高数竞赛试题集

高等数学竞赛一、二、填空题⒈若limsinx(cosxb)5，则a=，b=．x0exa⒉设f(x)lim(n21)x,则f(x)的间断点为x．nnx1⒊曲线y=lnx上与直线xy1垂直的切线方程为．⒋已知f(ex)xex，且f(1)=0,则f(x)=．⒌设函数y(x)由参数方程xt33t1确定,则曲线yy(x)向上凸的x取值yt33t1范围为．⒍设yarctanexlne2x，则dy．e2x1dxx11⒎若x0时，(1ax2)41与xsinx是等价无穷小，则a=.xex2,1x1设f(x)22，则21)dx⒏1f(x．121,x2nn⒐由定积分的定义知，和式极限lim．1n2k2nk⒑dx．1xx21三、四、单项选择题11．把x0xcost2dt,x2x3dt，使排在后面的时的无穷小量0tantdt,sint00是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是【】(A),,.(B),,.(C),,.(D),,.12．设函数f(x)连续，且f(0)0,则存在0，使得【】(A) f(x)在（0， )内单调增加. （B）f(x)在( ,0)内单调减少 .（C）对任意的x (0, )有f(x)>f(0). (D) 对任意的x ( ,0)有f(x)>f(0).13.设f(x)x(1x),则【】（A）x0是f(x)的极值点,但(0,0)不是曲线yf(x)的拐点.（B）x0不是f(x)的极值点,但(0,0)是曲线yf(x)的拐点.（C）x0是f(x)的极值点,且(0,0)是曲线yf(x)的拐点.（D）x0不是f(x)的极值点,(0,0)也不是曲线yf(x)的拐点.14.limlnn(11)2(12)2L(1n)2等于【】nnnn2xdx.22lnxdx.（C）22x)dx.22(1x)dx（A）ln2（B）1ln(1（D）ln11115.|x|sin(x2)在下列哪个区间内有界.【】函数f(x)1)(x2)2x(x(A)(1,0).(B)(0,1).(C)(1,2).(D)(2,3).)内有定义，且limf(x)a，g(x)f(1),x016.设f(x)在(,+x，则【】x0,x0(A)x=0必是g(x)的第一类间断点.(B)x=0必是g(x)的第二类间断点.(C)x=0必是g(x)的连续点.(D)g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关.17.设f(x)在[a,b]上连续，且f(a)0,f(b)0，则下列结论中错误的是【】(A)至少存在一点x0(a,b)，使得f(x0)>f(a).(B)至少存在一点x0(a,b)，使得f(x0)>f(b).(C)至少存在一点x0(a,b)，使得f(x0)0.(D)至少存在一点x0(a,b)，使得f(x0)=0.1,x0x18.设f(x)0,x0，F(x)f(t)dt，则【】01,x0(A)F(x)在x=0点不连续.(B)F(x)在(,+)内连续，但在x=0点不可导.(C)F(x)在(,+)内可导，且满足F(x)f(x).(D)F(x)在( ,+ )内可导，但不一定满足F(x) f(x).三、解答题12xcosx19．求极限lim1.x0x3320．设函数f(x)在（,）上有定义,在区间[0,2]上,f(x)x(x24),若对任意的x都满足f(x)kf(x2),其中k为常数.(Ⅰ)写出f(x)在[2,0]上的表达式;(Ⅱ)问k为何值时,f(x)在x0处可导.21．设 f（x），g（x）均在［a,b］上连续，证明柯西不等式22．设eabe2,证明ln2bln2a4(ba).e2exex0,xt(t0)及y0围成一曲边梯形.该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体,其23曲线y与直线x2t处的底面积为F(t).(Ⅰ)求S(t)的值;(S(t).体积为V(t),侧面积为S(t),在xⅡ)limV(t)tF(t)xf(t)dtxbb24．设f(x),g(x)在[a,b]上连续，且满足g(t)dt，x[a,b)，f(t)dtg(t)dt.aaaabb证明：xf(x)dxxg(x)dx.aa25．某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h.