湘教版解读-16尺规作图

**尺规作图1.新课导读问题链接嘉兴李老板，打算投资一个加气站，他考察了一块地。 如图，直线a、b、c表示三条相互交叉的公路，现要建一个 加气站，要求它到三条公路的交叉点距离相等。问题探究同学，你如何看?2.教材解读知识点1尺规作图的概念/了解）（知识详解，尺规作图，就是只准有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图。 课程标准对尺规作图的要求是：利用基本作图作三角形，过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆。【知识拓展】（1）尺规作图的工具限定只能是圆规和没有刻度的直尺 ^（2）尺规作图中不进行度量，对线段的长、角的大小只注重量的关系，不关注他们的具体数彳1.（3）尺规作图过程中，需要用规范、准确的几何语言来叙述作法，要保留每一步的作图痕迹.（4）用尺规作图作出的图形更规范、更准确，但也有一定的局限性，并非所有的图形都能用尺规作图作出来的.TOC\o"1-5"\h\z【例1】尺规作图是指（ ）A.用直尺规范作图 B .用刻度尺和尺规作图C.用没有刻度的直尺和圆规作图 D.直尺和圆规是作图工具【分析】根据尺规作图的概念直接作出解答 。【解】用没有刻度的直尺和圆规作图叫尺规作图，故此题选 C【解题策略】概念是解决问题的根本，首先应当掌握概念。知识点2画一个角等于已知角（重点/掌握）（知识详解）如图所示，/AO斯已知角，试按下列步骤用圆规和直尺准确地画/ AO'B'等于/AOB

1、画射线O'A.2、以点O为圆心，以适当长为半径画弧，交 OA于C,交OB于D.3、以点O为圆心以OC长为半径画弧，交O'A于C'.4、以点C'为圆心S以CD长为半径画弧，交前一条弧于 D'.5、经过点D'画射线OB'.AAOB'就是所要画的角.【知识拓展】（1）知作图原理：SSS!（OC=OC、OD=OD'、CD=CD'）。（2）这一性质主要用于作角的和差倍分，比较角的大小、作三角形、作平行线等【例2】已知/AOB,求作/EMN使/EMN=2AOBAA【分析】2/AOB就是/AOB+/AOB即作好一个/AOB再以它的端点为端点，一边为公共边，在它形外作一个角等于/ AOB【解】作/A'MN=ZAOB,再作/A'ME=/AOB,则/NME=ZAOB。【解题策略】了解角的组成，探索角的作法。知识点3画已知线段的垂直平分线 （重点"掌握）（知识详解）如图所示，已知线段AB,画出它的垂直平分线

•B步骤:•B1、以点A为圆心，以大于AB一半的长为半径画弧;2、以点B为圆心，以同样的长为半径画弧，两弧的交点分别记为CD,连结CD则CD是线段AB的垂直平分线.【知识拓展】(1)知作图原理，见“【教材栏目答疑】(2)等分线段、等分三角形面积、探求到两点距离相等的点，作三角形的高等均需要用到这一基本作图.思一想馀能标裾作法证明直找CD是癖世的杳JL+分变0?【教材栏目答疑】“问题:（课本P40）【答疑】第一步作法，可得AC=BCAD=BDD又CD为公共边，根据SS§得△AC便△BCD

得/ACD=/BCD设CD与AB相交于点E, ACE^ABCE中，AG=BC/ACD=/BCDAE=AE,得AAC总△BCE彳AAE=BE/AEC=/BEC因为/AEC吆BEC=180°,得/AEC=ZBEC=90°,所以CD垂直平分AB!【新课导读点拨】到两个点距离相等，是在这两点组成的线段的垂直平分线上，则只要作两次线段的垂直平分线，找交点即可。第1步：作线段AB垂直平分线；第2步：作线段CB垂直平分线；两条直线的交点P即为所求。

