两角和与差的三角函数

2.两角和与差的三角函数知识网络两角和与差的三角函数结构简图同名两**弦护相加相减逆用两角和与差的F角函数公式式右用正切黑升甫公式积化和差公式和差化积公式倍角公式两角和与差的三角函数结构简图同名两**弦护相加相减逆用两角和与差的F角函数公式式右用正切黑升甫公式积化和差公式和差化积公式倍角公式两边开平方*半角公式画龙点晴公式两角和与差的余弦：cos(a+B)=cosacosB—sinasinB，cos(a—B)=cosacosB+sinasinp.证明：在直角坐标系xOy内作单位圆O,并作出角a,卩与-卩，使角a的始边为Ox,交圆O于点P]，终边交圆O于点P2;角卩的始边为OP2,终边交圆O于点P3,角-卩的始边为OP1,终边交圆O于点P4,这时点P],P2,P3,P4的坐标分另U是P1(1,0),P2(cosa,sina),P3(cos(a+卩),sin(a+卩)),P4(cos(—卩),sin(—卩)).由|P1P3I=|P2P4I及两点间距离公式，得[cos(a+P)一1]2+sin2(a+P)二[cos(—P)一cosa]2+[sin(—P)一sina]2.展开并整理，得2-2cos(a+P)=2—2(cosacosP—sinasinP),所以cos(a+P)=cosacosP—sinasinp.这个公式对于任意的角幺,卩都成立.在公式中用-卩代替p,就得到cos(a-P)=cosacos(-P)—sinasin(-P),即cos(a—P)=cosacosP+sinasinP.[活用实例]［例1］计算：⑴cos65°cosll5°-cos25°sinll5°;(2)—cos70°cos20°+sinll0°sin20°.［题解］(l)原式=cos65°cosll5。—sin65°sinll5°=cos(65°+ll5°)=cosl80°=—l;(2)原式=—cos70°cos20°+sin70°sin20°=—cos(70°+20°)=0.3l2［例2］已知sina=-，cosp=一求cos(a—p)的值.5l3［题解］Vsina=3>0,cosp=>0a可能在一、二象限，p在一、四象限5l3若a、p均在第一象限，贝9cosa=4，sinp=—cos(a—p)=4-丄+3■—=63;5l35l35l365若a在第一象限，p在四象限，贝9cosa=4，sinp=-—cos(a—p)=4-丄+3-(―巴)=33;5l35l35l365若a在第二象限，p在一象限，贝9cosa=—-，sinp=—cos(a—p)=(—―)-咚+3-—=—33;5l35l35l365若a在第二象限，p在四象限，则cosa=—-，sinp=——cos(a—p)=(—4).更+3.(—A)=—鱼.5l35l35l36535［例3］已知锐角a,p满足cosa=-cos(a+p)=-一求cosp.5l3［题解］・.・cosa=5・・・航=4又・・・吨+p)=-沪・・・a+卩为钝角・・・罰+卩弋,53l2-33・.cosp=cos［(a+p)—a］=cos(a+p)cosa+sin(a+p)sina=一•-+-l35l3565两角和与差的正弦:sin(a+p)=sinacosp+cosasinp,sin(a—p)=sinacosp—cosasinp.证明:在两角和的余弦公式中,利用诱导公式,可得到sin(a+p)=cos［乞—(a+p)］=cos［(乞—a)—p］=cos(-—a)cosp+sin(-—a)sinp=sinacosB+cosasin卩,2222即sin(a+p)=sinacosp+cosasinp.用-p代替上面公式中的p，可得到sin(a-p)=sinacos(-p)+cosasin(-p),即sin(a—p)=sinacosp—cosasinp.［活用实例］3-［例4］已知sina+cosp=5①，cosa+sinp二5②，求sin(a+p).［题解］①2：sin2a+2sinacosp+cos2p二2③l6②2：cos2a+2cosasinp+sin2p二--④③+④：2+2(sinacosp+cosasinp)=l即：sin(a+p)=-—.2［例5］已知sin(a+p)=—,sin(a—p)=-求tana的值.35tanp［题解］..