第八章 J积分公开课一等奖省优质课大赛获奖课件

第八章J积分

§8-1概述

对于脆性材料，比如玻璃，线弹性断裂力学分析是有效。假如材料具备一定韧性，则在裂纹扩展前，先在裂纹尖端出现塑性区。塑性区存在使线弹性断裂力学分析失去一定准确性。不过在塑性区尺寸远比裂纹尺寸为小小范围屈服条件下，线弹性断裂力学分析结果依然能够作为近似解。假如裂尖塑性区与裂纹尺寸同一数量级，甚至超出了裂纹尺寸，线弹性断裂力学分析就无效了。

工程上应用中、低强度高韧钢含裂纹构件，甚至高强钢中存在微小裂纹问题，都是大范围屈服问题。对大范围屈服问题，人们自然会想到用类似K理论方法，找到描述裂尖弹塑性应力应变场强度参量，从而建立工程应用判据。当前用得最多参量是J

和COD

。

1968年Rice提出J积分概念后，Hutchinson，Rice等人导出了弹塑性材料裂尖应力应变场表示式，即HRR理论，使断裂力学从线弹性发展到了弹塑性。有两个几何形状和受力完全相同单位厚度板，各含有一个缺口，板1中缺口长为，此板总势能为；板II中缺口长为，此板总势能为。二板总势能之差为：，这个差值是由引发。

§8-2J积分定义

定义：是缺口长度不一样造成势能差异率。这就是J形变功定义。能够看到：1.

J

定义对材料应力-应变关系没有任何要求，所以

J积分适合用于弹性体（线弹性体和非线性弹性体）和塑性体单调加载（无卸载）情况。非线性弹性体和塑性体曲线在加载时没有区分，但卸载时塑性体不沿加载曲线回零（塑性变形不可逆），差能量成热能放出。所以J只可用于塑性体单调加载情况。2.

因为不允许卸载，J不再含有裂纹扩展能量释放率物理意义，而是功吸收率。

3.

从J定义可见，在线弹性范围即J与G等价。所以J是G合理延伸，是一个既适合用于线弹性又适合用于弹塑性较普通参数。

4.

从J形变功定义，采取虚位移原理、格林公式和二元函数泰勒展开式，能够导出J线积分定义：

其中：为从缺口下表面上任一点沿逆时针方向绕过缺口顶端，而止于缺口上表面上任一点曲线；.为带缺口变形体形变功密度，包含弹性应变能和塑性形变功；：回路上对应“表面力”矢量；：回路上各点位移矢量；ds：回路线元。

J一个主要性质，就是J积分与积分路径无关（Path-independent）。这称为J积分守恒性。J积分守恒性前提是：①不允许卸载；②变形为小变形；③没有体积力。

因为J与路径无关，所以可选择一条轻易求积分路径（比如沿试样周围，可能只有弹性应力和应变），简单地求得J。

与靠近裂纹尖端处行为相关奇异场解是断裂力学发展中关键问题。1968年Rice提出J积分概念后，Hutchinson、Rice等人，导出了弹塑性材料裂尖应力应变场表示式，即HRR

理论，使断裂力学从线弹性发展到了弹塑性。

§8-3弹塑性裂纹尖端应力场1.采取以下基本公式，导出应力函数控制方程：

iAiry公式：

ii几何方程：

iii物理方程：

n为硬化指数，n大硬化能力大；n小，硬化能力小 无量纲应力：；无量纲应变：， E：材料弹性模量。本节中有“一”者为有量纲量。与上式对应多轴本构关系是

其中导出应力函数控制方程为：

边界条件取： （这时裂纹表面无外荷载作用）

2.裂尖解结构：如能从上式中解出，则问题得解。但当前解不出该方程。故要抓主要矛盾，给予简化：

（1）设出形式：因为裂纹总是从裂尖向外扩展，所以裂尖附近是我们最关心。在线弹性断裂力学中，当时，裂尖应力，而弹塑性解当时，就应该是线弹性解。所以，比照williams级数，能够构想上式解是一个无穷级数，级数第一项有奇异性。

当只考虑裂尖附近行为时，

r小到一定范围，级数第一项因为有奇性，比起其它项都大得多，其它项值都可忽略不计。所以，当r

相当小时，能够取：其中K为修正幅值系数，它决定了应力场强度。（2）简化方程：分析方程中各项

r

幂次：双调和项中r幂次为（S-4），后面非线性诸项r

幂次为[（S-2）n-2]。而要使应力分量有奇异性，必须S<2，又n>1

故

所以，当时，方程中非线性诸项值增大速度比双调和项快，这时非线性项是方程主要部分，所以能够把式中双调和项略去。从物理意义上说，对任意S<2，总能选择一个充分小裂尖邻域，使此区域中弹性变形能与塑性变形功相比任意地微小，这么就能够把式中代表弹性部分双调和项略去。

