透视点到平面距离的求法

透视点到平面距离的求法一、定义法求点到平面距离(直接法)定义法求点到平面距离是根据点到平面的定义直接作出或者寻找出点与平面间的垂线段，进而根据平面几何的知识计算垂线段长度而求得点与平面距离的一种常用方法。定义法求点到平面距离的关键在于找出或作出垂线段，而垂线段是由所给点及其在平面射影间线段，应而这种方法往往在很多时候需要找出或作出点在平面的射影。以下几条结论常常作为寻找射影点的依据 ：(1)两平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。(2)如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这个点在该平面内的射影在这个角的角平分线所在的直线上。(3)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线。 设斜线和已知两边的夹角为锐角且相等， 则这条斜线在这个平面的射影是这个角的角平分线。(4)若三棱锥的三条棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心。例如图4所示，所示的正方体ABCDABCD棱长为a,求点A到平面ABD的距离。(注:本文所有解法均使用本例)图4图5BD中，对角线QAA平面ABCD又Q在正方形ABCDAABDAC,且AAIACA解法一(定义法):如图5所示，连结交BD于点E,再连结AE,过点A作AH图5BD中，对角线QAA平面ABCD又Q在正方形ABCDAABDAC,且AAIACAAA平面AAE,AC平面AAE

由线面垂直的判定定理知道BD平面AAEQAH平面AAEAHBD又由AH的作法知道AHAE,且有BDIAEE,BD平面ABD,AE平面ABD由线面垂直的判定定理知道AH平面ABD根据点到平面距离定义， AH的长度即为点A到平面ABD的距离，下面求AH的长度。ABD中，容易得到ABBDDAJ2a,从而ABD为正三角形， ABD600。进而在RtABE中,AEABsinABD72asin600再由SAAE进而在RtABE中,AEABsinABD72asin600再由SAAE1-AAAE2AEAH得到AAAE211AC2AEa1.2_2_吏2/’3a3从而A到平面ABD的距离为二、转化法求点到平面距离有时候限于几何体的形状，不易直接寻找出点在平面的射影，或者由直接法作出的射影线段在所给几何体中不易计算其长度，此时转化法不失为一种有效的方法。转化法即是将点到平面的距离转化为另一点到平面间的距离的方法。转化法依据主要有以下两点：(1)若直线l//平面，则直线l上所有点到平面 的距离均相等。(2)若直线AB与平面交于点M,则点A、B到平面的距离之比为AM:BM。特别地，当M为AB中点时，A、B到平面的距离相等。下面用转化法重解上面例题解法二(转化法)如图6所示，连结AC、AC、AC、AB、AB,AC交BD于点E,连结AE交AC于点H,延长AC至点G使得CG—AC,连结CG。A B图A B图6QCB平面AABB,从而斜线AC在平面AABB的射影为AB.QAB、AB为正方形AABB对角线， ABAB,由三垂线定理知道ABAC同理可以得到ADAC又QABIADA,AB平面ABD,AD平面ABDAC平面ABDAH平面ABD,即点H为A在平面ABD的射影，AH的长度为所求TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 - 1 - - -\o"CurrentDocument"QAC//AC即AC//EG,且EGECCG—AC-ACACAC2 2四边形ACGE为平行四边形， AE//CG\o"CurrentDocument"AHAE1 1在ACG由等比性质有2H生1,AH」AC\o"CurrentDocument"ACEG3 3而在正方体ABCDABCD中对角线ACJAA2AB2~Bc"J3aAH-a3在本例中，未直接计算垂线段 AH的长度，而是找出了其与正方体 ABCDABCD中对角线AC的数量关系，从而转化为求正方体ABCDABCD对角线AC长度，而AC长度是极易计算的，故用这种转化方法降低了运算量。本例运用的转化方法与依据 （2）类似，都是寻求所要求的垂线段与某一已知或易求线段的数量关系，从而简化计算。三、等体积法求点到平面距离用等体积法求点到平面的距离主要是一个转换的思想， 即要将所要求的垂线段置于一个四面体中，其中四面体的一个顶点为所给点，另外三点位于所给点射影平面上，这里不妨将射影平面上的三点构成的三角形称为底面三角形。先用简单的方法求出四面体的体积，然后计算出底面三角形的面积，再1 根据四面体体积公式V—Sh求出点到平面的距离ho在常规方法不能轻松获得结果的情况下，如果3能用到等体积法，则可以很大程度上提高解题效率，达到事半功倍的效果。特别是遇到四面体的有一条棱垂直于其所相对的底面时，首选此方法。下面用等体积法求解上面例子 ^解法三（等体积法）：如图7所示，作AH垂直于平面ABD于点H,则ABD长度为所求。对于四面体AABD,易见底面ABD的高为AH,底面ABD的高为AA。对四面体AABD的体积而言有：VaABDVaABD1 1 AASr即有：一AASabd-AHSabd,也即：AH 23 3 Sabd由AB BD DAJ2a,从而 ABD为正三角形，ABD 60°,进而可求得SABD -AB ADsinABD ［（、2a）2sin60°立a22 2 22又易计算得到RtABD的面积为SABD-a22所以AHAASabd —2— 3aSABD 32 3a我们在使用等体积法求点到平面距离时使用的点与平面间的垂线段只是概念上的，并不一定要知道点在平面射影的具体位置，从而也就不需要使用几何方法寻找或者求作垂线段，垂线段的长度在这种方法上只是作为几何体高的意义而存在的。四、利用二面角求点到平面距离如图8所示，l为二面角 l的的棱，AOB为二面角 l 的一个平面角。下面考虑点B到平面的距离。作BHOA,垂足为H,下面证明BH平面图8QAOB为二面角l 的一个平面角， OAI、OBl又QOAIOBO,l平面AOB又QBH平面AOB,BHl又QBHOA,OAIl=O,OA平面，l平面，BH平面在RtOBH中，有BHOBsinBOH .①这个公式就建立点到平面距离与二面角的一个数量关系。从而如果能将点与平面置于一个二面角中，则可利用通过所给点关于平面的一条斜线及二面角计算点与平面间的距离。下面利用二面角法求解上面例子。解法四（二面角法）:如图9所示，连结AB、AB,AB与AB相交于点O,连结DO。QAB与AB为正方形ABBA的对角线ABAB（即AOAB）,O为AB中点

