空间立体的体积市公开课金奖市赛课一等奖课件

第五节定积分几何应用

三、空间立体体积

1.已知平行截面面积空间立体体积2.旋转体体积第六章第1页1.已知平行截面面积空间立体体积设所给立体垂直于x

轴截面面积为A(x),则对应于小区间所以所求立体体积为上连续,体积元素为OdV第2页例1解取坐标系如图底圆方程为yxoA(x)三角形边长高为：第3页2.旋转体体积

旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成立体．这直线称为旋转轴．圆柱圆锥圆台第4页情形1G1xyoG1G1xyoxyoxyoxyoxyo•

G1绕x

轴旋转一周所得旋转体体积则以f(x)

为高，以dx

为底窄边矩形平面图形G1：由连续曲线y=f(x)，直线x=a,x=b

及x轴所围成曲边梯形.绕x

轴旋转而成圆柱体第5页体积便是体积元素：G1xyoxyoxyoxyoxyoG1绕x

轴旋转旋转体体积：第6页例2解直线方程为建立坐标系，如图.连接坐标原点O及点P(h,R)直线，直线x=h及x

轴围成一个直角三角形.将它绕x

轴旋转一周组成一个底半径为R，高为h圆锥体，计算该圆锥体体积.第7页以dx为底窄边矩形绕x轴旋转而成圆柱体体积为第8页用“柱壳法”：将旋转体分割成一系列以y轴为中心轴曲顶环柱体.xOyabG1G1绕y

轴旋转一周所得旋转体体积第9页o(dx)能够证实：体积元素G1绕y

轴旋转旋转体体积：xabG1oyy第10页情形2

G2绕y

轴旋转G2绕x

轴旋转cdy•

第11页解例3第12页（方法1）第13页(方法2)柱壳法第14页例4解体积元素为:(方法1)4–22xyo•MP••Q第15页(方法2)4–22xyo第16页例5(综合题)解

(1)xyo1第17页(2)(3)xyo1x第18页第19页第20页例6(综合题)解所以c=0,又由题设，知知识点：①平面图形面积②旋转体体积

③函数极值、最值第21页第22页第23页内容小结二、旋转体体积一、平行截面面积为已知立体体积绕轴旋转一周绕轴旋转一周绕非坐标轴直线旋转一周第24页备用题例1-1

一平面经过半径为R

圆柱体底圆中心,并与底面交成

角,解

如图所表示取坐标系,则圆方程为垂直于x

轴截面是直角三角形,其面积为计算该平面截圆柱体所得立体体积.第25页利用对称性思索

可否选择y

作积分变量?此时截面面积函数是什么?怎样用定积分表示体积?第26页提醒:第27页计算由椭圆所围图形绕x

轴旋转而成椭球体体积.解(方法1)

利用直角坐标方程则(利用对称性)例2-1第28页(方法2)利用椭圆参数方程则尤其当b=a

时,就得半径为a球体体积第29页例3-1解(1)

绕x

轴旋转一周所成旋转体体积为xOy第30页分别绕

y

轴旋转一周所得旋转体体积之差.这个图形绕y轴旋转一周所得旋转体体积能够看成平面图形OABC

与

OBC1CBA(2)

绕y

轴旋转一周所成旋转体体积分析xOy第31页(方法1)OB

方程为)AB

方程为)1CBAxOy从而所求体积为第32页第33页(方法2)xOy由公式得第34页试用定积分求圆绕x

轴上半圆为：下解(方法1)利用对称性旋转而成环体体积

V.例3-2xyo第35页(方法2)

用柱壳法注

上式可变形为右半圆为左此式反应了环体微元另一个取法(如图所表示).•o第36页设平面图形A

由与图形A绕直线x＝2旋转解若选

x为积分变量，则旋转体体积为若选

y为积分变量,则

例4-1所确定,求一周所得旋转体体积.第37页例4-2在

x≥0时为连续非负函数,绕直线x＝t

旋转一周证实:证利用柱壳法所成旋转体体积,则第38页故第39页解例5-1(考研)第40页因为该切线过原点，得即从而切线方程为