求向量组的秩与极大无关组(修改整理)

前育才"*尹声声女声 前育才"*尹声声女声 知识就是力量 煮帝寿贵衽寿曹高高声杳疗育才*声#声声蕾* M/、邓.里, 煮育曹大育曹寿上喜育离求向量组的秩与最大无关组一、对于具体给出的向量组，求秩与最大无关组1、求向量组的秩(即矩阵的秩)的方法： 为阶梯形矩阵【定理】 矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩 .(三秩相等)①把向量组的向量作为矩阵的列(或行)向量组成矩阵 A;②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B;③阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩.【例1】求下列向量组ai=(1,2,3,4) ,a2=(2,3,4,5) ,a3=(3,4,5,6)的秩.解1：以aI，a2,a3为列向量作成矩阵A,用初等行变换将A化为阶梯形矩阵后可求.. .J56J (O-3 [OOOj因为阶梯形矩阵的列秩为 2,所以向量组的秩为2.解2：以ai,a2,a3为行向量作成矩阵A,用初等行变换将A化为阶梯形矩阵后可求.因为阶梯形矩阵的行秩为 2,所以向量组的秩为2.2、求向量组的最大线性无关组的方法方法1逐个选录法TOC\o"1-5"\h\z给定一个非零向量组 A： 1, 2,…，n①设10,则1线性相关，保留 1②加入2,若2与1线性相关，去掉2;若2与1线性无关，保留 1, 2；③依次进行下去，最后求出的向量组就是所求的最大无关组【例2】求向量组：1 1,2,1T,2 2,3,1T,3 4,1,1T,的最大无关组解：因为a非零，故保留a1取a2,因为a1与a2线性无关，故保留 a^a2取a3,易得a3=2a1+%,故a%a2,a3线性相关。所以最大无关组为a.a方法2初等变换法【定理】 矩阵A经初等行变换化为 B,则B的列向量组与A对应的列向量组有相同的线性相关性证明从略，下面通过例子验证结论成立 .向量组：1=(1,2,3)T, 2=(-1,2,0) T, 3=(1,6,6)T矩阵「 矩附』 矩阵』二 矩阵L 矩阵力域性关系：寓=2丹+乩 力=2"为 需■缄+用他7塔十弟由上可得，求向量组的最大线性无关组的方法：(1)列向量行变换①把向量组的向量作为矩阵的 列向量组成矩阵A;②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵 B;③A中的与B的每阶梯首列对应的向量组，即为最大无关组.【例3】求向量组：1=(2,1,3,-1) T, 2=(3,-1,2,0) T, 3=(1,3,4,-2)T, 4=(4,-3,1,1) T的秩和一个最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。解以1,2,3,4为列构造矩阵A并实施初等行变换化为行阶梯形矩阵求其秩：前育才"*尹声声女声 前育才"*尹声声女声 交口督1弟丸'里,优肯直离曲者离#者含离2 3 14113 3\o"CurrentDocument"3 2 4 1\o"CurrentDocument"1 0 2 1\o"CurrentDocument"1-1 3 -305-51005-5100-11-21-13-301-120 0 0 00 0 0 0知r(A)=2,故向量组的最大无关组含 22 3 14113 3\o"CurrentDocument"3 2 4 1\o"CurrentDocument"1 0 2 1\o"CurrentDocument"1-1 3 -305-51005-5100-11-21-13-301-120 0 0 00 0 0 0知r(A)=2,故向量组的最大无关组含 2个向量而两个非零行的非零首元分别在第1,2歹U,故12为向量组的一个最大无关组事实上,为把3,4用记矩阵B=（1,3因此3=21-1-12线性表示知「（1,2）=2,故1,把A变成行最简形矩阵 A2线性无关-1-13, 4),因为初等行变换保持了列向量间的线性表出性，因此向量4之间有相同的线性关系。121 2,402,4=-1+2【例4】求下列向量组的一个最大无关组，其中:1 1,2,0,3 2 2,5,3,6 3 0,1,3,04 2,1,4,2,3,4与向量5,8,1,2解：以给定向量为列向量作成矩阵A,用初等行变换将A化为阶梯形矩阵B矢口督1第丸'里■情者*离离吉离#者含离矢口督1第丸'里■情者*离离吉离#者含离再利用初等行变换，将B再化成行最简形矩阵C.1-000矩阵Z?已是阶棉影矩阵,君的每阶梯首列所在的则是1,2,4列，所以」的第1,34列就是J的列向量组的极大线性无关组，即0cl,以之，“4是向量组的一个r1 202 5、-2-51-1-8

