6.中考数学专题03 全等三角形中的辅助线构造(举一反三)(原卷版)

专题03全等三角形中的辅助线构造【举一反三】苏科版】扮刑【考点1角分线上点向角两边作垂线构全等】【方法点拨】过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题；【例1】如图，已知BP平分ZABC,PD丄BC于D,BF+BE=2BD,求证:ZBFP+ZBEP=180°.【变式1-1】（2019秋汉阳区期中）已知：ZAOB=90°,OM是ZAOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D.（1）PC和PD有怎样的数量关系.（2）请你证明（1）得出的结论.

【变式1-2】(2019•北京校级期中)已知ZMAN=120°,AC平分/MAN,点B、D分别在AN、AM上.如图1,若ZABC=ZADC=90°,请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；【变式1-3】(2019秋•东区校级月考)如图①，OP是ZMON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题：如图②，在△ABC中，ZACB是直角，ZB=60°,AD、CE分别是ZBAC、ZBCA的平分线，AD、CE相交于点F.请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；(不需证明)如图③，在△ABC中，ZB=60°，AD、CE分别是ZBAC、ZBCA的平分线，AD、CE相交于点F，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.BEDDCA圍②图③图①【考点BEDDCA圍②图③图①【考点2截取法构全等】【方法点拨】利用对称性，在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形；【例2】(2019秋•黄浦区校级期中)已知：在四边形ABCD中，BC>BA，ZA+ZC=180°，且ZC=60°,BD平分ZABC，求证：BC=AB+DC.

【变式2-1】已知△ABC中，ZA=60°,BD,CE分别平分ZABC和ZACB,BD、CE交于点O,试判断BE,CD,BC的数量关系，并说明理由.【变式2-3【变式2-3】(2019•长汀县校级模拟)观察、猜想、探究:【变式2-2】(2019秋•邵阳期末)如图①，在△ABC中，ZACB=2ZB,AD为ZBAC的角平分线，求证:AB=AC+CD小明同学经过思考,得到如下解题思路：在AB上截取AE=AC，连接DE,得至仏ADE^^ADC,从而易证AB=AC+CD请你根据以上解思路写出证明过程；如图②，若AD为厶ABC的外角ZCAE平分线，交BC的延长线于点D,ZD=25°,其他条件不变,求ZB的度数.圜②圜②在厶ABC中，ZACB=2ZB.(1)如图①，当ZC=90°,AD为ZBAC的角平分线时，求证：AB=AC+CD；(2)如图②，当ZC*90。，AD为ZBAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；如图③，当AD为厶ABC的外角平分线时，线段AB.AC.CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想,并对你的猜想给予证明.A图①

【考点3延长垂线段构全等】【方法点拨】题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形；【例3】如图，在厶ABC中，ZABC=3ZC,AD平分ZBAC,BE丄AD于E,求证：BE^-（AC-AB）.（提示：延长BE交AC于点F）.【变式3-1】已知：如图，在△ABC中，ZABC=3ZC,Z1=Z2,BE±AE.求证：AC-AB=2BE.【变式3-2】（2019秋•通州区期末）已知：ZA=90°，AB=AC，BD平分ZABC，CE丄BD,垂足为E.求证：BD=2CE.【变式3-3】（2019•成都校级期中）如图，△ABC中，过点A分别作ZABC，ZACB的外角的平分线的垂线AD，AE.D，E为垂足，求证：（1）ED〃BC；⑵ed4（ab+ac+bc）.考点4倍长中线法构全等】方法点拨】遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形.【例4】（2019秋•津南区校级期中）已知：在厶ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=

AC,延长BE交AC于F,求证：AF=EF.【变式4-1】（2019秋•闵行区期中）如图，在△ABC中，AE平分ABAC,父BC于点E,D是BC边上点,且DE=CE,点F在AE上，联结DF,满足DF=AC,求证：DF^AB.【变式4-2】（2019春•富阳市校级期中）如图，AD%AABC的中线，ZADB和ZADC的平分线分别交AB、AC于点E、F.求证：BE+CF>EF.【变式4-3】（2019秋•启东市校级月考）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1,△ABC中，若AB=8,AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下SCDBC＜图1SCDBC＜图1£的解决方法：延长AD到点E,使DE=AD,请根据小明的方法思考:（1）由已知和作图能得到△ADC^AEDB的理由是.AA．SSSB．SASC．AASD．HL(2)求得AD的取值范围A.6VADV8B.6<AD<8C.1VADV7D.1<AD<7方法感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.问题解决】如图2,已知：CD=AB,ZBDA=ZBAD,AE是厶ABD的中线，求证：/C=/BAE.【考点5作平行线构全等】【方法点拨】有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形．或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形．【例5】若两个三角形的一边及其对角对应相等,并有一对角互补(不是直角),则这两个三角形为友好三角形.如图1,点D在AB边上，00=03,则厶ABC和厶ACD就是友好三角形.(1)两个友好三角形全等.(从下面选择一个正确的填入)A.一定B.不一定C.一定不(2)如图2,在厶ABC中，AB=AC,点D在AB上，点E在AC延长线上，连结DE交BC于其中BD丰BF,若厶BDF和厶CEF是友好三角形，求证：DF=EF.如图3,CE是厶ABC的中线，点D在AC上,BD与CE交于点F,CF=AE,DF=DC,图中与△ACEcDCBEmi图2EEFDB成友好三角形的是cDCBEmi图2EEFDB成友好三角形的是【变式5-1】(2019秋•建湖县期末)如图，在△ABC,AD平分ABAC,E、F分别在BD、AD上，且DE=CD,EF=AC，求证：EF//AB.【变式5-2】（2019春•河口区校级期中）如图所示，在△ABC中，ZACB=90°,CD丄AB于D,AE平分ZBAC交BC于E,交CD于F，FG/AB交BC于G.试判断CE，CF，GB的数量关系，并说明理由.【变式5-3】△ABC中，ZBAC=60°，ZC=40。，AP平分ZBAC交BC于P，BQ平分ZABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ.（有多种辅助线作法）A考点6旋转法构全等】方法点拨】对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。．【例6】（2019秋•清河区校级月考）如图，正方形ABCD中，E、F为BC，CD的上点且ZEAF=45°，求证:EF=BE+DF.【变式6-1】如图，已知AB=CD=