动态微分方程模型公开课一等奖省优质课大赛获奖课件

动态微分方程模型传染病模型

(四个模型)问题提出本世纪初，瘟疫常在世界上某地流行，伴随人类文明不停进步，很多疾病，诸如天花、霍乱已经得到有效控制．然而，即使在今天，一些贫穷发展中国家，仍出现传染病流行现象,医疗卫生部门官员与教授所关注问题是：（1）怎样描述传染病传输过程（2）怎样分析受感染人数改变规律（3）怎样预报传染病高潮到来．问题分析不一样类型传染病传输过程有不一样特点。故不可能从医学角度对各种传染病传输过程一一进行分析，而是按普通传输机理建立模型．因为传染病在传输过程包括原因较多，在分析问题过程中，不可能经过一次假设建立完善数学模型．思绪是：先做出最简单假设，对得出结果进行分析，针对结果中不合理之处，逐步修改假设，最终得出很好模型。模型一模型假设：（1）一人得病后，久治不愈，人在传染期内不会死亡。（2）单位时间内每个病人传染人数为常数k。为何假设不会死亡？（因为死亡后便不会再传输疾病，因而可认为此时已退出系统）模型建立：I（t）——表示t时刻病人数量，时间：天则：I（t+Δt）—I（t）＝k0I（t）Δt于是模型以下：模型解：举个实例最初只有1个病人，1个病人一天可传染1个人模型缺点问题：伴随时间推移，病人数目将无限增加，这一点与实际情况不符．原因：当不考虑传染病期间出生、死亡和迁移时，一个地域总人数可视为常数。所以k0应为时间t函数。在传染病流行早期，k0较大，伴随病人增多，健康人数降低，被传染机会也降低，于是k0将变小。模型修改关键：k0改变规律模型二(SI模型)设t时刻健康人数为S(t)．病人数为I(t)模型假设：（1）总人数为n不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，I(t)十S(t)＝n（2）一人得病后，久治不愈，且在传染期内不会死亡。（3）一个病人在单位时间内传染人数与当初健康人数成正比，百分比系数为k（称之为传染系数）模型改进方程解：对模型作深入分析传染病人数与时间t关系传染病人数改变率与时间t关系染病人数由开始到高峰并逐步到达稳定增加速度由低增至最高后降落下来疾病传染高峰期此时计算高峰期得：意义：1、当传染系数k或n增大时，t0随之降低，表示传染高峰伴随传染系数与总人数增加而更加快降临，这与实际情况比较符合。2、令λ=kn，表示每个病人天天有效接触平均人数，称日接触率。t0与λ成反比。λ表示该地域卫生水平，λ越小卫生水平越高。故改进卫生水平可推迟传染病高潮降临。模型缺点缺点：当t→∞时，I(t)→n，这表示全部人最终都将成为病人，这一点与实际情况不符合原因：这是由假设〔1)所造成，没有考虑病人可以治愈及病人病发身亡情况。思索题：考虑有病人病发身亡情况，再对模型进行修改。模型三(SIS模型)

