数列常见解题方法

数列解题方法一、基础知识：数列的定义数列的有关概念

项项数数列数列的通项数列与函数的关系

通项等差数列的定义等比数列的定义等差数列的通项等比数列的通项等比数列等差数列等差数列的性质等比数列的性质等差数列的前n项和等比数列的前n项和数列：1．数列、项的概念：按一定次序排列的一列数，叫做数列，其中的每一个数叫做数列的项．2．数列的项的性质：①有序性；②确定性；③可重复性．3．数列的表示：通常用字母加右下角标表示数列的项，其中右下角标表示项的位置序号，因此数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，⋯，an，（⋯），简记作{n}．其中n是该数列的第n项，列表法、图象法、符号aa法、列举法、解析法、公式法（通项公式、递推公式、求和公式）都是表示数列的方法．4．数列的一般性质：①单调性；②周期性．5．数列的分类：①按项的数量分：有穷数列、无穷数列；②按相邻项的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列、其他；③按项的变化规律分：等差数列、等比数列、其他；④按项的变化范围分：有界数列、无界数列．6．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项n与它的序号n之间的函数关a=fa系可以用一个公式n（）（∈N+或其有限子集{1，2，3，⋯，n}）nn来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．数列的项是指数列中一个确定的数，是函数值，而序号是指数列中项的位置，是自变量的值．由通项公式可知数列的图象是散点图，点的横坐标是项的序号值，纵坐标是各项的值．不是所有的数列都有通项公式，数列的通项公式在形式上未必唯一．7．数列的递推公式：如果已知数列{n}的第一项（或前几项），且任一项an=n与它的前一项n-（1或前几项n-1，n-2，⋯）间关系可以用一个公式an1）（an1,an（=2，3，⋯）（或n=（2）(3，4，5，⋯)，⋯）nafn=来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式．8．数列的求和公式：设n表示数列{n}和前n项和，即n=n=1+2+⋯iSaSaaai1+n，如果n与项数n之间的函数关系可以用一个公式n=（）（=1，aSSfnn2，3，⋯）来表示，那么这个公式叫做这个数列的求和公式．9．通项公式与求和公式的关系 ：通项公式n与求和公式n的关系可表示为：anS1(n1)aSSnSn1(n2)等差数列与等比数列：等差数列等比数列一般地，如果一个数列从第二一般地，如果一个数列从第二文项起，每一项与它的前一项的 项起，每一项与它的前一项的字差是同一个常数，那么这个数 比是同一个常数，那么这个数定列就叫等差数列，这个常数叫 列就叫等比数列，这个常数叫义等差数列的公差。 等比数列的公比。符号an1andan1q(q0)an定义递 增 数 列 ：递增数列：分递减数列：类

d0a10，q1或a10，0q1d0递减数列：常数数列：d0a10，q1或a10，0q1摆动数列： q 0常数数列：q1通ana1(n1)dpnqam(nm)dana1qn1amqnm0）项其中pd,qa1d（q前nSnn(a1an)na1n(n1)dpn2qna1(1qn)1)22Sn1(q其中pd,qa1dq项na1(q1)22和中a,b,c成等差的充要条件:2baca,b,c成等比的必要不充分条件：b2ac项等和性：等差数列an等积性：等比数列an若mnpq则若mnpq则主amanapaqamanapaq推论：若mn2p则推论：若mn2p则要aman2apaa(a)2性mnpankank2anaa(a)2knkn质na1ana2an1a3an2aaaaaan1n21n23即：首尾颠倒相加，则和即：首尾颠倒相乘，则积相等相等1、等差数列中连续m项的和，1、等比数列中连续项的和，组组成的新数列是等差数列。即：成的新数列是等比数列。即：sm,s2msm,s3ms2m,等差，公sm,s2msm,s3ms2m,等比，公比为差为m2d则有s3m3(s2msm)qm。其2、从等差数列中抽取等距离的2、从等比数列中抽取等距离项组成的数列是一个等差数的项组成的数列是一个等比数列。列。如：a1,a4,a7,a10,（下标成等差如：a1,a4,a7,a10,（下标成等差它数列）数列）3、an,bn等差，则a2n，a2n1，3、an,bn等比，则a2n，a2n1，kanb，panqbn也等差。kan4、等差数列an的通项公式是n也等比。其中k0的一次函数，即：4、等比数列的通项公式类似于andnc(d0)n的指数函数，等差数列an的前n项和公式na1即：ancq，其中cq是一个没有常数项的n的二次等比数列的前n项和公式是函数，一个平移加振幅的n的指数函性即：SnAn2Bn(d0)数，即：sncqnc(q1)5、项数为奇数1的等差数列2n5、等比数列中连续相同项数的有：积组成的新数列是等比数列。s奇ns奇s偶ana中s偶n1s2n1(2n1)an项数为偶数2n的等差数列质有：s奇an，s偶s奇nds偶an1s2nn(anan1)6、anm,amn则amn0snsm则smn0(nm)snm,smn则smn(mn)证证明一个数列为等差数列的方明法：方 1、定义法：an1 an d(常数)法 2、中项法：an1 an1 2an(n 2)

