2021届东北三省三校高三第一次联合模拟考试文科数学试卷Word版含答案

2021届东北三省三校高三第一次联合模拟考试文科数学试卷第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=\xI%<0[,B={x11vx<2},则AB=()A．(1,2)B．(1,2]A．(1,2)B．(1,2]C.[-1,2]D.[一1,2)2•设复数z满足(1+i)z=2i，则z=()A.-1+A.-1+iB.-1-iC.1+iD.1-i3•设向量a=（1,2）,b=（m,m+1）,a//b，则实数m的值为（）A.1B・—1C・—-D・—334•双曲线的顶点到渐进线的距离等于虚轴长的1，则此双曲线的离心率是（）43A.2B.3A.2B.C.3D.42A.1B.2C.3D.46•检测600个某产品的质量（单位：g），得到的直方图中，前三组的长方形的高度成等差数列，后三组所对应的长方形的高度成公比为0.5的等比数列，已知检测的质量在100.5〜105.5之间的产品数为150,则质量在115.5~120.5的长方形高度为（）C.C.a=f(m)，b=f(m)D.b=f(m)，a=f(m)C.C.a=f(m)，b=f(m)D.b=f(m)，a=f(m)频率A．B．130C．D．1607.已知数列｛a｝是等差数列，满足a+2a=S，下列结论中错误的是（）n125A.S=09

B.S5最小

C.S=S36

D.a=05&函数&函数f(x)=sin@x+Q)(0兀兀/兀兀、--＜申＜-）在区间（4,2）内是增函数，贝y（222D.fD.f(竺)=J4A.fG）=-1C.®的最大值为4

兀B.f（x）的周期为込9•如图是用二分法求方程x3-2=0近似解的算法的程序框图，则①②两处应依次填入（）A.a=m，b=m

B.b=m，a=m000010•过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于A,B，若S=4S，则直线AB的AOAFAOBF斜率为()A．B.土4c.土3D.土454311.已知四面体A．B.土4c.土3D.土454311.已知四面体A一BCD中,AABC和ABCD都是边长为6的正三角形，则当四面体的体积最大时，其外接球的表面积是()A.65b.30nc.20/1D.12.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f'(x)，满足f'(x)<f(x)，且f(0)二2，则不等式f(x)-2ex<0的解集为()A.(-2,)B.(0,+s)C.(1,+s)D.(4,)第II卷(共90分)二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)'x-y+4>0,13•已知实数x，y满足<x-3y-6<0,则z二x+2y的最大值为2x+3y-12<0,14.若0<a<2，10<b<2，贝y函数f(x)二3x3+品2+2bx-3存在极值的概率为15.若a>0，b>0，且2a+b—1，且2丫'ab—4a2—b2的最大值是TOC\o"1-5"\h\z16.各项均为正数的数列｛a｝和｛b｝满足：a，b，a成等差数列，b，a，b成等比数列，且a—1nnnnn+1nn+1n+11a—3，则数列｛a｝的通项公式为.2n三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)a-csinA+sinB17•已知在wc中内角A，B，C的对边分别为a，b，c且百—丽吋求角B的值；若AABC的外接圆半径为1,求AABC面积S的最大值.某市拟招商引资兴建一化工园区，新闻媒体对此进行了问卷调查，在所有参与调查的市民中，持“支持”“保留”和“不支持”态度的人数如表所示：支持保留不支持30岁以下90012028030岁以上(含30岁)300260140在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取部分市民做进一步调研(不同态度的群体中亦按年龄分层抽样)，已知从“保留”态度的人中抽取了19人，则在“支持”态度的群体中，年龄在30岁以上的人有多少人被抽取；在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人做进一步的调研，将此6人看作一个总体,在这6人中任意选取2人，求至少有1人在30岁以上的概率．19.已知正三棱柱ABC-ABC中，AB=AA=2，点D为AC的中点，点E为AA上.11111叫c叫c当AA=4AE时，求证：DE丄平面BDC11当AA=2AE时，求三棱锥C-EBD的体积.11x2y2120•已知椭圆C:+=l(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，其离心率e=，点P为椭圆上的a2b22一个动点，APAB面积的最大值为2\；'3求椭圆的标准方程；动直线1过椭圆的左焦点F，且1与椭圆C交于M，N两点，试问在x轴上是否存在定点D，使得1DM-DN为定值？若存在，求岀点D坐标并求岀定值；若不存在，请说明理由.21.已知函数f(x)=2lnx+x2-ax+2(agR)讨论函数f(x)的单调性；若存在xg(0,1],使得对任意的ag[-2,0)，不等式f(x)>a2+3a+2一2mea(a+1)(其中e是

