数学篇-数列讲解

数学篇——数列讲解数学篇——数列讲解26/26数学篇——数列讲解标准文档第五章数列学习要求：认识数列和其通项公式、前n项和的看法理解等差数列、等差中项的看法，会用等差数列的通项公式、前n项和公式解决有关问题.理解等比数列、等比中项的看法，会用等比数列的通项公式、前n项和公式解决有关问题.一、数列的看法定义依照必然序次排列的一列数，数列里的每一个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第一项，第二项，，第n项，，第一项也叫首项.一般地，常用a1，a2，a3，an来表示数列，其中an是数列的第n项，又合用文案标准文档叫做数列的通项.数列记为an比方,数列1,3,5,7,2n1,第1项是1，第2项是3，第3项是5，，第n项是2n1，数列记作2n1数列的通项公式数列an的第n项an与项数n之间的关系，若是可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.比方，数列1,3,5,7,2n1,通项公式是an2n1.数列的前n项和对于数列a1,a2,a3,,an称a1a2a3an合用文案标准文档为这个数列的前n项和，记作Sn.即Sna1a2a3an数列an的an与Sn的关系a1S1,anSnSn1(n2)例1已知数列an的前n项和Sn3n22n，求数列an的通项公式an剖析:由Sn3n22n得Sn13(n1)22(n1)3n28n5因此，当n2时anSS3n22n(3n28n5)6n5nn1当n1,a1S1312211,满足公式an6n5因此数列的通项公式为an6n5历年试题2014年试题）2.已知数列a的前n项和Sn22n，求nn（I）a的前三项；n合用文案标准文档II）数列an的通项公式剖析：（I）a1S112211a2S2S12222(1)1a3S3S23223(2222)3（II）当n2,anSnSn1n22n[(n1)22(n1)]2n3当n1时a11,满足an2n3因此数列的通项公式为an23n2007年试题）已知数列an前n项和Snn(2n1)I）求该数列的通项公式；II）判断39是该数列的第几项.解:（I）当n2,anSnSn12n2n2(n1)2(n1)4n1当n1时a13,满足an4n1因此数列的通项公式为an4n1设39是该数列的第n项，则394n1,n10，即39是该数列的第10合用文案标准文档项二、等差数列等差数列的定义若是一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于一个常数，这个数列就叫等差数列，这个常数叫做公差，记为d，即anan1等差数列的一般形式为a1,a1d,a12d,,a1(n1)d,等差数列的通项公式设an是首项为a1，公差为d的等差数列，则这个数列的通项公式为ana1(n1)d合用文案标准文档等差数列的前n项和公式设an是首项为a1，公差为d的等差数列，Sn为其前n项和，则S(a1an)nn2或Snna11n(n1)d2等差中项若是A,B,C称等差数列，B就称为A与C的等差中项，则B

AC2注：一般证明一个数列是等差数列时，经常是按它们的定义证明an1and为常量等差数列的性质合用文案标准文档1）在等差数列中，间隔相同抽出的项来依照原来的序次组成新的数列仍是等差数列.对于等差数列a1,a2,a3,,an数列a1,a3,a5,,a2n1也是等差数列，数列a2,a4,a6,,a2n也是等差数列数列a1,a5,a9,a13也是等差数列例2如在等差数列an中，已知a24,a79，求a12分析：a2,a7,a12组成等差数列，因为a7a2945，因此a12a759514（2）同等差数列an，若m,n,s,t均为正整数，且mnst，则amanasat如合用文案标准文档a1a9a2a8a3a7a4a62a5例3在等差数列an中，已知a2a810，求a5剖析：因为a2a8a5a5，即2a5a2a8,(a2a8)10因此，a5522例4设an为等差数列,其中a59,a1539，则a10A）24（B）127（C）30（D）33剖析:解法一由等差数列an的通项公式ana1a14d9(n1)d知14d39a1得a139d24d因此a10a13解法二an为等差数列，因此a5,a10,a15也是等差数列，因此，a10是a5与a15的等差中项，合用文案标准文档a5a15939a102242例5在等差数列an中，若是a22,a35，则S10_________剖析：da3a2523，由a2a1d,得a1a2d231S10a110(101)d101210(1)110(101)31252例6等差数列an中，若a4a5a690则其前9项的和S9（）A.300B.C.540D.

