二次函数综合应用专题归纳训练一

-.z.二次函数综合应用专题归纳训练一一、相似三角形的存在性问题1.在平面直角坐标系中，一个二次函数的图像经过A（1,0）B（3,0）两点.（1）写出这个二次函数图像的对称轴；（2）设这个二次函数图像的顶点为D,与轴交与点C，它的对称轴与轴交与点E，连接AC、DE和DB.当△AOC与△DEB相似时，求这个二次函数的表达式.二、等腰三角形的存在性问题2.如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一点C（3,0）.OCBAOCBA⑴求抛物线的解析式⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.3.已知抛物线y＝a*2＋b*＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线L上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线L上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．平行四边形的存在性问题4.（2014年山东泰安）二次函数y=a*2+b*+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣*+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥*轴，垂足为点C（﹣3，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥*轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．分析：（1）首先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；（2）设M的横坐标是*，则根据M和N所在函数的解析式，即可利用*表示出M、N的坐标，利用*表示出MN的长，利用二次函数的性质求解；（3）BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则BC=MC，据此即可列方程，求得*的值，从而得到N的坐标．解：（1）由题设可知A（0，1），B（﹣3，），根据题意得：，解得：，则二次函数的解析式是：y=﹣﹣*+1；（2）设N（*，﹣*2﹣*+1），则M、P点的坐标分别是（*，﹣*+1），（*，0）．∴MN=PN﹣PM=﹣*2﹣*+1﹣（﹣*+1）=﹣*2﹣*=﹣（*+）2+，则当*=﹣时，MN的最大值为；（3）连接MN、BN、BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，由于BC∥MN，即MN=BC，且BC=MC，即﹣*2﹣*=，且（﹣*+1）2+（*+3）2=，解得：*=1，故当N（﹣1，4）时，MN和NC互相垂直平分．5.线段差的最值问题5.6.6.二次函数综合应用专题归纳训练二五、面积问题7.如图是二次函数的图象，其顶点坐标为M(1,-4).（1）求出图象与轴的交点A,B的坐标；（2）设直线AM与y轴交于点C，求△BCM的面积.（3）在图中的抛物线上是否还存在点P，使得S△PMB=S△BCM，如果不存在，说明理由；如存在，请直接写出P点的个数.CC8.（2014•）如图，抛物线y=﹣*2﹣2*+3的图象与*轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作*轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥*轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PQMN的周长最大时，求△AEM的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG=2DQ，求点F的坐标．9.（2013重庆）如图，已知抛物线y=*2+b*+c的图象与*轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在*轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在*轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．六、二次函数与圆的结合10.如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（4，0），B点坐标为（﹣1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C．（1）求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式；（2）设M为（1）中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式；（3）试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．11.将△AOB置于平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A为（3，0