2021届北京市朝阳区高三上学期期中考试质量检测数学试题

第页第页16北京市朝阳区2020~2021学年度第一学期期中质量检测高三数学试卷2020.11（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合A=lxIx2-x-2<o}，B={—l,0,l,2,3}，则AB=A.{-1,0,1}A.{-1,0,1}B.{—1,0丄2}C.{0,1,』D.{0,1,2,3}【答案】B冗2.已知xe(0,-),冗2.已知xe(0,-),sin(彳-x)=则耐=(厶J12A.2524B.2512C.—2524D.-25答案】B113.已知a=2-3，b=iog23，c=i°g丄3，贝ij(2A.a>bA.a>b>ca>c>bC.c>a>bD.c>b>a答案】C）A.3a-2bB.a）A.3a-2bB.a—2b4.如图，在△ABC中，D是BC的中点.若AB=a,AD=b,则AC=（—a+2b-a+-b22答案】C5.“lna>lnb”是“3a>3b”的(_)A.充分而不必要条件第页A.充分而不必要条件第页B.必要而不充分条件1C.充分必要条件【答案】AD.既不充分也不必要条件6.已知函数f(x)=》3sin3x-丄cos3X(3>C.充分必要条件【答案】AD.既不充分也不必要条件6.已知函数f(x)=》3sin3x-丄cos3X(3>0)的图象与直线y=1的相邻两个交点间的距离等于兀，则f(x)22的图象的一条对称轴是()兀A.x12兀C.x=-亍D.答案】D7.在△ABC中，AB=4,AC=3，且IAB+AC1=1AB-ACI,则BC•CA=A.-12B.-9C.9D.12答案】B8.已知fx)是定义在R上的偶函数，且当xe(-s,0］时，f(x)13=2x+3,则f(iog22)=()1A.-2B.17C.711D-T1答案】B9.已知函数f(x)=<|x+1|,-7W9.已知函数f(x)=<血x,e-2<x<e.若存在实数m，使得伽)=2a2-4a成立’则实数a的取值范围是A.[-1,A.[-1,+s)B.(®,-1]U[3,+s)C.[-1,3]D.3，3]答案】C/兀兀、/兀小、10.已知奇函数fx)的定义域为(--,-),且广(x)是fx)的导函数•若对任意xG(--,0),都有兀兀兀A.(-+广(x)cosx+f(x)sinx<0,则满足f(。)<2cos©•f(亍的兀兀A.(-+兀兀/兀兀、B.(一亍-亍2(亍亍)兀兀C.(-齐)答案】D第二部分(非选择题共110分)二填空题共5小题，每小题5分，共25分

TOC\o"1-5"\h\z已知向量a二(3,1),b=(t,2)，若a//b，则实数t=.【答案】6>—>已知x>0,y>0,xy=1，则x+4y的最小值为，此时x的值为.【答案】(1).4(2).213.在一个房间使用某种消毒剂后，该消毒剂中的某种药物含量y(mg/m3)随时间t(h)变化的规律可表示为at,0<tat,0<t<—2丄,t工2at2(a>0)如图所示，则a=实验表明，当房间中该药物含量不超过0.75mg/m3时对人体无害，为了不使人体受到该药物伤害，则使用该消毒剂对这个房间进行消毒后至少经过小时方可进入.答案】(1).2答案】(1).2(2).14・设｛叮是公差为d的等差数列，Sn为其前n项和•能说明“若d>0,则数列｛Sn｝为递增数列”是假命题的一组a］和d的值为.［答案］a1=-4,d=2(满足a1+d<0均可)15.公元前2世纪的古希腊天文学家和数学家希帕科斯是三角学的创立者之一，他因天文观测的需要编制1-cosa~2-.如1-cosa~2-.如了有关三角比率的表格•后人推测希帕科斯在编制表格的过程中本质上使用了公式sin2-=图是希帕科斯推导此公式时使用的几何图形，已知点B在以线段AC为直径的圆O上D为弧BC的中点,点E在线段AC上且AE=AB，点F为EC的中点•设OA=r,^DOC=a.给出下列四个结a论:①CD=2rsin—②AB=2rsina;③CF=r(1-cosa);④CD2=2r2(1-cosa).其中，正确结论的序号是乙

