2020年高考数学(理)函数与导数 专题15 高考中常考题型综合解析(解析版)

函数与导数15导数及其应用高考中常考题型综合解析【考点讲解】1、具体目标：1.导数概念及其几何意义：(1）了解导数概念的实际背景；（2）理解导数的几何意义.2.导数的运算：（1）根据导数定义，求函数的导数；(2)能利用下面给出的基本初等函数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.3.导数在研究函数中的应用：①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）。②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数一般不超过三次）.2.生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题。考点透析：1.导数概念及其几何意义：(1）了解导数概念的实际背景；（2）理解导数的几何意义.2.导数的运算：（1）根据导数定义，求函数的导数；(2)能利用下面给出的基本初等函数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.3.以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合；4.单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现，综合研究函数的性质以大题呈现；5.适度关注生活中的优化问题.6.备考重点：(1)熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；(2)熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题.二、知识概述：一）1．由可以知道，函数的导数是函数的瞬时变化率，函数的瞬时变化率是平均变化率的极限.2.基本初等函数的导数公式及导数的运算法则原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝01）基本初等函数的导数公式2）导数的运算法则（1）[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；（和或差的导数是导数的和与差）（2）[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；（积的导数是，前导后不导加上后导前不导）（3）(g(x)≠0)．（商的导数是上导下不导减去上不导下导与分母平方的商）(4)复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．3．函数在处的导数几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．【温馨提示】1.求函数导数的几何意义知图象上点，故当处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率，由存在时，切线方程为.4.可以利用导数求曲线的切线方程，由于函数在处的切线方程，可按如下方式求得：处的导数表示曲线在点处切线在的斜率，因此，曲线在点第一，求出函数在处的导数，即曲线在点处切线的斜率；；如果曲线第二，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程点处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线的定义可知，切线的方程为.【提示】解导数的几何意义问题时一定要抓住切点的三重作用：切点在曲线上；切点在切线上；切点处的导数值等于切线的斜率．二）函数的单调性：1.设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果，则函数y=f(x)为增函数；如果f'(x)<0，则函数y＝f(x)为减函数；如果恒有f'(x)＝0，则y=f(x)为常函数.2.应当理解函数的单调性与可导性并无本质的联系，甚至具有单调性的函数并不一定连续．我们只是利用可导来研究单调性，这样就将研究的范围局限于可导函数．3.f(x)在区间I上可导，那么是f(x)为增函数的充分条件，例如f(x)=x3是定义于R的增函数，但f'(0)=0，这说明f'(x)>0非必要条件．4.讨论可导函数的单调性的步骤：为增函数，一定可以推出，但反之不一定．（1）确定（2）求的定义域；，令，解方程求分界点；（3）用分界点将定义域分成若干个开区间；（4）判断在每个开区间内的符号，即可确定的单调性.5.我们也可利用导数来证明一些不等式．如f(x)、g(x)均在[a、b]上连续，(a，b)上可导，那么令h(x)＝f(x)－g(x)，则h(x)也在[a，b]上连续，且在(a，b)上可导，若对任何x∈(a，b)有h'(x)>0且h(a)≥0，则当x∈(a，b)时h(x)>h(a)=0，从而f(x)>g(x)对所有x∈(a，b)成立．三）函数的极、最值：1．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．三、导数常见题型：一）函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；1、解决这类问题建议按以下三个步骤来解决：第一步：令得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；2、不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需要分类讨论（>0,=0,<0）第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知变量的范围就把这个变量作为主元）；例如：已知定义在上的函数在区间上的最大值是5，最小值是－11.（Ⅰ）求函数（Ⅱ）若的解析式；时，恒成立，求实数的取值范围.【解析】（Ⅰ）令=0,得因为，所以可得下表：0+0-↗极大↘因此即必为最大值,∴因此，，，∴，∴，∴（Ⅱ）∵等价于在，令，则问题就是上恒成立时，求实数的取值范围，为此只需解得，即，，所以所求实数的取值范围是[0，1].第三种：构造函数求最值.二）已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1：转化为在给定区间上恒成立，回归基础题型.解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集例如：已知函数（I）求（II）若的单调区间；在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。【解析】（I）1、当且仅当2、时取“=”号，单调递增。a-1-1单调增区间：单调增区间：（II）当则是上述增区间的子集：1、2、时，单调递增符合题意，综上，a的取值范围是[0，1]。三）根的个数问题函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点======即方程根的个数问题：解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式（组）即可；例如：【2018全国卷Ⅱ】已知函数．(1)若(2)若，证明：当时，；在只有一个零点，求．【解析】(1)当时，等价于．设函数，则．当．时，，所以在在单调递减．而，故当时，，即(2)设函数（i）当当．只有一个零点当且仅当在只有一个零点．．时，，没有零点；（ii）当时，时，；当时，．所以故在单调递减，在单调递增．是，即，即，即在的最小值．①若②若③若，在在没有零点；，只有一个零点；，由于，所以在有一个零点，由(1)知，当时，，所以．故在有一个零点，因此在有两个零点．综上，在只有一个零点时，．四）切线的条数问题====以切点为未知数的方程的根的个数例如：已知函数，求：（1）围．在点处取得极小值－4，使其导数的的取值范围为的解析式；（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范【解析】（1）由题意得：∴在上；在上；在上因此在处取得极小值.