2022年广州协和中学数学高三第一学期期末质量跟踪监视试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数满足，设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．观察下列各式：，，，，，，，，根据以上规律，则（）A． B． C． D．3．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上,平面,是边长为的等边三角形,若球的表面积为,则直线与平面所成角的正切值为()A． B． C． D．4．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到、、三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到县的分法有（）A．6种 B．12种 C．24种 D．36种5．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的焦距为8，一条渐近线方程为，则C为（）A． B．C． D．6．若单位向量，夹角为，，且，则实数（）A．－1 B．2 C．0或－1 D．2或－17．某人2018年的家庭总收人为元，各种用途占比如图中的折线图，年家庭总收入的各种用途占比统计如图中的条形图，已知年的就医费用比年的就医费用增加了元，则该人年的储畜费用为（）A．元 B．元 C．元 D．元8．若2m＞2n＞1，则（）A． B．πm﹣n＞1C．ln（m﹣n）＞0 D．9．设函数在上可导，其导函数为，若函数在处取得极大值，则函数的图象可能是（）A． B．C． D．10．已知数列为等比数列，若，且，则（）A． B．或 C． D．11．已知定义在上的函数，若函数为偶函数，且对任意，，都有，若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．12．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市月至月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（）A．1月至8月空气合格天数超过天的月份有个B．第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了C．8月是空气质量最好的一个月D．6月份的空气质量最差.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知抛物线的焦点为，其准线与坐标轴交于点，过的直线与抛物线交于两点，若，则直线的斜率________.14．已知不等式组所表示的平面区域为，则区域的外接圆的面积为______．15．已知为正实数，且，则的最小值为____________.16．一个袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从中任意摸取3个小球，每个小球被取出的可能性相等，则取出的3个小球中数字最大的为4的概率是__．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，点为圆：上一动点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，，连接延长至点，使得，点的轨迹记为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若点，分别位于轴与轴的正半轴上，直线与曲线相交于，两点，且，试问在曲线上是否存在点，使得四边形为平行四边形，若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由.18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（）.（1）求抛物线C的极坐标方程；（2）若抛物线C与直线l交于A，B两点，求的值.19．（12分）如图，四棱锥中，四边形是矩形，，，为正三角形，且平面平面，、分别为、的中点.（1）证明：平面；（2）求几何体的体积.20．（12分）设等比数列的前项和为，若（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）在和之间插入个实数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，设数列的前项和为，求证：.21．（12分）已知函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|.（Ⅰ）解不等式f(x)>1；（Ⅱ）当x>0时，若函数g(x)(a>0)的最小值恒大于f(x)，求实数a的取值范围．22．（10分）已知函数.（1）若，求证：.（2）讨论函数的极值；（3）是否存在实数，使得不等式在上恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

结合函数的对应性，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：若，则，即成立，若，则由，得，则“”是“”的必要不充分条件，故选：B．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数的对应性是解决本题的关键，属于基础题．2、B【解析】

每个式子的值依次构成一个数列，然后归纳出数列的递推关系后再计算．【详解】以及数列的应用根据题设条件，设数字，，，，，，，构成一个数列，可得数列满足，则，，．故选：B．【点睛】本题主要考查归纳推理，解题关键是通过数列的项归纳出递推关系，从而可确定数列的一些项．3、C【解析】

设为中点,先证明平面，得出为所求角,利用勾股定理计算,得出结论．【详解】设分别是的中点平面是等边三角形又平面为与平面所成的角是边长为的等边三角形，且为所在截面圆的圆心球的表面积为球的半径平面本题正确选项：【点睛】本题考查了棱锥与外接球的位置关系问题，关键是能够通过垂直关系得到直线与平面所求角，再利用球心位置来求解出线段长，属于中档题．4、B【解析】

分成甲单独到县和甲与另一人一同到县两种情况进行分类讨论，由此求得甲被派遣到县的分法数.【详解】如果甲单独到县，则方法数有种.如果甲与另一人一同到县，则方法数有种.故总的方法数有种.故选：B【点睛】本小题主要考查简答排列组合的计算，属于基础题.5、A【解析】

由题意求得c与的值，结合隐含条件列式求得a2，b2，则答案可求.【详解】由题意，2c＝8，则c＝4，又，且a2+b2＝c2，解得a2＝4，b2＝12.∴双曲线C的方程为.故选：A.【点睛】本题考查双曲线的简单性质，属于基础题.6、D【解析】

利用向量模的运算列方程，结合向量数量积的运算，求得实数的值.【详解】由于，所以，即，，即，解得或.故选：D【点睛】本小题主要考查向量模的运算，考查向量数量积的运算，属于基础题.7、A【解析】

根据2018年的家庭总收人为元，且就医费用占得到就医费用，再根据年的就医费用比年的就医费用增加了元，得到年的就医费用，然后由年的就医费用占总收人，得到2019年的家庭总收人再根据储畜费用占总收人求解.【详解】因为2018年的家庭总收人为元，且就医费用占所以就医费用因为年的就医费用比年的就医费用增加了元，所以年的就医费用元，而年的就医费用占总收人所以2019年的家庭总收人为而储畜费用占总收人所以储畜费用：故选：A【点睛】本题主要考查统计中的折线图和条形图的应用，还考查了建模解模的能力，属于基础题.8、B【解析】

根据指数函数的单调性，结合特殊值进行辨析.【详解】若2m＞2n＞1＝20，∴m＞n＞0，∴πm﹣n＞π0＝1，故B正确；而当m，n时，检验可得，A、C、D都不正确，故选：B．【点睛】此题考查根据指数幂的大小关系判断参数的大小，根据参数的大小判定指数幂或对数的大小关系，需要熟练掌握指数函数和对数函数的性质，结合特值法得出选项.9、B【解析】