2PD【例4】画^ABC使其两边为已知线段a,b,夹角为3。（要求：用尺规作图，写出已知、求作；保留作图痕迹；不在已知的线、角上作图；不写作法）ACi2PD【例4】画^ABC使其两边为已知线段a,b,夹角为3。（要求：用尺规作图，写出已知、求作；保留作图痕迹；不在已知的线、角上作图；不写作法）ACi【例3】如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心,1大于1AB的长为半径回弧，两弧相交于 CD,则直线CD即为所求.根据他的作图方法可2知四边形ADBC-,定是（ ）根据垂直平分线的画法得出四边形 ADB0边的关系进而得出四边形一定是四边相1解答：解：二.分别以A和B为圆心，大于1AB的长为半径回弧，两弧相交于C.D,2・•.AC=AD=BD=BC故选：B.【解题策略】掌握线段垂直平分线的作法。知识点4用基本尺规作图作三角形。 （重点/难点/掌握）（知识详解）用基本尺规作图作三角形，即是用直尺和圆规作出适合某种条件的三角形 。【知识拓展】常见的有；已知两角、一边作出三角形；已知一角、两边作出三角形，已知三边，作出三角形A.只有AC=ADC.只有AC=BC=DCB.只有AC=BCD.AC=BC=AD=BD【分析】第1步：中作/BCA=B;第2步：中分别在CACB的的边上截取BC=a,AG=b,连接AB,即彳ABC【解】已知：线段a、b和/3求作：△ABC使BC=a, AC= b, Z C= （3 （也可以使任意两边分别等于 a和b,夹角为B）【/规律・方法】一般先作/C-3,再在角的两边上截取两边的长。3.典例剖析基本知识题类型1直接考查基本尺规作图【例5】如图，一张纸上有线段AB;（1）请用尺规作图，作出线段AB的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）若不用尺规作图，你还有其它作法吗？请说明作法（不作图）分析（1）根据垂直平分线的作法，分别以AB为圆心，以大于AB的一半为半径画弧，连接交点即是线段AB的垂直平分线；（2）利用对折，使得点A与点B重合，则折痕所在直线为线段AB的垂直平分线.解：（1）如图所示；

（2）对折，使得点A与点B重合，则折痕所在直线为线段AB的垂直平分线.【解题策略】掌握线段垂直平分线的作法，理解它的实质。【解题策略】掌握类型2利用基本作图求作图形【例6】（2012贵州铜仁，19.（2）,5分）某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处 C的距离等于A和B之间距离的一半，ABC的位置如图所示，请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置，（要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）【分析】到广场的两个入口A、B的距离相等点在线段AB的垂直平分线上，到广场管理处 C1的距离等于A和B之间距离一半的点在以C为圆心以1AB为半径的圆上，所以只要作出垂2直平分线与圆，找到它们在矩形广场内部的交点即可.解：作AB的垂直平分线，以点C为圆心，以AB的一半为半径画弧交AB的垂直平分线于点M即可.【解题策略】要找既到两定点距离相等，又到两直线距离相等的点，需作线段的垂直平分线和角平分线.综合应用题类型3综合考查尺规作图能力【例7】四条线段a,b,c,d如图，a：b：c：d=1：2：3：4.选择其中的三条线段为边作一个三角形 （尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写出作法【分析】列举法找到四条线段组成三角形的可能情况,根据三角形两边之和大于第三边的长

【分析】列举法找到四条线段组成三角形的可能情况,根据三角形两边之和大于第三边的长确定能组成三角形的三条线段是b、确定能组成三角形的三条线段是b、c、do【解】只能取b,c,d三条线段，作图分别以三条线段为半径，线段的端点为圆心作圆，两弧的交点即为三角形的顶点;【解题策略】先画一条线段等于 b,确定下两点，再想法确定第三个点。类型4求作满足综合条件的点【例8】已知A,B两点在直线l的同侧，试用直尺（没有刻度）和圆规，在l上找两点C和D（CD的长度为定值a）,使得AGCBDBM短.（不要求写画法）【分析】此题中线段CD的长是不变量，先将A或B平移CD的距离，转化为在直线上找一点到同侧两点间距离的和最短问题；【解】（1）过点A作l的垂线（尺规作图）；在垂线上截取，找到对称点A';（2）过点B作l的垂线（尺规作图），垂足为M在l上截取线段MN=a;（3）分别以B点为圆心，以a长为半彳5画弧，以N点为圆心，以BM长为半径画弧，交于点B，；（4）连接AB'交l于点C,在l上截取线段Caa.

