第2讲 两直线的位置关系公开课一等奖省优质课大赛获奖课件

考点突破考点一：两直线平行与垂直考点二：两直线相交及距离公式应用考点三：对称问题课堂小结第2讲两直线位置关系夯基释疑思想方法易错防范概要基础诊疗夯基释疑解(1)法一

由已知可得l2斜率存在，∴k2＝1－a.若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.∵l1⊥l2，直线l1斜率k1必不存在，即b＝0.又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋4＝0，考点一

两直线平行与垂直考点突破∴此种情况不存在，∴k2≠0.即k1，k2都存在，又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.②由①②联立，解得a＝2，b＝2.法二

因为l1⊥l2，所以a(a－1)＋(－b)·1＝0.即b＝a2－a.①又因为l1过点(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0，考点一

两直线平行与垂直考点突破经验证，符合题意．故a＝2，b＝2.又∵坐标原点到这两条直线距离相等，且l1∥l2，∴l1，l2在y轴上截距互为相反数，考点一

两直线平行与垂直考点突破(2)∵l2斜率存在，l1∥l2，∴直线l1斜率存在，(1)当含参数直线方程为普通式时，若要表示出直线斜率，不但要考虑到斜率存在普通情况，也要考虑到斜率不存在特殊情况，同时还要注意x，y系数不能同时为零这一隐含条件．

(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程系数间关系得出结论．规律方法考点突破考点一

两直线平行与垂直考点突破解(1)法一

当sinα＝0时，直线l1斜率不存在，l2斜率为0，显然l1不平行于l2.【训练1】已知两直线l1：x＋ysinα－1＝0和l2：2x·sinα＋y＋1＝0，求α值，使得：(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2.考点一

两直线平行与垂直考点突破法二

由A1B2－A2B1＝0，得2sin2α－1＝0，【训练1】已知两直线l1：x＋ysinα－1＝0和l2：2x·sinα＋y＋1＝0，求α值，使得：(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2.考点一

两直线平行与垂直又B1C2－B2C1≠0，所以1＋sinα≠0，即sinα≠－1.(2)因为A1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2充要条件，所以2sinα＋sinα＝0，即sinα＝0，所以α＝kπ，k∈Z.故当α＝kπ，k∈Z时，l1⊥l2.即4x＋3y－6＝0.法二

设直线l方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11.∴直线l方程为4x＋3y－6＝0.考点二两直线相交及距离公式应用考点突破(2)当直线l与x轴垂直时，此时直线l方程为x＝2，点A到直线l距离为d1＝1，点B到直线l距离为d2＝3，不符合题意，故直线l斜率必存在．∵直线l过点P(2，－5)，∴设直线l方程为y＋5＝k(x－2)，即kx－y－2k－5＝0.考点二两直线相交及距离公式应用考点突破∵d1∶d2＝1∶2，考点二两直线相交及距离公式应用考点突破∴k2＋18k＋17＝0，∴k1＝－1，k2＝－17.∴所求直线方程为x＋y＋3＝0和17x＋y－29＝0.(1)常见三大直线系方程：①与直线Ax＋By＋C＝0平行直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)；②与直线Ax＋By＋C＝0垂直直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；③过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包含l2.(2)利用点到直线距离公式时，需把直线方程化为普通式；利用两平行线距离公式时，需先把两平行线方程中x，y系数化为相同形式．规律方法考点突破考点二两直线相交及距离公式应用解析(1)与l1，l2平行且距离相等直线方程为x＋2y－2＝0.设所求直线方程为(x＋2y－2)＋λ(x－y－1)＝0，即(1＋λ)x＋(2－λ)y－2－λ＝0.又直线过(－1，1)，∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0.考点突破∴所求直线方程为2x＋7y－5＝0.考点二两直线相交及距离公式应用(2)法一

当直线l斜率存在时，设直线l方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.考点突破即|3k－1|＝|－3k－3|，考点二两直线相交及距离公式应用即x＋3y－5＝0.当直线l斜率不存在时，直线l方程为x＝－1，也符合题意．综上，直线l方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.考点突破考点二两直线相交及距离公式应用即x＋3y－5＝0.当l过AB中点时，AB中点为(－1，4)．∴直线l方程为x＝－1.故所求直线l方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.答案(1)2x＋7y－5＝0

(2)x＋3y－5＝0或x＝－1考点三对称问题考点突破(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l对称点必在m′上．设对称点为M′(a，b)，考点三对称问题考点突破设m与l交点为N，又∵m′经过点N(4，3)，∴由两点式得直线方程为9x－46y＋102＝0.(3)法一

在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如M(1，1)，N(4，3)，则M，N关于点A对称点M′，N′均在直线l′上．易知M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′方程为2x－3y－9＝0.法二

设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)对称点为P′(－2－x，－4－y)，∵P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.考点三对称问题考点突破(1)处理点关于直线对称问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段MN中点在直线l上，直线l与直线MN垂直．(2)假如直线或点关于点成中心对称问题，则只需利用中点公式就可处理问题．(3)若直线l1，l2关于直线l对称，则有以下性质：①若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；②若点B在直线l1上，则其关于直线l对称点B′在直线l2上．规律方法考点突破考点三对称问题∴反射点M坐标为(－1，2)．又取直线x－2y＋5＝0上一点P(－5，0)，设P关于直线l对称点P′(x0，y0)，【训练3】光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在直线方程．考点突破考点三对称问题依据直线两点式方程可得所求反射光线所在直线方程为29x－2y＋33＝0.法二设直线x－2y＋5＝0上任意一点P(x0，y0)关于直线l对称点为P′(x，y)，考点突破考点三对称问题【训练3】光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在直线方程．可得P点横、纵坐标分别为代入方程x－2y＋5＝0中，化简得29x－2y＋33＝0，∴所求反射光线所在直线方程为29x－2y＋33＝0.考点突破考点三对称问题【训练3】光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在直线方程．1．两直线位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合两条直线l1，l2，l1∥l2⇔k1＝k2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线斜率不存在，那么另一条直线斜率一定要尤其注意．2．对称问题普通是将线与线对称转化为点与点对称．利用坐标转移法处理问题．思想方法课堂小结易错防范课堂小结（见教辅）又∵交点位于第一象限，考点突破考点二两直线相交及距离公式应用A(4，0)，B(0，2)．而直线方程y＝kx＋2k＋1可变形为y－1＝k(x＋2)，表示这是一条过定点P(－2，1)，斜率为k动直线．∵两直线交点在第一象限，∴两直线交点必在线段AB上(不包含端点)，∴动直线斜率k需满足kPA＜k＜kPB．考点突破考点二两直线相交及距离公式应用解析建立如图所表示坐标系：可得B(4，0