图9又QABD中ADBD,DOABAOD为二面角AABD的平面角设A到平面ABD的距离为d,OA是过点A的关于平面ABD的一条斜线，又上面得到的公式①有dOAsinAOD易见，DA平面ABBA,从而DAOA.在RtAOD中有-ADa—tanAOD 2OA2——a

2从而点A到平面ABD的距离为dOAsinAOD£asin(arctan,2)五、向量法求点到平面的距离向量法求点到平面的距离主要是依据如下结论 ：点到平面的距离等于这个与平面上任一点所连接r r PO平面于点O,n为平面证明：如图10所示，P为平面外一点，Q为平面上任意一点,的单位法向量。uuurr uuuur uuurr uuur uuurrQPQgr|PQ|gn|cosPQ,n |PQ|cosPQ,nZ/Z/uuur

|PO|uuuruuur

|PO|uuurr||PQgr|图10uuur uuuu umrr uuuur uuirr|PQ|cosQPO|PQ|gcosPQ,n|||PQ|cosPQ,n

unruuurr即|PO||PQg6| ②这个公式将点到平面的距离转化为了过所给点的任意斜线上的起点和终点分别在所给点及所给平面上一点的向量与平面法单位法向量的内积。下面用向量法从新求解上面例子uuuuuur uuur解法五(向量法)如图11所示以D点为原点，DA,DC,DD所在的正方向分别x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系。图11图11uuur由所给条件知道坐标点 A(a,0,0)、A(a,0,a),B(a,a,a),D(0,0,a),从而有AB(0,a,a),uuuu uuur ur uur uuurTOC\o"1-5"\h\zAD (a,0,a),AA (0,0,a)。设平面ABD的任意一个法向量为 n0 (x,y,z),则有％ AB ,uuuuuruu uuur n0gAB 0n° AD,即uuuuuun°gAD 0ayaz0代入已知得到yaxaz0这是一个关于x,y,z的不定方程，为了方便起见，不妨设z1,这样上式变为aya0aya0axa,解该式得到x1,y0r这样就得到平面ABD的一个法向量为n1(1,1,1),将其单位化得到平面ABD的一个单位法r向量为n%|nr向量为n%|n1|设点A到平面ABD的距离为d,结合②式所给出的结论有rd|AAgr||0八1°「3a即点A到平面ABD的距离为用向量法求解点到平面的距离比之前面提供的几种几何方法而言，这种方法不需要大量的几何证明，而主要是较为机械地进行代数运算。因而在实际使用这种方法时，第一步建立空间直角坐标系常常成为最为关键的步骤，如果所建立的坐标系不能确定所给几何图形中关键点（所给平面外点及所给平面上不共线的任意三个点）在建立的坐标系的坐标，则无法进行后续步骤 ；如果所建立的坐标系虽然能够表示的关键点的坐标，但在所建立的坐标系中得到关键点坐标的计算过程复杂，或者得到的关键点坐标表达式复杂，都将会导致繁琐的的计算。因此，选择恰当的直角坐标系对于使用本方法及简化计算都是相当重要的。六、利用最值求点到平面距离在介绍最值法之前，先介绍一个简单的知识，即点到平面的距离是点与平面上任意点连线的最小值。以下对这点做简要说明。如图12所示，平面外一点P在平面的射影为点P,Q为平面上任意一点。若Q不与P重合，则PQ0,PPQ构成三角形。因PP平面，PQ平面，PPPQ,三角形PPQ为直角三角形，从而由勾股定理有PQPP2PQ2PP这样就证得了结论。有了上面这个结论，那么只要找到平面外一点到平面上任意一点的距离的函数表示，再求出该函数的最小值，则由上面结论即可知该最小值即为点到平面的距离。一般构造函数没有确定的方法，不同的角度构造出的函数表示很可能是不一样的，不过这并不影响最终结果。下面用常用的向量构造方法构造函数求解上面例子中点到平面的距离^uuuruuuruuuur解法六（最值法）如图13所示，E为平面ABD上任意一点，以D点为原点，DA,DC,DD所在的正方向分别x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系。