【解题策略】在直线l上找一点到同侧两点的距离的和最短问题， 要通过轴对称把同侧点转化为异侧点，再通过两点间距离线段最小获最小距离。类型5尺规作图与其他知识相结合考查综合能力【例9】(2012内蒙古赤峰，18,10分)如图所示，在^ABC^,ZAB(=ZACB(1)尺规作图，过顶点A作△ABC勺角平分线AQ(不写作法，保留作图痕迹)(2)在AD上任取一点E,连结BECE求证：△AB降AACE【分析】按照“作一个角的平分线”的作图步骤进行作图，然后利用全等三角形的判定条件“SAS'进行证明.【解】(1)如图所示：(2)证明：.力口是△ABC勺角平分线，BAa/CAD「/AB(=/ACB，AB=AC又AE=AE・.△ABE^△ACE【解题策略】能熟练进行几种常见的基本作图， 结合已知条件灵活选取全等三角形的判定方法是解决该类问题的关键.【例10】(2012北海，21,8分)已知：如图，在^ABC中，/A=30°,/B=60°。(1)作/B的平分线BD交AC于点D;彳AB的中点E(要求：尺规作图，保留作图痕迹,不必写作法和证明）；（2）连接DE求证：△AD降△BDE【分析】（1）尺规画角平分线的作法：①以 B为圆心，任意长为半径画弧，交 ARBC于两1点，再以这两点为圆心，大于1线段长为半径回弧，两弧交于一点，过此点及 B回射线，2交AC于D,线段BD就是所要求得角平分线②要找AB的中点，就是画AB的中垂线，中垂线与AB的交点即为AB的中点，作法：分别以A、B为圆心，大于1AB长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点画直线与 AB交于点E,点2就是要求得中点（2）首先根据角平分线的性质得/ABD的度数300,从而得到/ABDWA,根据在一个三角形中，等角对等边可得AD=BD再力口上条件AE=BEED=ED禾1J用SSS可证明全等。【解】（1）作出/B的平分线BD 作出AB的中点E。2・./ABD=2・./ABD=/A=30°,ZA=30°AD=BD又「AE=BE.AD降△BDE【解题策略】掌握基本尺规作图，能有作法知哪些线段相等。类型6实际应用【例11】（）（2012甘肃平凉，21,7分）为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点巳使P到该镇所属A村、B村、C村的距离都相等（A、B、C不在同一直线上，地理位置如图所示），请你用尺规作图的方法确定点 P的位置.

要求：不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹.E时【分析】根据垂直平分线的性质得出，连接 AB,彳AB的垂直平分线DE连接AC,彳AC的垂直平分线MN交DE于P,两垂直平分线的交点即是所求答案.【解】已知A村、B村、C村，求作新建一个医疗点P,使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等.,注意在画图时要保留的痕迹【解题策略】充分利用线段垂直平分线的性质探索与创新类型7多种方法题,注意在画图时要保留的痕迹【例12】（）（2012甘肃兰州，23,8分改）如图（1）,矩形纸片ABCD把它沿又•角线BD向上折叠.在图（2）中用实线画出折叠后得到的图形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法.（2）折叠后重合部分是什么图形？说明理由.(1)第23题图(1)第23题图【解】【解】（1）作法参考：方法1：作BDG方法2：作DBH方法3：作BDG方法4：作DBH【分析】（1）根据折叠的对称性，折叠前后的三角形是全等的，所以对应角相等，对应边也相等，可以采取画一个角等于已知角，然后在上面截取一条线段等于已知线段。 （2）根据折叠的对称性，所以 BDE^BDC,FDBCDB,根据矩形对边平行，所以内错角ABDBDC,等量代换，所以FDB ABD,等角对等边，所以 BDF是等腰三角形。BDC,在射线DG上截取DEDC，连接BE;DBC,在射线BH上截取BEBC,连接DE;BDC,过B点作BHDG,垂足为E；

DBC,过D点作DGBH,垂足为E;