自然对数的底数)都成立，求实数m的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线C:y=-J3x，曲线C的参数方程是F+申(申为参数)，以坐12[y=一2+sin申标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求C的极坐标方程和C的普通方程；12兀把C绕坐标原点沿顺时针方向旋转得到直线C，C与C交于A，B两点，求IABI13332选修4-5:不等式选讲已知a>0，b>0，函数f(x)=Ix+aI+Ix-bI的最小值为4.求a+b的值；11求a2+b2的最小值.492021届东北三省三校高三第一次联合模拟考试文科数学试卷参考答案一、选择题1-5:ACAAB一、选择题1-5:ACAAB6-10:DBCAD11、12:AB1111二、填空题13.814・4n2+n16.a=n2三、解答题17•解：(I)二、填空题13.814・4n2+n16.a=n2三、解答题17•解：(I)A+B+C=兀sin(A+B)=sinC,a一ca+b由正弦定理得=—a一bca一csinA+sinBa一bsinC即b2=a2+c2一ac结合余弦定理，有cosB=2,Be(0,n)B=|_(II)2R=2=，解得b=*3

.兀sin3n所以，b2=3=a2+c2一2accos>2ac一ac=ac(当且仅当a=c时取等)所以S=1acsinX空3418•解：(I)设在“支持”的群体中抽取n个人，其中年龄在30岁以下的人被抽取x人.由题意120+260""1^900+300n得n=60则x=4n=45人.4所以在“支持”的群体中，年龄在30岁以下的人有45人被抽取．2802m(II)设所选的人中，有m人年龄在30岁以下•贝I」厂=-=，•:m=4TOC\o"1-5"\h\z280+14036即从30岁以下抽取4人，另一部分抽取2人．分别记作A1,A2,A3,A4,B1,B2则从中任取2人的所有基本事件为A,A)(,A,A)(,A,A)(,A,B)(,A,B)(A,A)(,A,A)(,A,B)(,A,B)121314111223242122A,A)(,A,B)(,A,B)(,A,B)(,A,B),(B,B)．共15个343132414212其中至少有1人在30岁以上的基本事件有9个．分别是A,B)(,A,B)(A,B)(,A,B)(A,B)(,A,B)(,A,B)(,A,B),(B,B)11122122313241421293所以在这6人中任意选取2人，至少有1人在30岁以上的概率为15=5(I)证明：AABC为正三角形，点D为AC的中点，•••BD丄AC,•••BD丄面ACCA，从而BD丄DE连接Eq,一AAi=4AE,AB=AAi=2,.・・EA二*,ED违,EC=严+4=|,CD=J5则ECi=EDi+CDi,•ED丄CD111又CDBD=D,•••DE丄平面BDC11(II).AA=2AE,:.ED=J|,CD=CE二、拓,:.S=-111ACjDE2由(I)知BD丄面ACCA，所以BD为三棱锥B-CDE的高，所以V=V=—S・BD=-X—xT-二二C]-EBDB-C—DE—AC—DEc1]20.