第五节图乘法公开课一等奖省优质课大赛获奖课件

§6-5图乘法1引例求简支梁在均布荷载作用下A端转角利用积分方式求解，计算繁复！简化计算方法？A位移状态虚设力状态（2）与

图中最少有一个为直线图形。在上述条件下，公式中积分可变换为代数运算。一.图乘法适用条件（1）EI=常数直线杆二.算法及说明现在化简其中积分运算。设图为直线改变，以下列图所表示。依据条件(1)，公式成为建立xOy坐标系，，则式中，——一个弯矩图面积。

yC——另一个直线改变弯矩图中与图形心对应纵标。

将简化结果代入公式，得梁和刚架位移计算图乘法公式为常见图形面积及其形心位置lllllhhCCCCCCC2l/3l/3(l+a)/3(l+b)/3abl/2l/23l/4l/43l/85l/82l/53l/54l/5l/5顶点顶点顶点二次抛物线二次抛物线A=hl/2A=hl/2A=2hl/3A1A2A1A2A1=2hl/3A2=hl/3A1=3hl/4A2=hl/4A例一求简支梁在均布荷载作用下A端转角1计算结果为负，说明假设单位力方向与结构发生实际位移方向相反三、图乘法几点说明1.必须符合图乘法适用条件。2.与yC应取自不一样图形。它们位于杆件同侧时相乘为正，不然为负。3.取yC图形必须是直线图，不能是折线图或曲线图。4.若

与

均为直线图，则从任一图中取yC（另一图则取）均可。5）假如是折线图形，而MP为非直线图形，或者为非等截面杆，则应分段图乘，然后叠加。A1A2y01y02MP图图MP图A1A2y01y02EI1EI2图6.当取图形较复杂，应将其分解为(以下列图所表示)简单图形，再分别图乘后叠加起来。||+||+抛物线非标准图形分解

MAMBqa2/8MAMBdxqa2/8ABMAMBaqAB=+MAMBqa2/8aMAMBdxqa2/8ABaMAMBABq=+【例6-8】试求图6-22a所表示悬臂梁跨中截面C挠度DCV。已知EI=常数。解：(1)解法一作MP图，并按A1、A2、A3、A4四部分划分，如图6-22b所表示AAABBBCCCl/2l/2lqqlA1A2A3A4y01y02y03y04lMP图图1(2)解法二作MP图，并按A1、A2两部分划分，如图6-22d所表示。计算结果与前法完全相同，但因对MP图分块恰当，使计算更简便。MP图图AABBCA1A2y01y021lql2【例6-9】试求图6-23a所表示刚架截面D竖向位移DDV。解：求解本题DDV时，须注意两点：一是对于斜杆CD，应以杆轴为基线计算；二是对于阶形住AC，应按EI不一样分段图乘。(1)作MP图ABCD12m8m4m4m2.5kN/m20kN4EI3EI2EI(12.65m)ABCD14010020(45)A1A2A3A4A5MP图(kN·m)ABCD12m8m4m4m2.5kN/m20kN4EI3EI2EI(12.65m)ABCD14010020(45)A1A2A3A4A5MP图(kN·m)(2)作图ABCD14010020(45)A1A2A3A4A5MP图(kN·m)ABCD12m8m4m4m2.5kN/m20kN4EI3EI2EI(12.65m)ACD112y01y02y03y04y05图(m)(3)计算位移值：ABCD14010020(45)A1A2A3A4A5MP图(kN·m)ABCD12m8m4m4m2.5kN/m20kN4EI3EI2EI(12.65m)ACD112y01y02y03y04y05图(m)【例6-10】试求图6-24a所表示刚架截面D水平位移DDH。已知EI=常数。解：(1)作MP图(2)加对应单位荷载，作图ABCDqaaaABCDa/2a/2y01y021图ABCDA1A2MP图qa2/4qa2/4qa2/8(3)计算位移值：ABCDa/2a/2y01y021图y03y04y05ABCDA1A2MP图qa2/4qa2/4qa2/8CCCDDDA3A4A5qa2/4qa2/4qa2/8CD杆MP图【例6-11】试求图6-25a所表示刚架铰C左右两侧面C1、C2相对转角。已知EI=常数。解：ABCDEC1C2FPlll/2l/2FPl/4FPl/4MP图A1A2A3A4111y01y02y03y04图1【例6-12】试求图6-26a所表示组合结构A、B两点在其连线方向上相对线位移DAB。已知桁杆EA和梁式杆EI均为常数。300解：a/2a/2aaEABCDFq30°30°30°30°MP图ql2/8A111图y016.6静定结构因为支座移动引发位移计算

