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第4篇振动与波动第10章机械振动本章学习关键点简谐振动简谐振动合成阻尼振动、受迫振动与共振本章小结10.1简谐振动物体运动时，假如离开平衡位置位移（或角位移）按余弦函数或正弦函数规律随时间改变，则这种运动称为简谐振动。在忽略阻力情况下，弹簧振子振动及单摆小角度摆动等都可视为简谐振动。10.1.1简谐振动运动方程以下列图所表示，一轻弹簧（质量可忽略不计）放置在光滑水平面上，一端固定，另一端连一质量为m物体。这么系统称为弹簧振子，它是物理学中又一理想模型。如上图（a）所表示，弹簧处于自然长度时，物体沿水平方向所受合外力为零，此时物体所在位置O点称为平衡位置。以O点为坐标原点，以弹簧伸长方向为x轴正向建立坐标系。如上图（b）所表示，在弹簧弹性程度内，将物体从平衡位置向右拉至位置P点，然后放手。物体在向左弹力作用下，向左加速运动。当抵达平衡位置O时，物体所受弹力为零，加速度也为零。但此时物体速度不为零，因为惯性作用，物体将继续向左运动，使弹簧被压缩，从而产生向右弹力妨碍物体运动，使物体向左做减速运动，直到速度为零，此时，物体抵达左边最远处P′点，如上图（c）所表示。然后，物体又在向右弹力作用下，从P′点返回，向右加速运动。这么，物体在弹力和惯性作用下，在平衡位置附近P点和P′点之间做往复运动。由胡克定律可知，在弹性程度内，物体受到弹力F大小与其相对平衡位置位移x成正比，即F＝－kx

上式中，负号表示弹力方向与位移方向相反，一直指向平衡位置，所以，此力又称为回复力。依据牛顿第二定律可知，物体加速度为：因k和m都是正值，其比值可用一个常数ω平方表示，即ω2＝k/m，故上式可写为：上式表明，物体做简谐振动时，其加速度大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反。这是简谐振动运动学特征