解：(I)由题意，e==,(S)=x2ab=ab=2\：3，且a2=b2+c2a2APABmax2解得a=2,b=*3c=1x2y2・•・椭圆的标准方程为才+y二1(II)假设存在定点D(m,0)，使得向量DM-DN为定值nx2y2彳—+—二1①当直线1的斜率不为0时，椭圆C左焦点F(-1,0)，设直线1的方程为x=ty-1•联立＜43，x二ty-1去x，得(3t2+4)y2-6ty-9=0设M(x1设M(x1,y1),N(x2,y2)，则y1+y26tR，y1y2-93t2+4DM=(x-m,y),DN=(x-m,y)，1122DM・DN=(x-m)(x-m)+yy=xx-m(x+x)+m2+yy1212121212=(ty-1)(ty-1)-m(t(y+y)-2)+m2+yy121212=(t2+1)y1y2-(m+1)t(y1+y2)+(m+1)2-9(t2+1)3t-9(t2+1)3t2+46t2(m+1)3t2+4+(m+1)2=(-6m-15)t2-93t2+4+(m+1)2．TOC\o"1-5"\h\z—6m—15—911135若DM・DN为定值n，则6m5=-9，即m二—--，此时n=—二3486411527135②当直线1的斜率为0时，A(—2，0),B(2,0),D(—,0),DM・DN二-x二-，亦符合题意;88864使得向量DM使得向量DM・DN为定值n=1356?2x22x2—ax+2x(x>0)>0,x=a7'a2一16>024221.解：(I)f(x)=+2x—a=x令h(x)=2x2—ax+2,A=a2一16h(x)当a<0时，—ax>0,.・.f'(x)=>0，函数f(x)在(0,+Q上单调递增；x当0<a<4时，A=a2—16<0，所以h(x)>0，函数f(x)在(0,+Q上单调递增;③当a>4时，A=a2—16>0，a—ya2—16令h(x)=0，得x=1f'(x)>0nxG(0,x)(x,+8)；f'(x)<0nxG(x,x)1212所以，f(x)在(0,x)和(x，+8)上单调递增，在(x,x)单调递减.1212综上，1当a<1时，函数f(x)在(0,+8)上单调递增；2当a>1时，f(x)在(0,x)和(x,+8)上单调递增，在(x,x)单调递减．1212(注：如果在每种情况中已说明函数在哪个区间上的单调性，不写综上不扣分；如果每种情况只解出不等式，最后没写综上扣1分)(II)由(I)知，aG[—2,0)时，函数f(x)在区间(0,1]上单调递增，所以当xG(0,1]时，函数f(x)的最大值是f(1)=3—a，对任意的aG[—2,0)，都存在xg(0,1],使得不等式2mea(a+1)+f(x)>a2+3a+2成立，00即对任意的aG[—2,0)，2mea(a+1)+f(x)>a2+3a+2都成立，0max即对任意的aG[—2,0)，不等式2mea(a+1)—a2—4a+1>0都成立，记h(a)=2mea(a+1)—a2—4a+1，则h'(a)=2mea(a+2)—2a—4=2(a+2)(mea—1)

ae[一2,0),eaw[丄,1)，且a+2>0e2当m<1时，mea-1<0,.h'(a)<0，即ae[-2,0)时，h(a)单调递减.h(a)>0,只需h(0)>0，解得m>——，.:me[——,1].22当m>1时，令h'(a)=0得a=-2或a=—lnm，因为ae[—2,0)，所以2(a+2)>0(i)当1<m<e2时，—lnme[—2,0)，当ae(—2,—lnm)时，h(a)<0当ae(-lnm,0)时，h'(a)>0，•:h(a)=h(-lnm)=-ln2m+2lnm+3>0min解得me(je3)，.・.me(1,e2)e(ii)当m>e2时，因为一2<a<0，所以丄<ea<1，所以mea>1，所以h'(a)>0，则h(a)e2在[-在[-2,0)上单调递增，得h(—2)=5—2me-2>0，即m<5e2/r/