【答案】①③④【答案】①③④三■解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程•16.已知函数f（x）=sinx—、；3cosx.兀（1）求/Gy）及fx）的最小正周期；「兀3叭（2）若xe[-^y],求fx）的值域.（兀1【答案】（1）f-=0，最小正周期是2兀；（2）[—1,2].V3丿(1)f(x)=sinx—(1(1)f(x)=sinx—(1.(兀、cosx.=2—sinx一——cosx=2sinx——V22丿V3丿最小正周期为T=2兀；=2sin冗3兀兀7兀'兀'xe时，x—_e，sinx——22」时，3L66」V3丿2)・・・f(x)e[—1,2].值域为[—1,2]．【点睛】本题考查两角差的正弦公式，考查正弦型三角函数的周期，值域，掌握正弦函数的性质是解题关键.解题方法是利用两角和与差的正弦（余弦）公式化函数为一个角的一个三角函数形式.17.已知｛a｝是等差数列，｛b｝是各项都为正数的等比数列，a1=b=1,再从条件①，条件②，条件③这nn12三个条件中选择两个作为已知.（1）求数列｛a｝的通项公式；n（2）求数列｛b｝的前n项和.n条件①:a2+a4=10；条件②:b2b4=4；条件③:b4=a5.242445【答案】选择条件①和条件②：(1)设等差数列｛a｝的公差为d,na=11，则a1,d2a+a=2a+4d=101241二二a=1+(n—1)x2=2n-1；n(2)设等比数列｛b｝的公比为q,q>0,nb=bq=1.21bb=b2q4=4241设数列｛b｝的前n项和为S,nn.Sn(1—2n)1—2选择条件①和条件③：(1)设等差数列｛a｝的公差为d,n厂a—1.•.<1a+a—2a+4d—10241则a11,d2，.an—1+(n—1)x2—2n—1；2)b—a—9，45设等比数列｛b｝的公比为q,q>0,nb—bq—1-J21・•b—bq3—941设数列｛b｝的前n项和为S,nn.Sn3°-3n)1—33n—16选择条件②和条件③：(1)设等比数列｛b｝的公比为q,q>0,nb—bq—1<21bb—b2q4—4241—b—1x23—4,42

设等差数列｛a｝的公差为d，n3—ai+4d—4，又ai—1，故d—才‘.a.an—1+(n—1)x4—4n+4；⑵设数列｛bn｝的前n项和为Sn，由(1)可知sn18.在△ABC中，AB=2,AC=3.1)若B=60°，(i)求BC；(ii)设D是边BC上一点，且ZADC=120°，求sinZDAC；(2)若AE是△ABC的内角平分线，求AE的取值范围.3J2—[312【答案】(1)(i)1+J6；(ii)—；(2)0<AE<—,65(1)(i)由余弦定理AC2—BA2+BC2—2-BA-BCcosB得9—4+BC2—2x2-BCcos600，解得BC—1+空6(BC—1—J6舍去)；(ii)ZADC=120°，则ZADB—60。，又ZB—60。，:.△ABD是等边三角形，BD—AB—2，・・・CD—BC—BD=\6—1，在ADC中，在ADC中，ACCDsinAADC~sinZDAC△・•・sinZDAC—(2)・・・AE是角平分线,BEAB2(2)・・・AE是角平分线,BEAB2CEAC3设BC—2x,CE—3x，则BC—BE+CE—5x，由3—2<5x<3+2得一<x<15由余弦定理得cosZAEB—EA2+EB2—AB2

2EA■EBcosZAEC—EA2+EC2—AC22EA-ECEA2+EB2一AB22EA^EB又cosEA2+EB2一AB22EA^EBTOC\o"1-5"\h\zEA2+EC2-AC2EA2+4x2-4EA2+9x2-9_=+=0,2EA-EC4x-EA6x-EAEA2=6-6x2，114412一<x<10<AE2<，.:0<AE<—.525519.已知函数f(x)=x+alnx(aGR).当a=一1时，求函数f(x)的极值；1若不等式/(x)<x2+ax对任意x>0恒成立，求a的取值范围.1【答案】(1)极小值为1,无极大值；(2)a>函数f(x)的定义域为(0,+8),当a=-1时，f'(x)=1--(x>0).由f'(x)=0，得x=1.x所以，f(x)在(0,1)上单调递减，(1,+8)上单调递增，所以，函数f(x)的极小值为f(1)=1，无极大值.取t(x)=lnx—x+1(x>0)求导得，t'(x)=1-1=匕，xx所以，t(x)在xe(0,1)上有t'(x)>0，t(x)单调递增；t(x)在xe(1,+8)上有t'(x)<0，t(x)单调递减；则[/(x)]=t(1)=0，所以，在(0,+8)上，有t(x)<0，所以,max当xe(0,+8)上时，lnx<x-1，1对Vxe(0,+8)，f(x)<-x2+ax恒成立,1即对Vxe(0,+8)，x+alnx-—x2-ax<0恒成立,2由于lnx=ln(x—1+1)<x—1,