因为加速度a＝d2x/dt2，所以，上式可写为：上式称为简谐振动动力学方程，它是一个微分方程，其解为：上式称为简谐振动运动方程（或振动方程）。将上式分别对时间t求一阶导数和二阶导数，可得简谐振动物体速度和加速度分别为：【例10-1】以下列图所表示，一质量为m、长度为l均质细棒悬挂在水平轴O点。开始时，棒在垂直位置OO′，处于平衡状态。将棒拉开微小角度θ后放手，棒将在重力矩作用下，绕O点在竖直平面内往返摆动。此装置是最简单物理摆，又称为复摆。若不计棒与轴摩擦力和空气阻力，棒将摆动不止。试证实在摆角很小情况下，细棒摆动为简谐振动。【解】以OO′为平衡位置，设逆时针转向为θ角正向，棒在任意时刻角位移都可用棒与OO′夹角θ表示。依据题意，棒所受重力矩为：当摆角θ很小时，sinθ≈θ，故上式中负号表示重力矩使棒产生转动趋势一直与棒角位移θ反向。依据转动定律可得：因J＝ml2/3，将上式整理可得：令ω2＝3g/2l，则上式可写为：将上式与式（10–4）比较可知，在摆角很小情况下，细棒在平衡位置摆动为简谐振动。10.1.2描述简谐振动物理量振幅、周期、频率、角频率、相位及初相等都是描述简谐振动物理量，其中，振幅、角频率和初相三个量能够完全确定一个简谐振动，称为简谐振动特征量。1．振幅在简谐振动运动方程x＝Acos（ωt＋φ）中，因为|cos（ωt＋φ）|≤1，所以，|x|≤A。我们把做简谐振动物体离开平衡位置最大距离A称为振幅，它确定了物体振动范围。在国际单位制中，振幅单位为米（m）。2．周期与频率物体完成一次全振动所经历时间称为周期，用T表示。物体从位置P经原点O抵达位置P′，然后返回，再经原点O回到位置P，物体就完成了一次全振动，其所经历时间就是一个周期。所以，物体在任意时刻t位移和速度，分别与时刻t＋T位移和速度完全相同，即依据余弦函数周期性，满足上述方程T最小值应为ωT＝2π，于是单位时间内物体所完成全振动次数称为频率，用表示，显然，频率等于周期倒数，即上式还可写为：上式表明，ω是频率2π倍，表示物体在2π秒内完成全振动次数，故ω称为角频率或圆频率。周期、频率和角频率都是描述物体振动快慢物理量。在国际单位制中，周期单位为秒（s）；频率单位为赫兹（Hz）；角频率单位为弧度每秒（rad/s）。对弹簧振子，因为故有：由上式能够看出，弹簧振子周期和频率都是由物体质量m和弹簧劲度系数k所决定，即只与振动系统本身物理性质相关。所以，我们将这种由振动系统本身性质所决定周期和频率称为固有周期和固有频率。3．相位与初相在简谐振动中，物体运动状态由物体离开平衡位置位移和速度共同决定。在振幅A和角频率ω都已知情况下，物体在某一时刻运动状态由ωt＋φ决定，ωt＋φ称为振动相位，它是决定简谐振动运动状态物理量。当t＝0时，相位ωt＋φ＝φ，φ称为初相位，简称初相，它是决定初始时刻振动物体运动状态物理量。在国际单位制中，相位单位为弧度（rad）。用相位描述物体运动状态，还能充分表达出振动周期性。比如：ωt＋φ＝0时，物体位于正位移最大处，且v＝0；ωt＋φ＝π/2时，物体位于平衡位置，且向x轴负方向运动，v＝ωA；ωt＋φ＝π时，物体位于负位移最大处，且v＝0；ωt＋φ＝3π/2时，物体位于平衡位置，且向x轴正方向运动，v＝ωA；ωt＋φ＝2π时，物体位于正位移最大处，且v＝0。4．振幅与初相确定对给定简谐振动系统，其角频率是由振动系统本身性质所决定，而其振幅A和初相φ则是由振动初始条件所决定。t＝0时，物体位移x0和速度v0称为初始条件。当t＝0时，有：联立解得：式（2）中，φ所在象限可依据式（1），由x0和v0符号判断cosφ和sinφ符号后确定。（1）（2）【例10-2】一质点沿x轴做简谐振动，振幅A＝0.12m，周期T＝2s，当t＝0时，质点对平衡位置位移x0＝0.06m，此时，质点向x轴正向运动。求：（1）此简谐振动运动方程；（2）从初始时刻开始第一次经过平衡位置时刻。【解】（1）设简谐振动运动方程为x＝Acos（ωt＋φ）。由题意可知，A＝0.12m，ω＝2π/T＝π（rad/s）。因t＝0时，x0＝0.06m，故0.06＝0.12cosφφ＝±π/3因t＝0时，质点向x轴正向运动，v0＞0，故v0＝－ωAsinφ＞0sinφ＜0取φ＝－π/3所以，简谐振动运动方程为：x＝0.12cos（πt－π/3）