经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为k6.0106).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注kg表示千克，km/h表示千米/小时.高等数学竞赛试卷一、单项选择题x21、若lim( ax b) 0，则x1（A） a 1,b 1 （B）a 1,b 1（C） a 1,b 1 （D）a 1,b 1f(x)x02、设F(x),0处可导且f'(0)0，f(0)0，则x0是F(x)的x，其中f(x)在xf(0),x0（A）连续点（B）第一类间断点（C）第二类间断点（D）以上都不是3、设常数k0，函数f(x)lnxx)内零点的个数为（A）0（B）1（C）2（D）3k在(0,e14、若在[0,1]上有f(0)g(0)0,f(1)g(1)a0，且f''(x)0，g''(x)0，则I1f(x)dx，011I2g(x)dx，I3axdx的大小关系为00（A）I1I2I3（B）I2I3I1（C）I3I2I1（D）I2I1I35、由平面图形0axb,0yf(x)绕y轴旋转所成的旋转体的体积为2b()（B）bb2（D）bVxfV2f(x)dxVf(x)dxVf(x)dx（A）aa（C）aa6、P(1,3,4)关于平面3xy2z0的对称点是（A）(5,1,0)（B）(5,1,0)（C）(5,1,0)（D）(5,1,0)7、设D为x2y2R2，D1是D位于第一象限的部分，f(x)连续，则f(x2y2)dD（A）8f(x2)d（B）0RRf(x2y2)dy（D）4f(x2y2)d（C）RdxD1RD18、a为常数，则级数sin(na)1（A）绝对收敛（B）发散C）条件收敛（D）收敛性与a的取值有关n2nn1二、填空题32x(1xx1、limtan4e)。x0x12、具有n个不相等实根的n次多项式，其一阶导数的不相等实根至少有个。3、对数螺线e在点(,)(e2,)处的切线的直角坐标方程为。24、设f(x)是x的二次多项式，且(1x)f'(x)2f(x)0，f(0)1，则f(x)。5、设ysinx2，则dyd(x3)。6、28x7x44x32x23x1dx。2x217、若级数(1)na收敛，则常数a。nn18、三重积分zln(x2y2z21)dxdydz。x2y2z21x2y2z218*、已知曲线yx33a2xb与x轴相切，则b2可以通过a表示为b2。9、设为上半椭球面x2y2z21,(z0)，已知的面积为S，则曲面积分94(4x2 9y2 36z2)dS 。9*、级数x2n1。的收敛区间为n13n10、三元函数uzez2xy在点(1,1,1)处沿该点的向径方向的方向导数为。10*、设f(1)xx，且f(x)可微，则f'(x)。x111、设yxsintdt(0x)，则曲线yy(x)的长度为0。11*、若f(x)dxxexC，则f(x)。rrrrrrrrrrrrr12、设a,b,c都是单位向量，且满足abc0，则abbcca。12*、函数y3x的拐点为。3三、按要求做下列各题。1、求极限limx2(x22x1x)。2、已知函数yf(x)对一切x满足xxf''(x)3x[f'(x)]21ex且在点x00处取得极值，问f(x0)是极大值还是极小值，并证明你的结论。四、计算下面积分。1、1lnxdx2、3xxdx五、f(x,y)为D:x2y2y,x0上的连续函数，f(x,y)1x2y28f(u,v)dudv,求f(x,y)D六、周长为2l的等腰三角形绕其底边旋转，问此等腰三角形的腰和底边之长各为多少时，才可使旋转体的体积为最大？七、f(x)[a,b]连续(a,b)可导，f(a)f(b)0，f(a)f(ab)0。证明：在(a,b)内存在，使得f'()f()。2八、设函数yy(x)由方程组t2xt22t2(0a1)所确定，求dy，d2y。yasinydxdx2九、1、已知ex2dx2，b为大于零的常数。设积分IL(ey2x2cos2xy3y)dx(ey2x2sin2xyby)dy。0其中L是依次连结A(a,0),B(a,),C(0,),O(0,0)的有向折线。求极限limI。aaa2、计算曲面积分Ixdydzydzdxzdxdy，其中为曲面1z(x2)2(y1)2(z0)的上侧。