方法5:分别以D、B为圆心，DC、BC的长为半径画弧，两弧交于点E,连接DE、BE.（注：作法合理均可得分）DEB为所求做的图形.（作图略）【解题策略】了解做一个角等于已知角和做一条线段等于已知线段的办法即可。4.易错疑难辨析-、易错点作图不对。【例1】如图，已线段a、b及/ 求作:AABC,使其有一个角是/”且/”的对边等于a,另一边等于b.【正解】作法：如图（1）作/MBN=,（2）在边BM上截取AB=b,⑶以点A为圆心，a的长为半径作弧交BN于点C（或C';）（4）连结AC（或AC'）则4ABC或4ABC就是所求作的三角形.【错解】作法：如图（1）作/MBN=,（2）在边BM上截取AB=a,⑶以点A为圆心，b的长为半径作弧无法有交点，作不下去。【易错辨析】防对象不对， 方法不对（如用刻度尺、量角器来量等）二、疑难点如何作出一个三角形。【例2】已知三角形的两边和其中一边上的中线长，求作这个三角形 ^已知：线段a、b为两边，m为边长b的中线求作：使BC=aAC=b,且AM=MCBM=m.【分析】先画草图，假定为所求的三角形，则有BC=aAC=h设M为AC边的中点,则MB=m而 2,故ANN」的三边为已知作出，然后再作出 以由C

【正解】MC=—b(1)作线段【正解】MC=—b(1)作线段BC=a, 二延长线段CM至A,使MA=CM连接BA,则MBC为所求作的三角形【疑难辨析】常用“三角形奠基法”，即先确定出一个三角形，再想法确定原三角形的三个顶点。本题的突破口是找财C与所求的MBC的关系.由于的三边已知，故MBC即可顺利作出5.中考解读中考考点透解读在中考中的尺规作图即可以单独考查也可以与其他知识联系起来进行考查，考试过程中的画线段与角常常要借助于正方形网格来进行，即通过观察正方形网格的格点来进行画图。题型有选择、填空或作图（以作图为主，有的作完图后还要说理），分值在3到8分之间）。中考真题剖析【例1】（2012河北，7,3分）如图3,点C在/AOB的CB边上，用尺规作出了CNI//8作图痕迹中，FG是A.以点C为圆心，OD为半径的弧 B.以点C为圆心，DM为半径的弧C.以点E为圆心，OD为半径的弧 D.以点E为圆心，DM为半径的弧图3【分析】先根据条件确定图形中相等的角，再用尺规作一个角等于已知角的方法解决问题.【解】由图形和条件可以知道：/ACB=/NCB根据用尺规作一个角等于已知角的方法，即可知道FG是以点E为圆心，DM为半径的弧.答案：D【规律・方法】解题的关键正确掌握基本的尺规作图方法.解答这类问题的一般步骤， 往往是先根据问题条件，再确定隐含在图形中的边角之间的关系，从而解决问题.【例2】（2012广东省，14,6分a节选）在^ABC中，AB=ACZABC=2,用直尺和圆规作/ABC勺平分线BD交AC于点口保留作图痕迹，不要求写作法）；

【分析】首先按照尺规作图的要求作出角平分线，因为已知/ ABC勺度数，由等腰三角形的性质可求出/BA（=36,再根据角平分线的性质求出/BDC勺度数，最后由三角形的外角定理求出答案.【解】作图如下：【解题策略】掌握角平分线的作法和角平分线的性质是解题的关键.【例3】（2012山东青岛，15,3分）已知：线段a,c,/“.求作：AABC使B*a,AB=c,ZAB(C=Za结论：考点解剖：此题考查尺规作三角形.解题关键是掌握四种基本的作三角形的尺规作图方法【分析】先画角，再在角的两边上截取三角形的两边， 最后连接两边的端点即可构成符合题意的三角形【解】1。作/MBNWa,.在BN上截取BC=a,在BM±截取BA=c,.连结AR△ABC^为所求。【解题策略】尺规作三角形，都可转化为已知 SAGSSGASA的条件作三角形的情况6.课堂小结.知识结构及要点小结.解题方法及技巧小结作一定条件的三角形，都可转化为五种五种基本作图。8.自我评价.已知/AOB求作射线OC使OC平分/