（2）经过平衡位置时，x＝0，即0.12cos（πt－π/3）＝0解得：（k＝1，2，3，…）第一次经过平衡位置，应取k＝1，即10.1.3简谐振动曲线由式（10–6）和式（10–7）可知速度和加速度最大值分别为vmax＝ωA，amax＝ω2A。依据式（10–5）、式（10–6）和式（10–7）可作出以下列图所表示振动曲线，分别表示位移、速度和加速度随时间改变情况，能够看出，物体做简谐振动时，其位移、速度和加速度都是呈周期性改变。10.1.4旋转矢量法如右图所表示，一个模为A矢量绕O点以恒角速度ω沿逆时针方向转动。在此矢量转动过程中，矢量端点M在Ox轴上投影点P也以O点为平衡位置不停地往返运动。在任意时刻，投影点P在Ox轴上位置由方程x＝Acos（ωt＋φ）确定，所以，投影点P运动为简谐振动，即简谐振动能够借助于一个旋转着矢量来表示，这个矢量称为旋转矢量。其对应关系为：旋转矢量模A为简谐振动振幅；旋转矢量转动角速度ω为简谐振动角频率；旋转矢量在初始时刻与Ox轴夹角φ为简谐振动初相；旋转矢量在t时刻与Ox轴夹角ωt＋φ为简谐振动相位；旋转矢量旋转一周所用时间为简谐振动周期。【例10-3】在弹簧振子系统中，有一质量m＝0.01kg物体做简谐振动，其振幅A＝0.08m，周期T＝4s，初始时刻物体在x0＝0.04m处向Ox轴负方向运动，求：（1）t＝1s时，物体所处位置和所受力；（2）由初始位置运动到x＝－0.04m处所需要最短时间。【解】先求简谐振动方程，设x＝Acos（ωt＋φ），题意可知A＝0.08m，ω＝2π/T＝π/2（rad/s）。因t＝0时，x0＝0.06m则0.06＝0.12cosφφ＝±π/3作旋转矢量以下列图所表示，从图中可知，φ＝π/3，故简谐振动方程为：（1）t＝1s时上式表明，t＝1s时，物体所处位置为平衡位置O负方向0.069m处。此时，物体受力为：力方向指向平衡位置。（2）设物体由起始位置运动到x＝－0.04m处所需最短时间为t，则t＝0.667s若依据上图所表示，可得：t＝0.667s10.1.5简谐振动能量设在任一时刻t，物体位移和速度分别为x和v，则由式（10–5）和式（10–6）可得简谐振动动能和势能分别为：简谐振动总能量为：动能、势能及总能量随时间改变曲线如右图所表示（设φ＝0）。关于简谐振动能量需要说明几点1．振动系统动能和势能都随时间呈周期性改变，其周期为物体做简谐振动周期1/2。2．在振动过程中，即使动能和势能在不停改变，但它们之间是相互转换，其总和为一恒量，即系统总能量是守恒。由上图所表示能够看出，当物体位移最大时，势能到达最大，动能为零；当物体位移为零时，势能为零，动能到达最大；而其总能量为一常数，等于动能或势能最大值。3．振动系统总能量与振幅平方都成正比，也与角频率平方成正比。即使这个结论是从弹簧振子系统中导出，但却是简谐振动共同性质，对其它形式振动也是适用。【例10-4】在水平弹簧振子中，物体质量m＝0.025kg，弹簧劲度系数k＝0.4N/m，当物体在正向离平衡位置0.1m处时运动速率v＝0.4m/s。求：（1）系统总能量E；（2）振幅A；（3）物体最大速率vmax；（4）物体在A/2处含有动能Ek和势能Ep。（2）因，故【解】（1）因x＝0.1m时，v＝0.4m/s，故系统总能量为：（3）因系统总能量等于动能或势能最大值，即故（4）物体在A/2处含有势能Ep为：动能Ek为：10.2简谐振动合成10.2.1相位差相位差是指两个振动在同一时刻相位值之差。设有两个质点1、2做同方向、同频率简谐振动，其运动方程分别为：x1＝A1cos（ωt＋φ1），x2＝A2cos（ωt＋φ2）则它们在任意时刻相位差Δφ为：

Δφ＝（ωt＋φ2）－（ωt＋φ1）＝φ2－φ1

由上式可知，两个同方向、同频率简谐振动，在任意时刻相位差都等于它们初相位差，为一恒量。假如Δφ＝φ2－φ1＞0，则在振动过程中，质点2将一直比质点1先抵达任一特定振动状态，如左图所表示，两振动步调存在一个确定差异，此时，我们称质点2振动超前质点1振动，或质点1振动落后质点2振动。假如Δφ＝φ2－φ1＝±2kπ（k＝0，1，2，…），则两质点将同时抵达任一特定振动状态，如中图所表示，两振动步调完全一致，此时，我们称两振动同相。假如Δφ＝φ2－φ1＝±（2k＋1）π（k＝0，1，2，…），则两振动步调完全相反，比如，一个质点抵达正最大位移时，另一个质点抵达负最大位移，如右图所表示，此时，我们称两振动反相。10.2.2两个同方向、同频率简谐振动合成若一个质点同时参加两个同方向、同频率简谐振动，其运动方程分别为：x1＝A1cos（ωt＋φ1），x2＝A2cos（ωt＋φ2）因两个振动方向相同，由运动叠加原理可知，质点合振动位移等于两个分振动位移代数和，即x＝x1＋x2＝A1cos（ωt＋φ1）＋A2cos（ωt＋φ2）应用旋转矢量法能够更直观、更简练得出合振动规律。以下列图所表示，取坐标轴Ox，画出两个分振动旋转矢量A1和A2，它们在Ox轴上投影x1和x2分别表示两个分振动位移。依据平行四边形法则，可作出合矢量A＝A1＋A2，它在Ox轴上投影x表示合振动位移，能够看出，x＝x1＋x2。t＝0时，合矢量A与Ox轴夹角为φ。因为A1和A2以相同角速度ω逆时针旋转，在旋转过程中，其夹角φ2－φ1保持不变，所以，平行四边形OM1MM2形状在旋转中保持不变，即合矢量A模保持恒定，且以同一角速度ω与A1、A2一起绕O点逆时针旋转。于是，依据旋转矢量法，可得合振动运动方程为：