(x2y2z2)35169提示：先补充两个曲面1{(x,y,z)|z0,x2y2a2,(x2)2(y1)21}，取下侧；1692{(x,y,z)|za2x2y2，取下侧，其中常数a充分小，使上半球面2与积分曲面互不相交。九*、1、已知F(x)是f(x)的一个原函数，而F(x)是微分方程xy'yex满足初始条件limy(x)1的解，试将f(x)x 0展开成x的幂级数，并求n的和。n1(n1)!2、如下图，曲线C的方程为yf(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的32)f'''(x)dx。切线，其交点为(2,4)。设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分(xx0高等数学竞赛一、二、填空题⒈lim2122LL2nnn1nn2nnxn⒊设函数yy(x)由方程y1xey确定，则dydx

。⒉lim11.2xtanxx0x1x0=。4.202xxdx。5.广义积分xdx。6.x2y2a2绕xb(ba0)旋转所成的旋转体的体积为。0(1x2)27.zz(x,y)由2x3z2y确定,则3zz。⒏zzexy⒐设rx2y2z2，则div(gradr)1,2,2。01y⒑交换二次积分次序的积分次序1dy2f(x,y)dx12.设L为正向圆周x2y22在第一象限中的部分，则曲线积分二、单项选择题

x2 y2与2x 4y z 0平行的切平面的方程是1xysinz11.dxdydz00o1zxdy2ydx的值为.L13.设函数f(x)x31(x)，其中(x)在x1处连续，则(1)0是f(x)在x1处可导的【】(A)充分必要条件.（B）必要但非充分条件.(C)充分但非必要条件.(D)既非充分也非必要条件.14．设f(x)在[0，1]上连续，且F(x)1f(x),a0,则f(ax)dx【】0（A）F(1)F(0).（B）F(a)F(0).（C）1[F(a)F(0)].（D）a[F(a)F(0)].a15．下列等式中正确的是【】（A）f(2x)dxf(2x)C.（B）df(2x)f(2x)C.（C）dxt)dtf(xt).1f(x).f(x（D）dxf(xt)dtdx0016.limlnn(11)2(12)2(1n)2等于nnnn222x)dx.（D）2ln2(1x)dx.（A）ln2xdx（B）2lnxdx.（C）2ln(11111121x217.设f(x,y)为连续函数，则4d,rsin)rdr等于【2dxf(rcos】（A）f(x,y)dy.000x21x2f(x,y)dy.2dy1y22dy1y2f(x,y)dx.（B）2dx（C）2yf(x,y)dx.（D）20000018.设f(x,y)与(x,y)均为可微函数，且y(x,y)0.已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件(x,y)0下的一个极值点，下列选项正确的是【】（A）若fx(x0,y0)0，则fy(x0,y0)0.（B）若fx(x0,y0)0，则fy(x0,y0)0.（C）若fx(x0,y0)0，则fy(x0,y0)0.（D）若fx(x0,y0)0，则fy(x0,y0)0.19.设l为椭圆x2y21，其周长记为a,则?(2xy3x24y2)ds【】（A）4a.（B）8a.（C）12a（D）16a.43l20.级数an收敛，级数【】（A）an收敛.（B）(1)nan收敛.（C）anan1收敛.（D）anan1收敛.n1n1n1n1n12三、解答题sin2cos1x21．极限limxxx22．设函数f(x)在（,）上有定义,在区间[0,2]上,f(x)x(x24),若对任意的x都满足f(x)kf(x2),其中k为常数.(Ⅰ)写出f(x)在[2,0]上的表达式;(Ⅱ)问k为何值时,f(x)在x0处可导.23.求通过点1,1的直线yfx22fx2中，使得xdx为最小的直线方程。024．求曲面zx2y2夹在二曲面x2y2y,x2y22y之间的部分的面积。25．计算Ixcdxydyc0，其中AB是沿着椭圆x2y21的正向从Aa,0到B0,b的一段弧。3a2b2ABxc2y2226．设f(x)为可微函数，且f(0)0,f(0)2，试求limf(x2y2)y2t2ln(1t3dxdy。