由题意首先确定导函数的符号，然后结合题意确定函数在区间和处函数的特征即可确定函数图像.【详解】函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，当时，；当时，；当时，.时，，时，，当或时，；当时，.故选：【点睛】根据函数取得极大值，判断导函数在极值点附近左侧为正，右侧为负，由正负情况讨论图像可能成立的选项，是判断图像问题常见方法，有一定难度.10、A【解析】

根据等比数列的性质可得，通分化简即可.【详解】由题意，数列为等比数列，则，又，即，所以，，.故选：A.【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了推理能力与运算能力，属于基础题.11、A【解析】

根据题意，分析可得函数的图象关于对称且在上为减函数，则不等式等价于，解得的取值范围，即可得答案.【详解】解:因为函数为偶函数，所以函数的图象关于对称，因为对任意，，都有，所以函数在上为减函数，则，解得：.即实数的取值范围是.故选：A.【点睛】本题考查函数的对称性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于综合题.12、D【解析】由图表可知月空气质量合格天气只有天，月份的空气质量最差．故本题答案选．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

求出抛物线焦点坐标，由，结合向量的坐标运算得，直线方程为，代入抛物线方程后应用韦达定理得，，从而可求得，得斜率．【详解】由得，即联立得解得或，∴．故答案为：．【点睛】本题考查直线与抛物线相交，考查向量的线性运算的坐标表示．直线方程与抛物线方程联立后消元，应用韦达定理是解决直线与抛物线相交问题的常用方法．14、【解析】

先作可行域，根据解三角形得外接圆半径，最后根据圆面积公式得结果.【详解】由题意作出区域，如图中阴影部分所示，易知，故，又，设的外接圆的半径为，则由正弦定理得，即，故所求外接圆的面积为.【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离、可行域面积、可行域外接圆等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.15、【解析】

，所以有，再利用基本不等式求最值即可.【详解】由已知，，所以，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值问题，采用的是“1”的替换，也可以消元等，是一道中档题.16、【解析】

由题，得满足题目要求的情况有，①有一个数字4，另外两个数字从1，2，3里面选和②有两个数字4，另外一个数字从1，2，3里面选，由此即可得到本题答案.【详解】满足题目要求的情况可以分成2大类：①有一个数字4，另外两个数字从1，2，3里面选，一共有种情况；②有两个数字4，另外一个数字从1，2，3里面选，一共有种情况，又从中任意摸取3个小球，有种情况，所以取出的3个小球中数字最大的为4的概率.故答案为：【点睛】本题主要考查古典概型与组合的综合问题，考查学生分析问题和解决问题的能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）不存在；详见解析【解析】

（1）设，，，通过，即为的中点，转化求解，点的轨迹的方程．（2）设直线的方程为，先根据，可得，①，再根据韦达定理，点在椭圆上可得，②，将①代入②可得，该方程无解，问题得以解决【详解】（1）设，，则，，由题意知，所以为中点，由中点坐标公式得，即，又点在圆：上，故满足，得.曲线的方程.（2）由题意知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，因为，故，即①，联立，消去得：，设，，，，，因为四边形为平行四边形，故，点在椭圆上，故，整理得②，将①代入②，得，该方程无解，故这样的直线不存在.【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法、满足条件的点是否存在的判断与直线方程的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．18、（1）（2）【解析】

(1)利用极坐标和直角坐标的互化公式，,即可求得结果.(2)由的几何意义得,.将代入抛物线C的方程,利用韦达定理，，即可求得结果.【详解】（1）因为，，代入得，所以抛物线C的极坐标方程为.（2）将代入抛物线C的方程得，所以，，所以，由的几何意义得，.【点睛】本题考查直角坐标和极坐标的转化,考查极坐标方程的综合应用,考查了学生综合分析,转化与划归,数学运算的能力,难度一般.19、（1）见解析；（2）【解析】

（1）由题可知，根据三角形的中位线的性质，得出，根据矩形的性质得出，所以，再利用线面平行的判定定理即可证出平面；（2）由于平面平面，根据面面垂直的性质，得出平面，从而得出到平面的距离为，结合棱锥的体积公式，即可求得结果.【详解】解：（1）∵，分别为，的中点，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）取，的中点，，连接，，，，则，由于为三棱柱，为四棱锥，∵平面平面，∴平面，由已知可求得，∴到平面的距离为，因为四边形是矩形，，，，设几何体的体积为，则，∴，即：.【点睛】本题考查线面平行的判定、面面垂直的性质和棱锥的体积公式，考查逻辑推理和计算能力.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】

（Ⅰ），，两式相减化简整理利用等比数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）由题设可得，可得，利用错位相减法即可得出．【详解】解：（Ⅰ）因为，故，两式相减可得，，故，因为是等比数列，∴，又，所以，故，所以；（Ⅱ）由题设可得，所以，所以，①则，②①－②得：，所以，得证.【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21、（Ⅰ）；（Ⅱ）。【解析】

（Ⅰ）分类讨论，去掉绝对值，求得原绝对值不等式的解集；（Ⅱ）由条件利用基本不等式求得，，再由，求得的范围．【详解】（Ⅰ）当时，原不等式可化为，此时不成立；当时，原不等式可化为，解得，即；当时，原不等式可化为，解得.综上，原不等式的解集是．（Ⅱ）因为，当且仅当时等号成立，所以.当时，，所以．所以，解得，故实数的取值