x＝Acos（ωt＋φ）上式表明，两个同方向、同频率简谐振动合振动仍为简谐振动，其频率与分振动频率相同，其振幅和初相可由上图所表示几何关系求得：上式表明，合振幅A大小不但与分振动振幅相关，而且还与它们相位差Δφ＝φ2－φ1相关。下面讨论两种特殊情况1．若相位差Δφ＝φ2－φ1＝±2kπ（k＝0，1，2，…）则上式表明，当两个分振动同相，即其相位差为π偶数倍时，合振动振幅为两个分振动振幅之和，合成结果为两个振动相互加强，此时合振幅最大。2．若相位差Δφ＝φ2－φ1＝±（2k＋1）π（k＝0，1，2，…），则上式表明，当两个分振动反相，即其相位差为π奇数倍时，合振动振幅为两个分振动振幅之差绝对值，合成结果为两个振动相互减弱，此时合振幅最小。若两分振动振幅相等，则此时合振动振幅为零。普通情况下，相位差Δφ并不是π整数倍，此时，合振幅就介于|A1－A2|和A1＋A2之间。【例10-5】一质点同时参加两个同方向、同频率简谐振动周期都为4s，振幅分别为A1＝0.06m，A2＝0.104m，初相分别为φ1＝π/3，φ2＝5π/6，求合振动振幅、初相及运动方程。【解】依据题意可知两个简谐振动角频率为：则两简谐振动运动方程分别为：依据式（10–20）和式（10–21）可得合振动振幅和初相分别为：所以，合振动运动方程为：10.2.3两个同方向、不一样频率简谐振动合成两个同方向、不一样频率简谐振动合成结果比较复杂，为了便于了解，设两分振动振幅和初相相同，则两分振动运动方程为：x1＝Acos（ω1t＋φ），x2＝Acos（ω2t＋φ）合振动为：x＝x1＋x2＝Acos（ω1t＋φ）＋Acos（ω2t＋φ）依据三角函数公式，上式可化为：由上式能够看出，两个同方向、不一样频率简谐振动合振动即使仍与分振动方向相同，但不再是简谐振动。假如两分振动频率相近，且有|ω1－ω2|＜＜（ω1＋ω2）时，上式中，项随时间快速改变，而项随时间迟缓改变。所以，能够将此合振动看作是角频率为，振幅为简谐振动。这种振幅时大时小作迟缓周期性改变振动现象称为拍。拍振动曲线以下列图所表示。

10.3阻尼振动、受迫振动与共振10.3.1阻尼振动简谐振动系统除回复力外，不受任何阻力影响，振动过程中系统能量守恒，其振幅也不随时间改变，这种振动称为无阻尼振动。然而，实际振动总要受到阻力影响，因为需要克服阻力做功，系统能量会不停损耗，振幅也会随时间逐步减小。我们把这种振幅随时间逐步减小振动称为阻尼振动。在阻尼振动中，能量损失原因通常有以下两种：一个是因为介质对振动物体摩擦阻力作用，使振动物体能量转变为热能，称为摩擦阻尼；另一个是因为振动物体引发临近质点振动，使系统能量向四面辐射出去，转变为波动能量，称为辐射阻尼。比如，音叉振动时，不但因为摩擦而消耗能量，同时也因辐射声波而损失能量。