图13由所给条件知道A(a,0,0)、A(a,0,a),B(a,a,a),D(0,0,a)UULTuuuuUULTUULTuuuuUULT从而有AB(0,a,a)AD(a,0,a),AA(0,0,a)。E在所建立的坐标系下的坐标为E（x,y,z）,在平面ABD上，从而向量ULUTAE(xa,y,z）可由相交向量UULTAB、UUUUADE在所建立的坐标系下的坐标为E（x,y,z）,在平面ABD上，从而向量ULUTAE(xa,y,z）可由相交向量UULTAB、UUUUAD线性表示，不妨设UUITAEUULTABUUUUADR)则UUUUAEUULTUUTUULTAAAEAAUUUTABUUUUAD(a,a,aa)LUUL LUUL 因此|AE| (a)2(a)2(aaa)2a.22222 2巾 1巾 1)22( 3)22(3 3)3—a（当且仅当31,…一时取等号）3A到平面ABD的距离为从而A到平面ABD上点的距离最小值为A到平面ABD的距离为最值方法提供了求解点到平面距离的一种较为新颖的方法，同时这种方法是建立在对点到平面距离的深入理解的基础上的，也有助于加深理解点到平面距离的概念。不过这种方法对使用者的代数知识素养要求较高，要将几何图形中的几何关系转化为代数关系，构造出平面外点到平面上点的函数关系，而且对函数最值的求法也需要较高的变形技巧，否则即使构造出平面外点到平面上点的函数关系也难求出函数最值，故一般这种方法对水平较高的读者比较适用。七、利用点到平面的距离公式求点到平面的距离点到平面的距离公式主要是利用解析几何的知识，将所给点及平面均给予代数表式，从而用代数方法得到的点与平面距离的统一的代数表示。点到平面的距离公式的推导方法有相当多，如直接用两点间距离公式推导、利用直线参数方程中参数的几何性质推导、利用球的切平面性质推导、利用极值法推导等等。公式法的实质是几何量代数化的结果，因此绝大多数求解点到平面距离的几何方法转化为代数语言都可以得到一般意义上的点到平面的距离公式。限于本文篇幅，就不对这些方法一一介绍了，下面仅从利用两点间距离公式的角度给出点到平面的距离公式一种推导。如图14所示，平面外一点P在平面的射影为点P。在某空间直角坐标系下，设平面的代数方程为：AxByCzD0,点P的坐标为在某空间直角坐标系下，设平面P(x0,y0,z0)o将平面 的方程改写为A(xX0)B(yA(xX0)B(yY0)C(zZ0) (AX0By0CZ0D)又由PP平面及直线PP过点P(x0,y0,z0)知道直线PP的方程为xX0yy0zZ0ABC下面不妨设…y^0 —t .④ABC将④代入③中得到tAx。By。Cz°DA2B2C2显然P的坐标P(x,y,z)在直线PP上，从而满足④，即有xx0Atyy°Btzz0CtA(Ax°By°Czxx0Atyy°Btzz0CtB(Ax0By0Cz0D)2 2 ~2A2B2C2C(Ax0By°Cz°D)

A2B2C2进而根据两点间的距离公式d|PP| .(xx°)2 (y y0)2 (y y0)2-222 2_.___.(AB C)(Ax0 By° Cz0 D) _|Am By°Cz° D|(A2B2C2)2 A2=B2=C2一|Ax0By°Cz0D|-A2B2C2这样就得到了点与平面的距离公式，依据⑤式，只要知道在同一空间直角坐标系下所给点