是普遍使用方法,尤其是在数值解中得到了广泛应用，比如在有限元、差分法等数值计算方法中，得到了很第8页边界可表示为：l=m=0,n=-1;体力分量：

，这些条件无疑是简化了求解公式。边界条件为位移边界条件

见(图4-1)受均布压力作用半空间体

解：荷载和弹性体对z轴对称，且是半空间体，可假设u=0,v=0,w=w(z)，所以体积应变为：五

例题设有半空间体，单位体积质量为，在水平边界面上受均布压力q作用，试用位移法求各位移分量和应力分量，并假设在z=h处z方向位移w=0分析：半空间体概念：边界面为xy面，荷载和弹性体对z轴对称，位移可表示为：u=0,v=0,w=w(z);

很好应用。

第9页将以上各式代入拉梅位移方程式（4-2）前两式后，得恒等式，得第三式为：积分得：

（1）第10页常数A,B由不定积分得来，可由边界条件确定，在边界上l=m=0,n=-1，

代入式（4-4）前两式得恒等式，第三式为：

(2)

将(1）代入（2）得:（3）第11页由条件得

（4）将（3）（4）代入w表示式,得

将上

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