在振动研究中，常把辐射阻尼看成某种等效摩擦阻尼来处理。所以，下面我们在讨论时仅考虑摩擦阻尼。试验证实，介质对运动物体阻力与物体运动速度相关，在物体速度不太大时，阻力Fr大小与速度v大小成正比，方向与速度v方向相反，即对弹簧振子，在弹力F＝－kx和阻力Fr作用下，依据牛顿第二定律可得阻尼振动动力学方程为：令ω02＝k/m，2β＝γ/m，则上式可写为：依据阻尼大小，阻尼振动可分为弱阻尼振动、过阻尼振动和临界阻尼振动三类。阻尼较小，即β＜ω0时，物体阻尼振动称为弱阻尼振动。此时，上式解为：

上式反应了阻尼振动位移与时间关系，其振动曲线以下列图所表示，能够将其看作振幅为Ae－βt，角频率为ω振动。

由上式能够看出，阻尼振动振幅Ae–βt是随时间t作指数衰减，阻尼越大，振幅衰减得越快。因为物体运动状态不可能在经过一段时间后完全重复出现，所以，严格说，阻尼振动已经不是周期运动。但因为cos（ωt＋φ）是周期改变，于是，能够将cos（ωt＋φ）周期称为阻尼振动周期，即

上式表明，因为阻尼存在，阻尼振动周期比无阻尼振动周期长，即振动变慢了。阻尼越大，阻尼振动周期越长。阻力很大，即β＞ω0时，在未完成一次振动前，振动系统能量已全部耗尽，此时，振动系统将经过非周期运动方式回到平衡位置，这种阻尼振动称为过阻尼振动，以下列图所表示b曲线β＝ω0时，ω＝0，这是物体不能作周期运动临界情况，此时，阻力使振动物体刚好能不作周期运动，而又能最快地回到平衡位置，这种阻尼振动称为临界阻尼振动，以下列图所表示c曲线

在工程技术中，可依据不一样要求，用不一样方法来控制阻尼大小。比如，汽缸中活塞运动时，可经过加润滑剂来减小其摩擦阻尼；各种声源和乐器上空气箱能够加大辐射阻尼，使其能辐射足够强声波等。

10.3.2受迫振动实际振动系统中，因为摩擦阻尼总是存在，所以，为了取得稳定连续振动，通常对振动系统施加一周期性外力。系统在周期性外力连续作用下所发生振动称为受迫振动，这种周期性外力称为驱动力。为了简单起见，设驱动力为F′cosωpt，其中，F′为驱动力幅值，ωp为驱动力角频率。受迫振动系统受弹力F、阻力Fr和驱动力F′cosωpt作用，依据牛顿第二定律可得其动力学方程为：

令ω02＝k/m，2β＝γ/m，f＝F′/m，则上式可写为：

上式解为：

上式表明，受迫振动是由阻尼振动和一个简谐振动叠加而成。受迫振动开始时，速度不是很大，阻力也较小，振动系统由驱动力做功而取得能量大于它抵抗阻力做功而消耗能量，于是振动能量逐步增大，振动速度也随之增大。因为阻力普通随速度增大而增大，所以，随速度增大，系统因抵抗阻力而消耗能量也在增加。当系统因抵抗阻力而消耗能量等于驱动力做功而补充能量时，受迫振动能量将趋于稳定，其振幅也将稳定，不再改变。此时，其运动方程为：

稳定状态受迫振动振幅A和初相φ可由下式确定：

需要注意是，稳定状态受迫振动即使也是简谐振动，但它与无阻尼振动有着本质区分：受迫振动角频率不是振动系统固有频率，而是驱动力频率；受迫振动振幅和初相不是决定于振动系统初始条件，而是决定于振动系统本身性质、阻尼大小及驱动力频率和幅值。

10.3.3共振由式（10–34）可知，对于一定振动系统，假如阻尼系数和驱动力幅值一定，则稳定状态受迫振动振幅随驱动力角频率ωp改变。以下列图所表示为不一样阻尼时受迫振动振幅与驱动力角频率之间关系曲线，能够看出，当驱动力角频率为某一定值时，受迫振动振幅会到达最大，我们把这种现象称为共振。共振时角频率称为共振角频率ωr。

对式（10–34）求极大值，可得共振角频率为：

上式表明，共振角频率ωr是由固有角频率ω0和阻尼系数β决定。将上式代入式（10–34）和式（10–35）中可解得共振