变化率与导数公开课一等奖省优质课大赛获奖课件

3.1改变率与导数3.1.1改变率问题问题1气球膨胀率:气球体积V与半径r之间函数关系为

问题2高台跳水运动中，运动员相对于水面高度h与起跳后时间t存函数关系为引导：这一现象中，哪些量在改变？变量改变情况？引入气球平均膨胀率概念当空气容量Ｖ从０增加１Ｌ时，半径增加了r(1)－r(0)=0.62当空气容量Ｖ从１加２Ｌ时，半径增加了r(２)－r(１)=0.１６探究活动

气球平均膨胀率是一个特殊情况，我们把这一思绪延伸到函数上，归纳一下得出函数平均改变率设某个变量f随x改变而改变，从

x

经过△x

，量f改变量为量f

平均改变率为平均速度反应了汽车在前10秒内快慢程度，为了了解汽车性能，还需要知道汽车在某一时刻速度——瞬时速度．2．瞬时速度平均速度概念这段时间内汽车平均速度为

已知物体作变速直线运动，其运动方程为s＝s(t)(ｓ表示位移，t表示时间)，求物体在t0

时刻速度．

如图设该物体在时刻t0位置是ｓ(t0)＝OA0，在时刻t0+Dt位置是s(t0+Dt)＝OA1，则从t0

到t0+Dt这段时间内，物体位移是在时间段(t0+Dt)－t0=Dt内，物体平均速度为:

要准确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时刻运动快慢程度．假如物体运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t瞬时速度v，就是物体在t到t+Dt

这段时间内，当Dt0时平均速度．极限．即

例物体作自由落体运动，

运动方程为：，其中位移

单位是m，时间单位是s

，g=9.8m/s2．求：(1)物体在时间区间[2，2.1]上平均速度；

(2)物体在时间区间[2，2.01]上平均速度；

(3)物体在t=2时瞬时速度.(1)将

Dt=0.1代入上式，得

(2)将

Dt=0.01代入上式，得

平均速度极限为:(3)当当初间间隔Dt逐步变小时,平均速度就越靠近t0=2(s)时瞬时速度v=19.6(m/s)

即物体在时刻t0=2(s)瞬时速度等于19.6(m/s).

要准确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时刻运动快慢程度．假如物体运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t瞬时速度v，就是物体在t到t+Dt

这段时间内，当Dt0时平均速度极限．即瞬时速度导数概念普通地，函数y=f(x)

在点x=x0处瞬时改变率是我们称它为函数y=f(x)在点x=x0处导数，记为或，即导数概念也可记作★

若这个极限不存在，则称在点x0

处不可导。

设函数y=f(x)在点x=x0附近有定义，当自变量x

在x0处取得增量△x(点x0+△x仍在该定义内）时，对应地函数y取得增量△y=f(x0+△x)-f(x0)，若△y与△x之比当△x→0极限存在，则称函数y=f(x)在点x0

处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0

处导数记为即说明：（1）函数在点处可导，是指时，有极限．假如不存在极限，就说函数在处不可导，或说无导数．点是自变量x在处改变量，，而是函数值改变量，能够是零．

（2）由导数定义可知，求函数在处导数步骤:（1）求函数增量:；（2）求平均改变率:；．（3）取极限，得导数:口诀：一差、二化、三极限例1:(1)求函数y=x2在x=1处导数;(2)求函数y=x+1/x在x=2处导数.练1:求y=f(x)=x2+1在x=1处导数.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx一是:依据物体旅程关于时间函数求速度和加速度.二是:求已知曲线切线.１．你能借助函数图象说说平均改变率表示什么吗？请在函数图象中画出来．割线PQ改变情况２．在过程中，请在函数图象中画出来．你能描述一下吗？3.1.1导数几何意义Pxy0TPxyoT切线方程为即

圆切线定义并不适合用于普通曲线。经过迫近方法，将割线趋于确实定位置直线定义为切线（交点可能不惟一）适合用于各种曲线。所以，这种定义才真正反应了切线直观本质。

依据导数几何意义，在点P附近，曲线能够用在点P处切线近似代替

。

大多数函数曲线就一小范围来看，大致可看作直线，所以，某点附近曲线能够用过此点切线近似代替，即“以直代曲”（以简单对象刻画复杂对象）

1.在函数图像上，(1)用图形来表达导数，几何意义.

(2)请描述，比较曲线分别在附近增（减）以及增（减）快慢情况。在附近呢？

(2)请描述，比较曲线分别在附近增（减）以及增（减）快慢情况。在附近呢？

增（减):增（减）快慢：=切线斜率附近：瞬时改变率（正或负）即：瞬时改变率（导数）（数形结合，以直代曲）画切线即：导数绝多值大小=切线斜率绝对值大小切线倾斜程度（陡峭程度）以简单对象刻画复杂对象(2)曲线在时，切线平行于x轴，曲线在附近比较平坦，几乎没有升降．

曲线在处切线斜率0在附近，曲线，函数在附近单调

如图，切线倾斜程度大于切线倾斜程度，

大于上升递增上升

这说明曲线在

附近比在附近得快速．递减下降小于下降

2．如图表示人体血管中药品浓度c=f(t)（单位：mg/ml）随时间t（单位：min）改变函数图像，依据图像，预计

t=0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中药品浓度瞬时改变率，把数据用表格形式列出。(准确到0.1)

血管中药品浓度瞬时改变率,就是药品浓度从图象上看,它表示曲线在该点处切线斜率.函数f(t)在此时刻导数,（数形结合，以直代曲）以简单对象刻画复杂对象

抽象概括：

是确定数是函数

导函数概念：t0.20.40.60.8药品浓度瞬时改变率

小结：１.函数在处导数

几何意义，就是函数图像在点处切线AD斜率（数形结合）