有些传染病（如痢疾)愈后免疫力很低，还有可能再次被传染而成为病人。模型假设：（1）健康者和病人在总人数中所占百分比分别为s(t)、i(t)，则：s(t)+i(t)＝1（2）一个病人在单位时间内传染人数与当初健康人数成正比，百分比系数为k（3）病人天天治愈人数与病人总数成正比，百分比系数为μ(称日治愈率)，病人治愈后成为仍可被感染健康者，称1/μ为传染病平均传染期(如病人数保持10人，天天治愈2人，μ＝1/5，则每位病人平均生病时间为1/μ＝5天)。模型建立假设2、3得：将假设1代入，可得模型：模型解：阈值σ=λ/μ意义一个病人在平均传染期内传染人数与当初健康人数成正比，百分比系数为σ模型意义（t,i(t)）图（1）当σ≤1时，指传染期内被传染人数不超出当初健康人数。病人在总人数中所占百分比i(t)越来越小，最终趋于零。（2）当σ＞l时，i(t)最终以1-1/σ为极限；（3）当σ增大时，i(∞)也增大，是因为伴随传染期内被传染人数占当初健康人数百分比增加，当初病人数所占百分比也随之上升模型四（SIR模型）一些传染病如麻疹等，治愈后都有很强免疫力，所以病愈人既非健康人，也非病人。模型假设：（1）人群分为健康者、病人、病愈免疫者三类，这三类人在总人数中所占百分比分别为s(t)，i(t)，r(t)，则有s(t)+i(t)+r(t)＝1。（2）单位时间内，一个病人传染人数与当初健康者人数成正比，百分比系数为k（3）在单位时间内，病愈免疫人数与当初病人人数成正比，百分比系数为μ模型建立从此方程无法求出i(t)与s(t)解析解。我们能够从相轨线作定性分析相轨线相轨线（s，i）图中箭头表示了伴随时间t增加s(t)和i(t)改变趋向相轨线分析结果1、不论初始条件s0、i0怎样．病人终将消失。2、最终未被感染健康者百分比是s∞，图中可看出是在(0，1/σ)内单根。3、若s0>1/σ，则i(t)先增加，当s＝1/σ时，i(t)到达最大。4、若s0≤1/σ，则i(t)单调减小至零阈值1/σ意义1、减小传染期接触数σ，即提升阈值l/σ，使得s0≤1/σ(即σ≤1/s0)，传染病就不会蔓延。2、卫生、医疗水平：σ=λ/μ3、交换数意义：σs=λs∙1/μ是传染期内一个病人传染健康者平均人数，称为交换数，其含义是一个病人被σs个健康者交换。4、σ预计模型验证——印度孟买一个例子图中，实际数据用圆点表示．能够看出，理论曲线与实际数据吻合得相当不错。SIR模型两个应用被传染百分比预计群体免疫和预防被传染百分比预计假定很小，靠近于1其中这个结果表明，被传染人数百分比约为2倍，当该地域卫生和医疗水平不变，即不变时，这个百分比就不会改变。而当阈值提升时，减小，于是这个百分比就会降低。群体免疫和预防依据对模型分析，当时，传染病不会蔓延，因而阻止传染病蔓延路径有两条1．提升卫生和医疗水平（使阈值变大）；2．经过预防接种使群体得到免疫（降低）只要经过群体免疫使初始时刻移出者百分比（即免疫者百分比）满足（＊）式，就能够阻止传染病蔓延．（＊）课后任务请各位同学进行一些调查，依据模型算一算在广州，非经典肺炎暴发高潮大约是在何时，与实际情况相吻合吗？依据模型请给出你提议。思索题1设某城市共有n+1人，其中一人出于某种目编造了一个谣言。该城市含有初中以上文化程度人占总人数二分之一，这些人只有1/4相信这一谣言，而其它人约有1/3会相信。又设凡相信此谣言人每人在单位时间内传输平均人数正比于当初还未听说此谣言人数，而不相信此谣言人不传输谣言。试建立一个反应谣传情况微分方程模型。思索题2汽车停车距离可分为两段：一段为发觉情况到开始制动这段时间里驶过距离DT，这段时间为反应时间；另一段则为制动时间驶过距离DR，现考核某司机，考评结果以下：

行驶速度DTDR

36公里/小时3米4．5米50公里/小时5米12．5米70公里/小时7米24．5米（1）作出停车距离D经验公式（2）设制动力正比于车重，建立理论分析模型并求出D公式。思索题3本世纪初，在伦敦曾观察到一个现象，大约每两年发生—次麻疹传染病。生物数学家H·E索珀试图解释这种现象，他认为易受传染者人数因人口中新添新组员而不停得到补充。试建立数学模型。思索题4

房屋管理部门想在房顶边缘安装一个檐槽，其目标是为了雨天出入方便。简单说来，从屋脊到屋檐房顶能够看成是一个12米长，6米宽矩形平面，房顶与水平方向倾斜角度要