静定结构当支座发生位移时，并不产生内力，也不产生微段变形，而只发生刚体位移。（6-18）式中，为虚拟状态中由单位荷载引发与支座位移对应支座反力，c为实际状态中与对应已知支座位移。为反力虚功总和，当与c方向一致时，其乘积取正；相反时，取负。须注意，式（6-18）S前面负号，系原来推导公式（6-9）移项时所得，不可遗漏。【例6-13】试求图6-27a所表示结构因为支座A发生竖向位移c1=2cm和转角c2=0.02rad所引发截面E竖向位移DEV和转角qE。解：(1)虚设对应单位力，求出单位支反力（），如图6-27b、c所表示。(2)利用公式（6-18），计算位移值：()ABCDc1c2qEDEV4m4m4m2ma)实际状态1b)虚拟状态一c)虚拟状态二1【例6-14】试求图6-28a所表示桁架因为支座B发生竖向位移D所引发杆件BC转角。解：(1)虚设对应单位力(2)利用公式（6-18），计算位移值：aaaAABBCCDDD实际状态虚拟状态6.7静定结构因为温度改变引发位移计算一、关于温度改变假定第一，温度沿杆件长度均匀分布；第二，温度沿截面高度直线改变。二、静定结构温度变形特征静定结构当温度发生改变时，各杆件均能自由变形（但不产生内力），一样可采取单位荷载法。因为上述第一点假设，温度沿杆长度均匀分布，杆件不可能出现剪切变形（即微段dv=0），同时注意到实际状态支座位移为零（即），所以，位移公式（6-9）可深入简化为（6-19）式中，dq

和du为实际温度状态下，因材料热胀冷缩所引发各微段弯曲变形和轴向变形。只要能求出dq

和du表示式，即可利用（6-19）求得结构位移。(6-19)三、关于du计算表示式截取一微段ds,截面变形之后仍保持为平面。其上侧、下侧边缘处纤维伸长分别为du1=at1dsABCABCdsdsB1C1DCVt1t1t2t2t1t2dsdq,du1duhh1h2at1dsat2dsat0dsdq形心轴du1=at1dsdu2=at2dsdu=at0ds式中，a为材料温度线膨胀系数。按几何关系可得中性轴温度改变为故（6-20a）ABCABCdsdsB1C1DCVt1t1t2t2t1t2dsdq,du1duhh1h2at1dsat2dsat0dsdq形心轴当截面对称于形心轴，即时，则式（6-20a）成为（6-20b）于是，温度改变引发微段轴向变形（6-21）四、关于dq