270135剖析：an是等差数列，因此a4a62a5，由a4a5a690得3a590，a530合用文案标准文档由S(a1an)n得，S(a1a9)9，n292又a1a92a5，因此S9(a1a9)92a5930927022，选B历年试题2013年试题）等差数列{an}中，若a12,a36，则a2D.12剖析：a2a1a3262242012年试题）已知一个等差数列的首项为1，公差为3，那么该数列的前5项和为（）A.35B.30C.20D.10合用文案标准文档剖析：由Sna1n(n1)d得n12S5115(51)33552选A2011年试题）已知等差数列an的首项与公差相等，an的前n项的和记作S，且S840.n20（Ⅰ）求数列an的首项a1及通项公式；（Ⅱ）数列an的前多少项的和等于84?剖析:（Ⅰ）已知等差数列an的公差da1又S20a20(201)d20a190d210a201211即210a1840，因此，a14又da1，即d4，因此，ana1(n1)d4(n1)44n即数列a的通项公式为a4nnn合用文案标准文档（Ⅱ）设Sn84，又S(a1an)n(44n)n2n22n，n222即2n2n84，解得n6,n7（舍去）因此数列a的前6项的和等于84.n2009年试题）面积为6的直角三角形三边的长由小到大成等差数列，公差为d，⑴求d的值;⑵在以最短边的长为首项，公差为d的等差数列中，102为第几项？剖析:（I）由已知条件可设直角三角形的边长分别为ad,a,ad,其中a0,d0,则(ad)2a2(ad)2，得a4d三边长分别为3d,4d,5dS13d4d6,d12故三角形三边长分别是3,4,5.公差d1合用文案标准文档以3为首项，1为公差的等差数列通项公式为an3(n1),3(n1)102,n100故第100项为1022008年试题）已知等差数列an中,a19,a3a80.⑴求数列an的通项公式;⑵当n为何值时,数列an的前n项和Sn获取最大值,并求该最大值.剖析:⑴设等差数列an的公差为d,由已知aa0,得2a9d0.又已知381a19,因此d2.数列an的通项公式为an92n1,即an112n.⑵解法一：数列an的前n项和Sn9112nn210nn5225.n2当n5时，Sn获取最大值25.令解法二：由⑴知112,ann合用文案标准文档an112n0n11,因此数列前5项2的和最大，最大值为S5a54d5954225.5122三、等比数列等比数列的定义若是一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于一个常数，这个数列就叫等比数列，这个常数叫做公比，记为q，即anan1等比数列的一般形式为a,aq,aq2,,aqn1,1111等比数列的通项公式合用文案标准文档设an是首项为a1，公比为q的等比数列，则这个数列的通项公式为anaqn11等比数列的前n项和公式设an是首项为a1，公比为q的等比数列，Sn为其前n项和，则a(1qn)1(q1)Sn1q或Sa1anq(q1)n1q4.等比中项若是A,B,C称等比数列，B就称为A与C的等比中项，则B2AC或BAC注：一般证明一个数列是等比数列时，经常合用文案标准文档是按它们的定义证明an1q为常量an等比数列的性质1）在等比数列中，间隔相同抽出的项来依照原来的序次组成新的数列仍是等比数列.对于等比数列a1,a2,a3,,an数列a1,a3,a5,,a2n1也是等比数列，数列a2,a4,a6,,a2n也是等比数列数列a1,a5,a9,a13也是等比数列例7如在等比数列an中,a26,a424,则a6（）A.8B.24C.96D.384分析：a2,a4,a6是等比数列，因为合用文案标准文档a6a424a4a24，6a64a442496，选C（2）同等比数列an，若m,n,s,t均为正整数，且mnst，则aaaamnst如a1a9a2a8a3a7a4a6a52比方在等比数列an中，已知a1a516，求a3剖析：a32a1a516，即a3164例8设等比数列an的各项都为正数，若a31,a59，则公比q=（A）3（B）2（C）-2D）-3分析:由等比数列an的通项公式ana1qn1知合用文案标准文档2a1q1得q29又因列各都是正的，a1q49因此q3例9设等比数列an的公比q=2，且a2a48则a1a7（A）8（B）16（C）32（D）64分析:由等比数列an的通项公式ana1qn1知1aqaq38,a2q48a2aaa2q63211112171例10在等比数列an中，若a32S25,a42S35，则an的公比__________剖析：a4a32S35(2S25)2(S3S2)，又S3S2a3，因此a4a32a3，合用文案标准文档即3a3,qa433a3，填例11已知等比数列an中，a210,a320，那么它的前5项和S5__________分析：由a10,a20，可求得公比23qa3202，从而a1a2105a210q2因此S5a1(1q5)5(125)155，填1q12155例12已知等比数列an的各项都为正数，a12,前3项的和为14（I）求该数列的通项公式；（II）设bnlog2an,求数列bn的前20项的和剖析:（I）设等比数列an的公比为q,则合用文案标准文档22q2q214因此q2q60,q2,q231(舍去)因此数列的通项公式为an2n（II）blog2anlog22nn则ns20b1b2b3b2012320(120)202102例13设an为等差数列,且公差d为正数,已知a2a3a415,又a2,a31,a4成等比数列求a1和d剖析:由an为等差数列知a2a42a3a315a2a410351)2a2a4(5解得a22(a28舍去)由此得da3a2523a1a2d231合用文案标准文档历年试题2015年试题）若等比数列an的公比为3,a49,则a1A.1B.193C.3D.272014年试题）等比数列an中,若a28,公比为1,则4a5____________2015年试题）已知等差数列an的公差d0,a11，且2a1,a2,a5成等比数列合用文案标准文档（I）求数列an的通项公式（II）若数列a的前项和S50，求n.nn2013年试题）已知公比为q的等比数列an中,a24,a532I）求q；II）求an的前6项和S6解:（I）由已知得aq3a，即4q332，解得q225（II）aaq12122[1(2)6]42S61(2)（2012年试题）已知等比数列an中,a1a2a327（I）求a2；合用文案标准文档（II）若an的公比q1,且a1a2a313，求an的前5项和剖析:（I）因为an为等比数列，因此aaa22，又aaa27，可得a327，131232因此a23（II）由a1a2a313，a23得a1a310，由aaa27,a3得aa9，123213解方程组a1a3101或a9，得aa1a3911a11a19由a（舍去）3，得或12q3q3因此an的前5项和S51(135)112132010年试题）合用文案标准文档已知数