偏微分方程在计算流体中的应用

偏微分方程在计算流体中的应用——pb06001032张凌肖这学期我选了一门研究生课——计算流体力学，在学习这门课的过程中，我充分感觉到了偏微分方程的重要，因为无论哪一章，都渗透着偏微分方程的思想，没有偏微分方程，计算流体这门课显得支离破碎。下面我就拿一个特殊的计算流体方程举例子。因为计算流体这门课的教材是英文的，所以有些专有名词我将只写出英文，还请多包涵。

我要说的是Shallow-waterequation，它是典型的双曲线方程，它是源于Navier-Stokesequation，形如（1.1）和（1.2），——（1.1）——（1.2）它模拟了海峡，湖泊，河流以及海水中水流的流动形式。大气和海洋中的流体的核心模型是由Shallow-waterequation组成的。接下来我将分六个方面说明偏微分方程在Shallow-waterequation中的应用。一、Shallow-waterequation中的控制方程对于一维的Shallow-waterequation来说（1.1）和（1.2）可以简化成（1.3）和（1.4）。——（1.3）——（1.4）U是流体的平均深度，d是水深，g表示重力加速度，H是底部的高度，而C是Chezy摩擦系数。二、Shallow-waterequation的分类（1.3）和（1.4）可以转化成（1.5），——（1.5），其中，，，而（1.5）的性质体现在特征值问题（1.6）。——（1.6）我们有——(1.7)，如果——（1.8）成立。由于我们已经找到两个实线性独立向量，系统（1.5）是双曲线型的。而且，特征向量可以通过线性运算简化成——（1.9）三、Shallow-waterequation的特征线在thefrozencoefficient的情形下，有wave-likesolution，其中和由于沿着曲线，，且，时，W=const。而上面的曲线就是特征线，这与偏微教材第一章所介绍的特征线在概念和性质上是统一的。四、Shallow-waterequation的对角化我们先引入新的变量Z，使得，我们令，则（1.5）变形成（2.1），——（2.1）这样，是一个对角阵，使得（2.1）变成一个独立的方程组。我们在选取矩阵B是有技巧的，令B等于F的特征向量的组合，，，而且Z满足等式，进而，我们得到，——（2.2），所以（2.1）变形成（2.3）——（2.3）五、Shallow-waterequation的波动性我们先假设H是恒定的，并忽略摩擦力作用，这样（2.3）就变成了（2.4）——（2.4）因此沿着特征线，，=const，而且沿着特征线，，=const。我们称变量和是黎曼不变量。我们不妨把和看作拥有速度和的信号。是由重力引起的。其中，叫做celerity，叫做Froudenumber。接下来，我们来考虑调和波，=const,这是（2.5）的解，如果。如果，那么存在非零解。之后，引入了很多波动性的新的概念，解释起来很麻烦，就不在这里一一介绍了。六、Shallow-waterequation的初边值条件Shallow-waterequation的初边值条件的讨论与《偏微分方程》中第四十页到第四十一页所讨论的内容是完全一致的，在那里，引入了“影响区域”，“决定区域”，还有“依赖区域”的概念，本文就不一一介绍了。其实，关于Shallow-waterequation的内容并没有介绍完，因为后面的内容涉及到偏微分方程数值解和有限元的理论，所以，就不在这里详细阐述。不过，由上面的六个方面可以看出，Shallow-waterequation的基础是建立在偏微分方程知识的熟练