计算表示式若令上下边缘温差为（6-22）t1t2dsduhh1h2at1dsat2dsat0dsdq形心轴则温度引发微段弯曲变形可表示为（6-23）五、静定结构因为温度改变引发位移计算公式将式（6-21）和式（6-23）代入式（6-19），即得若t0、Dt和h沿各自杆件全长为常量，则即（6-25b）式中，，为图面积；，为图面积。对于梁和刚架，在计算温度改变引发位移时，轴向变形影响普通不容忽略。六、关于符号要求当实际温度变形与虚拟内力方向一致时，变形虚功为正，即其乘积为正，反之则为负。据此，如Dt取绝对值，则高温一侧为正；如t0以升高为正，则以拉为正。七、静定结构因为制造误差引发位移计算对于桁架，在温度改变时，其位移计算公式为（6-26）当桁架杆件长度因制造误差而与设计长度不符时，由此引发位移计算与温度改变时相类似。设各杆长度误差为Dl（伸长为正，缩短为负），则位移计算公式为（6-27)【例6-15】图6-30a所表示刚架施工时温度为20℃，试求冬季当外侧温度为-10℃，内侧温度为0℃时，C点竖向位移DCV。已知：l=4m，a=10-5，各杆均为矩形截面，高度h=40cm。解：外侧温变为:t1=(-10)-20=-30℃内侧温变为:t2=0-20=-20℃℃℃ABCllt1=-30℃t1=-30℃t2=-20℃加对应单位荷载，作图和图代入式（6-25），可得ABCllt1=-30℃t1=-30℃t2=-20℃ABC1ABCll图ABC1图【例6-16】图6-31a所表示结构杆DE因为制造误差过长Dl=2cm，试求铰C左右两侧截面C1、C2相对转角。解：()AABBCCDDEEFFGGC1C2D1E1F1G1aaaaa11*6.8含有弹性支座静定结构位移计算一、弹性支座弹性支座是指支座本身受力后将会发生弹性变形支座。弹性支座有两种常见类型（图6-32a）：抗移动弹性支座（图6-32c）和抗转动弹性支座（图6-32b）。AABBFPkqkDqA=1kqDB=1kDB1抗转动弹性支座及其刚度系数抗移动弹性支座及其刚度系数二、位移计算1、解法一利用单位荷载法推导含有弹性支座静定结构在荷载作用下位移计算公式。由位移计算普通公式，可得对于还有抗转动弹性支座，而且弹性支座不止一个体系，则位移计算公式可写为(6-29)FPqABKdsdq,du,dviidsK1FRDABKds1对于梁和刚架，只考虑弯曲变形，它由实际状态中MP引发，。于是，式（6-29）可简化为(6-30)假如满足图乘法适用条件，式（6-30）中右边第一项可用图乘法计算。当式（6-30）中抗移动弹性支座反力和FR、抗转动弹性支座反力矩和MR方向一致时，乘积取正，反之取负。【例6-17】试求图6-34a所表示梁B铰左右两侧截面相对转角。已知EI=常数，刚度系数kD=k1=3EI/l3，kq=k2=48EI/l。解：(1)绘MP图并求出弹性支座处支反力FR和支反力矩MR，如图6-34b所表示。FPFPAABBCCB左B右k1k2ll/2l/2实际状态MP图(2)在B铰左右两侧加一对大小相等、方向相反单位力偶，绘图并求出弹性支座处支反力和支反力矩，如图6-34c所表示。虚拟状态图ACB2111(3)计算位移值：()FPABC实际状态MP图虚拟状态图ACB21112、解法二含有弹性支座静定结构位移计算问题，也可转换为等效支座位移问题来计算。C点产生竖向位移A处产生转角()须注意，弹性支座位移与反力恰好是反向。qADCVABCFPC1这么，图6-34a所表示结构就能够变换为图6-35所表示含有荷载和支座位移结构。在荷载和支座位移共同作用下，所求位移D（对图6-34a为）为（6-31）式中，c为实际状态支座处已知广义位移，为虚拟状态支座处与广义位移c相对应广义支反力。qADCVABCFPC13、解法三对于简单情况，也可直接利用几何关系来计算含有弹性支座静定结构位移。C点弹性位移C点刚性位移C点总位移FPFPFPDCVDBVAAABBBCCCEIEIEI0=∞DBVFP/2l/2l/26.9线弹性体系互等定理本节讨论四个普遍定理——互等定理，是采取小变形和线弹性假定，并依据虚功原理导出。其中，最基本是虚功互等定理（亦简称功互等定理）；其它三个定理：位移互等定理、反力互等定理、反力与位移互等定理，则是应用虚功互等定理三个特例。这些定理在以后相关章节理论推导和简化计算中，都有主要作用。一、虚功互等定理表述:一个弹性结构，第一状态外力在第二状态位移上所做外力虚功（W12），等于第二状态外力在第一状态位移上所做外力虚功（W21）。即:证实:设有两组外力FP1和FP2分别作用于同一线弹性结构上，如图6-37a、b所表示，分别称为结构第一状态和结构第二状态。第一状态力在第二状态位移上做虚功，则依据虚功方程W外=W变，可得（a）FP1FP2D12D211122第一状态第二状态第二状态力在第一状态位移上做虚功，可得(b)以上（a）、（b）两式右边完全相同，所以左边也应相等，故有或写为证毕（6-33）FP1FP2D12D211122第一状态第二状态二、位移互等定理位移互等定理是虚功互等定理一个特殊情况。

这就是位移互等定理。它表明：第二个单位力引发第一个单位力作用点沿其方向位移（d12），等于第一个单位力引发第二个单位力作用点沿其方向位移（d21）。假如图FP1和FP2都是单位力（量纲为1），对应位移由D改为d表示，则由式（6-32），有（6-34）1122FP1=1FP2=1d21d12须指出是，这里单位