1_故Inx一x<0，所以，对Vxe(0,+s),a、2X恒成立,lnx一x1%2一x令g(x)=2lnx一x即V1%2一x令g(x)=2lnx一x则g'(x)=(1_则g'(x)=(1_x)(x一2lnx+2)2(lnx一x)2令h(x)二x—2lnx+2则h'(x)=1—2=二2,xxh(x)在xe(0,2)上单调递减，在xe(2,+s)上单调递增，所以，h(x)］二h(2)二2—ln2+2>0，即h(x)在xe(0,)上有h(x)>0,min于是，在xe(0,1)上单调递增，在xe(1,+^)上单调递减，［g(x)］二g(1)二，于是可得，a―；max221所以，的取值范围是a―acosx20.已知函数f(x)=x当a二10二0时，判断函数fx)在区间(0,才)内的单调性；已知曲线f(x)-+b在点(亍/())处的切线方程为y=一一x+2・x22兀求fx)的解析式；3判断方程f(x)=—1在区间(0,2t］上解的个数，并说明理由.2兀3cosx【答案】(1)单调递减函数；(2)(i)f(x)二—1；(ii)3个，理由见解析.x当a二1,b二0时，求得广(x)二一刃11xx*x，进而得到f(x)<0，即可求得函数f(x)的单x2调性；TOC\o"1-5"\h\z兀、—2a—2a6(i)求得函数的导数广(x)，求得f'()二，得到二-，求得a的值，进而求得b的值，2兀兀兀即可求得函数的解析式；(ii)令g(x)二f(x)—学+1，求得gr(x)=^x；+c°同，分xe(0,2］，xe(巴，匹)和xe碍,2兀］2兀x22222三种情况讨论，结合导数求得函数的单调性与极值，即可求解.

cosxsinx-x+cosxx2【详解】(1)当a_1,b_0时，f(x)_，可得f(x)_x2x因为xe(0,，)，所以sinx-x+cosx>0，即f'(x)v0,2所以函数/(x)在区间(0,2上为单调递减函数.acosx—a(sinx-x+cosx)-、—2ax2⑵(i)由函数f(x)_=+b，可得八x)_—x，则x2因为函数f(x)在点(—,f(2))处的切线方程为y_——x+2‘—2a6所以_—，解得a_3,--兀6兀cT当x_-兀6兀cT当x_-，代入切线方程y_——X+2_—1，2-23cosx所以函数f(x)的解析式为f(x)_—1.x33cosx3(ii)令g(x)_f(x丿―+1__，则g2-x2-兀可得/(—)=b=_1,，(兀)_—3(xsinx+cosx)x2兀①当xG(0迈］时,可得g'(x)V0，g(x)单调递减,又由g-2->0,g(l)__2-<所以函数g(x)在区间(0,|］上只有一个零点；3<0恒成立,-3<0恒成立,x2-当xe(—,)时，COSx<0，可得g(xx2-22所以函数g(x)在区间(亍亍)上没有零点；当xe［竺,2-］时，令h(x)=xsinx+cosx，可得h'(x)=xcosx>0，2所以h(x)在区间［^^,2兀］单调递增，h(2—)>0,h(^^)<0，223-3-所以存在xe［可,2兀］，使得g(x丿在［可,x)上单调递增，在(x0,2-］单调递减,02200又由g(2-)_0,g(壬)<0，所以函数在［辛,2-］上有两个零点，3综上可得，方程f(x)_—1在(0,2-］上有3个解.l(1l(1<k</)21・已知数列｛an｝是无穷数列，其前n项和为Sn若对任意的正整数m>2，存在正整数k，使得S_a+a，则称数列｛a｝是“S数列".mkln(1)若a_2n(n_1,2,),判断数列｛a｝是否是“S数列”，并说明理由;nn（2）设无穷数列｛a｝的前n项和S二qn（n=1,2,）且q>2，证明数列｛a｝不是“s数列"；nnn（3）证明:对任意的无穷等差数列｛a｝，存在两个“S数列"｛b｝和｛c｝，使得a二b-c（n二1,2）成立.nnnnnn【答案】（1）是“S数列”；理由见详解；（2）证明见详解；（3）证明见详解.（1）因为a二2n（n二1,2,）显然是以2为首项，以2为公差的等差数列，…n所以其前n项和为S==n（n+1），nm2-m则对任意正整数—>2，都有S=m(m+1)=2x+2mm2当—=2时，的S=S=6=a+a，即存在k=1，l=2使得S=a+a；212mklm2-m当正整数m>3时，取心-2T-，k=m，m2-mm2-mm(m-3)则-2T-，m都是正整数，且p-一m=-^>°，综上对任意的正整数m>2，存在正整数k，l（1<k<l）使得sm=a+a，kl所以数列｛。｝是“S数列";n(2)由s=qn(n=h2，)且q>2可知，当n>2时，有a=snnn-S=qn-qn-1，n-1当n=1时，管S广q；若数列｛a｝是“S数列”，则对任意的正整数m>2，存在正整数k，nl(1<k<l)使得