t027．设f(x)在a,b上连续，在a,b内可导0ab，证明存在1,2(a,b)使f'(1)f'(2)(ab)。2228．已知曲线L的方程为xt21,(t0),（Ⅰ）讨论L的凹凸性；（Ⅱ）过点1,0引L的切线，求切点(x0,y0)，y4tt2x0的部分）及x轴所围成的平面图形的面积。并写出切线的方程；（Ⅲ）求此切线与L（对应于x高等数学竞赛一、填空题7、设曲线xyz0在点(11,,0)处的法平面为S，则点(0,2,2)到S的距离是()x2y2z208、设f(x,y)arcsiny，则fx'(2,1)()x二、选择题13、曲线x2y253)处的切线方程为()zx2在点(1,2,y2A.x1y2z3x1y2z3x3y1z5x1y2z321821.21D.1888214、设zyyx，则z()yA.yxyyx1B.yxyyx1(lny)2C.yx1(lny)2D.yxyyx1xlnyyyyyfx,ydacosrcos,rsinrdr，则区域D可以表示为(15、若2df)D20A.x2y2a2B.x2y2a2,x0C.x2y2ax,a0D.x2y2ax,a016∑为z=2－(x2+y2)在xoy上方部分，ds17、若是某二元函数的全微分，则a,b的关系是()A.ab0B.ab0C.ab1D.ab118、设曲线C是由极坐标方程r=r(θ)(θ1≤θ≤θ2)给出，则Ifx,ydscA.2rcos,rsinr2r2dB.2x,y1y2dxff112rcos,rsind2frcos,rsinrdC.fD.1 119、a为任意正的实数，若级数ann!，n2n2都收敛，有（）n1nnn2naA.aeB.ae1aeD.0a1C.2220、下列级数中发散的级数是（）1n1n1nnn；（C）1（A）n1；（B）n1；（D）n。n1n2n2n1n21n1、lim(ex1x)22、f(x)22cosx，x0a为何值时，f(x)在x0处连续。一、解答题求极限xx0tanxsin3xaex，x0dx。4、设f(x)在a，b上连续，且F(x)xt)f(t)dt，xa，b,试求F(x)。3、求(x2sinxcosx5axy5．设f(x,y)xsint2dt，求fx,。6．计算二次积分y447．计算二重积分1dxdy其中D：x2y24,x2y216,x2y24x。Dx2y28．计算极限lim1ex2y2lnx2y3d其中D：0xt,0yt。x0t2D二、证明题1．2．试证：F(t)ln(t22tcosx1)dx为偶函数。03．4．证明恒等式x2arctan(secxtanx)33在x时成立。2223．设f(x)对一切x，y满足f(xy)eyf(x)exf(y)，且f(x)在x0处连续，求证：f(x)在任意x处连续。b2b2(x)dxb2(x)dxf(x)g(x)dx4．设f（x），g（x）均在［a,b］上连续，证明柯西不等式fgaaa三、应用题ex e1．曲线y2

x与直线x 0,x t(t 0)及y 0围成一曲边梯形.该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体,其体积为V(t),侧面积为S(t),在xt处的底面积为F(t).(Ⅰ)求S(t)的值;(Ⅱ)计算极限limS(t).V(t)tF(t)高等数学竞赛一、填空1．设fxtanx,fgxx22，且gx4.则gx的定义域为.1113n2212求limarctann!n1nL2=.n223n1nn1sin2xxfx2fx2tanx102100，则lim.4．求limsinx3．设limx3x2sinx.x0x0x0．曲线yx2的拐点为.6．函数fxx2cosx在0,上的最大值为.51x222x3x211x7．求dx.8．求x2lndx.11x9．求1ex2dx.10．设fxd2fxtdt.连续，则11．求2dx12．由曲线yx12所围图形的面积S.3,x2及y01tanxx13．以向量rurrrurr为边的三角形的面积为，其中urrurr.am2n和bm3nm5,n3,,mn614．设z1xyyxy,f,2z.f具有二阶连续导数，则xyx15．函数fx,y,zcosxyz在点1,1,处函数值增加最快的方向为.33nnjn16．求limi2sin.5n!.2n42n17．求limnni1j1n2n18．dex1幂级数表达式为.19