∴①，②，③由①②③联立得：（2）设切点Q，∴，过.令，求得：需：，方程有三个根。故：；因此所求实数的范围为：.五）已知在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数.解法：根分布或判别式法.（为常数，例如．(2014山东）设函数是自然对数的底数）．（Ⅰ）当时，求函数在的单调区间；（Ⅱ）若函数内存在两个极值点，求的取值范围．的定义域为【解析】（Ⅰ）函数由可得，所以当时，，函数单调递减，所以当所以时，，函数，单调递增，的单调递减区间为的单调递增区间为内单调递减，故，因此（Ⅱ）由（Ⅰ）知，时，在在内不存在极值点；．当时，设函数，0当点；当时，时，时，函数单调递增.故在内不存在两个极值函数在内存在两个极值点当且仅当综上函数，解得，在内存在两个极值点时，的取值范围为．【温馨提示】关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系.（2）端点处和顶点是最值所在.【真题分析】1.【2019年高考全国Ⅲ卷】已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则（）D．A．B．a=e，b=1C．，【解析】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a，b的等式，从而求解，属于常考题型.∵∴切线的斜率，，将代入，得.故选D．【答案】D2.已知过点A．作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值范围是（）B．C．D．【解析】设切点为，，∴，则切线方程为：，即方程，切线过点代入得：，∴有两个解，则有或．故选A．【答案】A3.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】曲线y=2sinx+cosx在点(π，-1)处的切线方程为（）A．B．D．C．【解析】则在点处的切线方程为，设函数，即．故选C．【答案】C4.【2019天津理8】已知若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（）A.B.C.D.【解析】当成立，令时，恒成立；当时，恒，则，当，即时取等号，∴，则.当时，，即恒成立，令，则，当则时，时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，取得最小值，∴，综上可知，的取值范围是.【答案】C5.【2019年高考江苏】在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线的距离的最小值是.【解析】由，得，设斜率为的直线与曲线切于，由得（舍去），∴曲线上，点到直线的距离最小，最小值为.故答案为．【答案】46.【2019年高考江苏】在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是.【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标.设点，则.又，当时，，则曲线在点A处的切线为，即，将点代入，得，当，即，考察函数时，，当时，，且，当时，单调递增，注意到，故存在唯一的实数根，此时，故点的坐标为.【答案】7.【2018年高考江苏】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．【解析】由得或，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以因此解得.从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，则故答案为.【答案】–38.【2019全国Ⅲ理20】已知函数.（1）讨论的单调性；，使得（2）是否存在在区间时，的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.【解析】（1）.令，得x=0或.若a>0，则当；当时，．故．故在在单调递增，在单调递减；若a=0，在单调递增；若a<0，则当时，；当时，单调递增，在单调递减.（2）满足题设条件的a，b存在.（i）当a≤0时，由（1）知，在[0，1]单调递增，所以，在区间[0，l]的最小值为，即a=0．，最大值，最小为.此时a，b满足题设条件当且仅当，（ii）当a≥3时，由（1）知，在[0，1]单调递减，所以在区间[0，1]的最大值为，b=1，即a=4，b=1．值为．此时a，b满足题设条件当且仅当（iii）当0<a<3时，由（1）知，在[0，1]的最小值为，与0<a<3矛盾.，最大值为b或．若若，b=1，则，，则或或a=0，与0<a<3矛盾．综上，当且仅当a=0，或a=4，b=1时，在[0，1]的最小值为–1，最大值为1．9.【2019浙江22】已知实数，设函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）对任意均有求的取值范围.注：e=2.71828…为自然对数的底数.【解析】（Ⅰ）当时，．，的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+）．所以，函数（Ⅱ）由，得．当时，等价于．令则，则．设，．（i）当时，，则．记，则.故10+单调递减极小值单调递增所以，．因此，．（ii）当时，．令，则，故在上单调递增，所以．由（i）得.所以，．因此．由（i）（ii）得对任意，，即对任意，均有．综上所述，所求a的取值范围是10.【2018北京】设函数.．(1)若曲线(2)若在点处的切线与轴平行，求；在处取得极小值，求的取值范围．，【解析】(1)因为所以（）=．．由题设知，即，解得．．此时．所以的值为1．(2)由(1)得若值．，则当时，时，；当，时，．所以在处取得极小若，则当，所以．所以2不是的极小值点．综上可知，的取值范围是．【模拟考场】1.若是函数的极值点，则的极小值为（）A．B．C．D．1，∵【解析】∵，∴，，所以，，令，解得或单调递减；当，选A．，所以当，，单调递增；当时，，，单调递增，所以的极小值为【答案】A2.函数在[–2,2]的图象大致为（）A．B．C．D．【解析】当时，令函数，则，易知在[0，）上单调递增，，在[，2]上单调递减，又，，，所以存在是函数的极小值点，即函数在上单调递减，在上单调递增，且该函数为偶函数，符合条件的图像为D．【答案】D3.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（）A．B．C．D．【解析】由题意可知存在唯一的整数，使得，在设，，由，可知上单调递减，在上单调递增，作出与的大致图象如图所示，故，即，所以．【答案】D4.若函数A．在区间单调递增，则的取值范围是（）B．C．D．【解析】∵，∴，∵在单调递增，所以当时，恒成立，即在上恒成立，∵，∴，所以，故选D．【答案】D5.如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为A．C．B．D．【解析】法一由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0，0)，(2，0)，在(0，0)处的切线方程为，在(2，0)处的切线方程为，以此对选项进行检验．A选项，，显然过两个定点，又，则，故条件都满足，由选择题的特点知应选A．法二设该三次函数为，则由题设有【答案】A6.当，解得．故该函数的解析式为，选A．时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【解析】当时，得，令，则，，令，，则，显然在上，，单调递减，所以，因此；同理，当显然当时，得．由以上两种情况得．时也成立，故实数的取值范围为．【答案】C7.已知函数，其中e是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是【解析】因为因为．，所以函数是奇函数，，所以函数在上单调递增，，解得又，即，所以，即，故实数的取值范围为【答案】．8.已知函数．（1）求函数（2）设函数的单调区间；，若时，恒成立，求实数的取值范围．，【解析