证明一个数列为等比数列的方法：1、定义法： an1 q(常数)an2、中项法：20)an1an1（an）(n2,an设元 三数等差：技 四数等差：巧

ad,a,ad三数等比：a3d,ad,ad,a3d四数等比：

,a,aq或a,aq,aq2qa,aq,aq2,aq31、若数列an是等差数列，则数列Can是等比数列，公比为Cd，联其中C是常数，d是an的公差。系2、若数列an是等比数列，且an0，则数列logaan是等差数列，公差为logaq，其中a是常数且a0,a1，q是an的公比。数列的项an与前n项和Sn的关系：ans1(n1)snsn1(n2)数列求和的常用方法：1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。2、错项相减法：适用于差比数列（如果做差比数列）

an等差， bn等比，那么 anbn 叫即把每一项都乘以 bn的公比q，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于数列1和1（其中an等差）anan1anan1可裂项为：11(11)，11(an1an)anan1danan1anan1d等差数列前 n项和的最值问题：1、若等差数列an的首项a10，公差d0，则前n项和Sn有最大值。（ⅰ）若已知通项an，则Sn最大an0；an10（ⅱ）若已知Snpn2qn，则当n取最靠近q的非零自然数时Sn最大；2p2、若等差数列an的首项a10，公差d0，则前n项和Sn有最小值（ⅰ）若已知通项an，则Sn最小an0；an10（ⅱ）若已知Snpn2qn，则当n取最靠近q的非零自然数时Sn最小；2p数列通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。⑵已知Sn（即a1a2Lanf(n)）求an，用作差法：anS1,(n1)。SnSn1,(n2)已知a1ga2gLganf(n)求an，用作商法：anf(1),(n1)。f(n),(n2)f(n1)⑶已知条件中既有Sn还有an，有时先求Sn，再求an；有时也可直接求an。⑷若an1anf(n)求an用累加法：an(anan1)(an1an2)L(a2a1)a1(n2)。⑸已知an1f(n)求an，用累乘法：ananan1La2a1(n2)。anan1an2a1⑹已知递推关系求 an，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如ankan1b、ankan1bn（k,b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an；形如ankan1kn的递推数列都可以除以kn得到一个等差数列后，再求an。（2）形如anan1的递推数列都可以用倒数法求通项。kan1b（3）形如an1ank的递推数列都可以用对数法求通项。（8）遇到an1an1d或an1q时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段an1形式数列求和的常用方法：1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式。2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）.（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）.5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：①11)11；②1k)1(11k)；n(nnn1n(nknn③11111)，1111111；k2k2(kk1(k1)kk2(k1)kk1k12k1k1④11[11]；⑤n11；n(n2)1)(n2)(n1)!n!1)(n2n(n1)(n(n1)!⑥2(n1n)n211n212(nn1)nnn二、解题方法：求数列通项公式的常用方法：1、公式法2、由Sn求an（n1S1，n2时，anSnSn1）时，a13、求差（商）法如：an满足1a112a2⋯⋯1nan2n5121a22解：n1时，1215，∴a1421n2时，1112n152a122a2⋯⋯2n1an1212得：1an22n∴an2n1∴an14(n1)2n1(n2)［练习］数列an满足SnSn15an1，a14，求an3、叠乘法例如：数列an中，a13，an1n，求anann1解：a2·a3⋯⋯an1·2⋯⋯n1，∴an1a1a2an123na1n又a13，∴an3n5、等差型递推公式由anan1f(n)，a1a0，求an，用迭加法n2时，a2a1f(2)a3a2f(3)两边相加，得：⋯⋯⋯⋯anan1f(n)ana1f(2)f(3)⋯⋯f(n)∴an a0 f(2) f(3) ⋯⋯ f(n)［练习］数列 an，a1 1，an 3n1 an1 n 2，求an6、等比型递推公式ancan1dc、d为常数，c0，c1，d0可转化为等比数列，设anxcan1xancan1c1x令(c1)xd，∴xdc1∴and是首项为a1d，c为公比的等比数列c1c1∴ancda1d·cn11c1∴ana1cdcn1d11c［练习］数列 an满足a1 9，3an1 an 4，求an、倒数法例如：a11，an12an，求anan2由已知得：1an211an12an2an1 1 1∴an1 an 21为等差数列，1，公差为1ana1211n1·11n1an22∴an2n1数列前n项和的常用方法：1、公式法：等差、等比前 n项和公式2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。n1如：an是公差为d的等差数列，求k1akak1解：由/