0-334IQ60-72;「12003、

01-101-► 一--LC0011

(00000,r\2003、0-110-1I0001II。。。。。」即列向量组的一个极大无关组化为了单位向量组.假设第5列为，该如何表示？假设第5列为，该如何表示？初等矩阵A,B,C初等变换行作为求秩无关B中见线性无关C做陪根据行最简形矩阵C可知%,%,如是向量蛆的一个极大无关组，且/―20］一（//0为，TOC\o"1-5"\h\z~ - - - - --- - - -F-- -V . & ~=用最大线性无关组表示其它向量的方法为：①把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵 A;②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵 B;③把阶梯形B进行初等行变换化为行最简形矩阵 C;④根据行最简形矩阵列向量的分量，用最大无关组表示其它向量.前育才"*尹声声女声 前育才"*尹声声女声 知识就是力量 煮帝寿贵衽寿曹高高声杳前育才"*尹声声女声 前育才"*尹声声女声 知识就是力量 煮帝寿贵衽寿曹高高声杳的秩和一个最大无关组的秩和一个最大无关组【例5]求向量组解:前育才"*尹声声女声 前育才"*尹声声女声 知识就是力量 煮帝寿贵衽寿曹高高声杳量组的秩为量组的秩为3,且 是一个最大无关组;时,,故向时,前育才"*尹声声女声 前育才"*尹声声女声 知识就是力量 煮帝寿贵衽寿曹高高声杳是一个最大无关组;是一个最大无关组;(2)当 时,,故向量组的秩为3,且前育才"*尹声声女声 前育才"*尹声声女声 知识就是力量 煮帝寿贵衽寿曹高高声杳前育才"*尹声声女声 前育才"*尹声声女声 知识就是力量 煮帝寿贵衽寿曹高高声杳向量组的秩为向量组的秩为2,且 是一个最大无关组.若时，若，则，此时向量组的秩为3,且 是一个最大无关组.(2)行向量列变换同理，也可以用向量组中各向量为行向量组成矩阵(即列向量的转置矩阵)，通过做初等列变换来求向量组的最大无关组。【例6]求向量组的一个最大无关组.解：以给定向量为行向量作成矩阵A,用初等列变换将A化为行最简形（行向量列变换）前育才"*尹声声女声 前育才"*尹声声女声 交口督1弟丸'里,优肯直离曲者离#者含离由于的第1,2,4个行向量构成的向量组线性无关，故由于是向量组的一个最大无关组.方法3线性相关法（了解）若非零向量组A：1,2,…，n线性无关，则A的最大无关组就是 1,2,…,若非零向量组A线性相关，则A中必有最大无关组二、对于抽象的向量组，求秩与最大无关组常利用一些有关的结论，如：1、若向量组（I）可由向量组（n）线性表示，则（I）的秩不超过（n）的秩2、等价向量组有相同的秩前育才"*尹声声女声 前育才"*尹声声女声 知识就是力量 煮帝寿贵衽寿曹高高声杳3、秩为的向量组中任意个线性无关的向量都是该向量组的最大无关组【例71设向量组的秩为.又设的秩.的秩.求向量组解法1:由于含育才背上#声育蕾R 曹声/离离高喜离宫育太所以，前育才"*尹声声女声 前育才"*尹声声女声 知识就是力量 煮帝寿贵衽寿曹高高声杳故向量组等价，从而的秩为解法2:将看做列向量，则有,其中可求得0,即可逆，从而可由线性表示,由已知可由线性表示，故这两个向量组等价，即它们有相同的秩【例71设向量组（I）:和向量组（n）：的秩分别为而向量秩为秩为.证明:前育才"*尹声声女声 前育才"*尹声声女声 知识就是力量证：若,结论成立中至少有一个为零，显然有