、诚口+直匸2sinacosp+cosasinp=—①3322sin(a—p)=52•:sinacosp—cosasinp=5①+②：sinacosp=15①—②:2cosasinp=15=tana=sinacosp_15tanpcosasinp_2=415=［［例6］已知专＜卩“＜丁,123cos(a-卩)=石，sin(a邛)=-5'求sin2a的值.冬冬＜卩＜a＜込2419［题解］•・•cos(a-p)=13>0・•・。<a—卩*・•・sin(a-p)=I3・•・K<a+P<号又：sin(a+P)=—3••cos(a+p)=—sin2a=sin［Q+p)+(a—p)］=sin®+p)cos®—p)+c0s(a+p)sin®—p)=—3x12513两角和与差的正切：tana+tanptana—tanptan(a+p)=,tan(a—p)=.1—tanatanp1+tanatanp45556x=—•1365tana+tana+tanp1—tanatanp用-卩代替上面公式中的卩，得到tan(a—p)=tana—tanp1+tanatanp变形：tana+tanp=tan(a+p)(1-tanatanp).证明：®cos(a+p)=cosacosp—sinasinp,sin(a+p)=sinacosp+cosasinp,当cos(a+p)丰0时,将两式的两边分别相除，即tan(a+p)=［活用实例］［例7］［例7］已知tana=—tanp=—2求cot(a—p)，并求a+p的值，其中0。＜口＜90。,90o<p<180o.11+tanatanp［题解］cot(a—p)=臥市=tana-tanptan(a+p)=tana+tan咒1一tanatanp411—3x(—2)—1,且•.•0°vav90°,90°vp<180。・•・90°va+p<270。/.a+p=135°.［例8］求下列各式的值：(1)1+tan75。；(2)tan17o+tan28o+tan17otan28o.1一tan75。［题解］(1)原式=tan45°+tan75°=tan(45。+75。)=tan120。=—3.1一tan45。tan75。(2)•tan(17。+28。)=(2)•tan(17。+28。)=1—tan17。tan28。・tan17o+tan28o=tan(17o+28o)(1—tan17otan28o)=1—tan17otan28o,

原式=1一tanl7°tan28°+tanl7°tan28°=l.［例9］求(1+tanl°)(l+tan2°)(l+tan3。)(1+tan44。).［题解］(1+tanlo)(1+tan44°)=1+tan1o+tan44o+tan1otan44o=1+tan45°(1—tan1°tan44°)+tan1°tan44°=2同理：(1+tan2o)(1+tan43o)=2,(1+tan3o)(1+tan42o)=2,……・•・原式=222.二倍角的正弦、余弦、正切、余切：sin2a=2sinacosa,cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1一2sin2a_2tana-cot2a—1tan2a=,cot2a=.1—tan2a2cota一-,1+cos2a1—cos2a降幂升角公式：cos2a=-,sin2a=2a宀•a升幕缩角公式：1+cosa=2cos2—,1-cosa=2sin2—.三倍角的正弦、余弦、正切：sin3a=3sina一sin3a=3sina一4sin3a,cos3a=4cos3a—3cosa,tan3a=1—tan2a［活用实例］［例10］/.5k5k、［例10］/.5k5k、/•5兀5兀、(1)(sin+cos)(sin—cos);12121212112)aacos4—sin4；22'(3)—；1—tana1+tana4)1+2cos29一cos20⑴(sin—+cos—)(sin——cos—)=sin25一cos2=—cos=-12121212121262［例11］aa［例11］aaaaaa2)cos4-sin4=(cos2+sin2)(cos2—sin2)=cosa；22222211=2tana=_;1—tana1+tana1一tan2a=tana‘1+2cos20—cos20=1+2cos20—2cos20+1=2.kksin2a+cosacos(+a)—sm2(—a)的值是与a无关的定值。363)4)求证：11kk［题解］原式=j一心2^一尹-cos(3-2a)］+cosacos(3+a)12TOC\o"1-5"\h\z冗冗12-2a)-cos2a］+cosa(cos3cosa—sin3sina)=^(coscos2a+sinsin2a—cos2a)+-^cos2a-上3cosasina)233221-311i'31=—cos2a+sin2a—cos2a+—(1+cos2a)一sin2a)=422444•:sin2a+cosacos(3+a)—sin2(6—a)的值与a无关.22［例［例12］化简：［题解］原式=1+cos0-sin01一cos0-sin0+1-cos0-sin01+cos0-sin02202•002•202•00TOC\o"1-5"\h\z2coS2-2sincos2sin2-2sinco-222+222c・0c・00c0c・002sin2-2sincos2cos2-2sincos—22222220(0•0)2•0(•00)2cos—(cos—-sin)2sin(sin一cos—)222|222=+—2.0(.00)20(0.0)2sin(sin一cos—)2cos—(cossin)222222=-(cot0+tan0)=-(22sin01+cos01一cos0+sin0)=一忌=-2csc0半角的正弦、余弦、正切:.a1-cosaa1+cosasin=±,cos=±.L'222a,tan=土2.1-cosa\1+cosaa1-cosasina另有：tan==—2sina1+cosa万能公式：aa2tan1一tan2—22sina=,cosa=,tana=aaa1+tan21+tan21一tan2—222a不论a角的哪一种三角函数，都可用这几个公式把它化为tan-的有理式，这样就可把问题转化为以atan-为变量的一元有理函数，从而有助于问题的解决，因此把这组公式叫做万能公式.［活用实例］［例13］已知sin0=-3,3兀<0<孚,求tan2.［题解1］因为sin0=一3,3k<0<—,所以cos0=-1-sin2?二52一4一5,一3,咅=-3.21+cos041+(一5)0sin0tan—=—1［题解2］cos0=—：1_.043k07兀sin2二一一,且<—<,25224卜(-5)=-3丫1+cos0「+(-1)•0|'1-cos0tan=—22［题解3］由万能公式，有-52tan299=n3tan2+10tan+3=09221+tan229ntan=23兀19一一,或tan—3297兀—3.9但由已知<—<—4-,得tan—<-1,所以tan—=—3.b[例14]已知tan9=—,求证:acos29+bsin29=a.a2tan91+tan291+tan291—tan29[题解1]由万能公式，有acos29+bsin29=a-+b-1—冬2xba27aa(a2—b2)+2a2b2a2+b2=a-+b-==a-=a.b2b2a2+b2a2+b21+1+a2a2［题解2］因为tan9=-,由半角的正切公式，得a1_cosj9=2nbsin29=a(1—cos29)nacos29+bsin29=a.sin29a三角函数的积化和差公式:2[sin(a+P)+sin(a—P)]2[sin(a+P)—sin(a—P)]论却=孰心卩)+cos(a一卩)]sinasinP=—2[cos(a+P)一cos(a一卩)].sinacosP=cosasinP=三角函数的和差化积公式:9+申9—申sin9+sinQ=2smcos—229+Q•9—Qsin9—sinQ=2cossin—229+Q9—Qcos9+cosQ=2coscos—22cos9—cosQ=—2sin°+Qsin°Q2［活用实例］sin7o+cosl5o-sin8o[例15]求cos7o—sin15o-sin8o的值.[题解1]sin70+cos®•sin80=Si(15-8)+cos】50•Sins。=sin】5。•cosS。=ta„i50=2=3cos7o一sin15o•sin8。cos(15一8)。一sin15o•sin8ocos15o•cos8osin7。+cos15o•sin8osin7o+2(sin23o一sin7o)sin23o+sin7o[题解2]cos7。一si"5。•sin8。=cos7o+2(cos23o-cos7o)=cos23。-歸。2sin15ocos82sin15ocos8o2cos15ocos8o=tan15o1-cos3。。sin3。。［例16］［例16］已知△ABC的三个角A,B,C满足A+C=2B,丄A+丄二一，求cos筈：的值.cosAcosAcosB2［题解1］由题设条件知B=6o°,A+C=12o