所以，方程简化为：将裂尖解形式代入上式，得到关于S

和微分方程为：其中“~”表示对应量角度部分。边界条件有二：

i处。这要求ii本问题关于x轴对称，所以在处 ，.，。这要求

解上述方程是一个微分方程边值问题。普通说对于任意S

，满足边界条件微分方程解不存在。只有当S

取一些定值时，方程才有解。所以上述方程是一个关于

S

特征方程。（3）S取值范围：

i∵从得到应力场应含有奇异性 ∴ S<2

ii用从得到应力应变场算出余能必须有界，则所以

用数值迭代法在S

取值范围内解此边值问题，求出n为整数时

同时算出、、和值（见图），图中曲线是将最大值归为1时相对值。这么，导出裂尖附近塑性解结构是：4.常数K确实定

在裂尖塑性奇异解有效区域内，以裂尖为圆心，作二分之一径为r圆形积分路径，进行J积分，则从而其中

因为J积分路径无关性，J与圆路径半径r无关，所以计算出J表示式中无r。是n函数，能够由数值方法解出，其值为n35913平面应力In3.863.413.032.87平面应变In5.515.014.604.40将上式代入裂尖解，得到裂纹尖端附近应力、应变场平面应变解与平面应力解相同。弹塑性裂纹尖端应力应变场解是在1968年由Hutchinson,Rice和Rosenfild导出，所以称为HRR应力应变场。

当裂尖附近材料符合幂乘硬化律时，裂尖应力场含有阶奇性，裂尖应变场含有阶奇性，裂尖位移场没有奇性。

当时，，，就是线弹性裂尖场。

从HRR场应力解可见，反应裂尖附近不一样点处应力相对大小，与外载无关；而该应力场总体强度是由单参数J唯一决定，J与外载相关。

§8-4J判据

对任何已知，裂纹尖端处应力、应变与J有唯一关系。而正是裂尖处应力、应变决定着裂纹起裂与扩展。于是能够断定，正如线弹性断裂能够用K描述一样，弹塑性断裂这种受裂尖行为控制事件，必能用J描述。所以，在小变形范围内，在很靠近裂纹尖端地方，因为应力及应变场和J之间一一对应关系，J是靠近裂纹尖端处行为唯一有意义量度。这就对弹塑性裂纹尖端处行为，提出了合理单参数表示。从J控制裂纹扩展这一概念出发，能够引出一系列主要推论，比如J控制区概念，裂纹扩展J判据概念等等。

弹塑性裂纹启裂，能够用单参数

J

来描述，对I型裂纹，J

写成。

是一个与外载和裂纹长度

相关参数。当

一定时，随外载增加，

增大。当

到达该材料临界值

时，裂纹开始扩展。临界值

称为延性断裂韧度，它是一个材料常数，能够经过试验测出。这么，弹塑性裂纹启裂条件是：

与K控制一样，J控制也是有条件。为了清楚地讨论，现引进参数R来表示奇异场J主导区域尺寸或半径。R数值随平力、平变情况，载荷，硬化指数，几何等原因而改变。找J控制适用范围，就是找R上下限。1.HRR理论在有限应变区内不能用，R下限

HRR场推导中用了小变形和百分比加载条件，而弹塑性裂尖塑性区内有一小区域（有限应变区）内变形很大，还有卸载发生，不满足上述条件，J在该小区域内失效。所以有限应变区边界是J控制区下限。1977年，McMeeking对小范围屈服I型平面应变问题，分析了大应变（有限应变）裂尖数值解和小应变（百分比应变）裂尖数值解结果，发觉当时，有限应变效应就能够忽略不计。上式中为材料流变应力。所以，对I型平面应变问题，J主导区下界为：

2.HRR理论在J主导区外不能用，R上限在裂尖塑性应变百分比改变区内，用以全量理论为基础HRR裂尖奇异解代替级数全解描述裂尖应力应变场有一定误差，这个误差随计算点距裂尖距离R增加而增大。当该误差增大到工程应用上不能接收程度时，就到达了J主导区上限。

1979年Shih和German将用增量理论数值计算结果作为全解与HRR奇异解进行了对比，发觉对弯曲型试样，两种解吻合区最大尺寸为0.07c，c为试样韧带长度。对拉伸型试样，吻合区最大尺寸为0.01c。

所以，对弯曲型试样，J主导区上界为：

故J

控制区有效范围为由

可得

如c

小于此值，J

控制区上下限重合，实际上就不存在J

控制区。对中心裂纹拉伸板（CCP），韧带尺寸限制为：这个问题很主要，它说明对不一样类型试样，要提出不一样韧带尺寸要求。

§8-5

测定

应用断裂力学，测定材料是一个难点。K有效要求：这一尺寸要求，对于高强度钢，是轻易到达。比如，某.。其三点弯曲试样取即可。但对于低强高韧钢，则极难到达试样尺寸要求。比如，某钢，则

钢则其三点弯曲试样：。这么大尺寸试样制造和试验都十分困难。不过因为这类钢广泛用于大型电站设备，其部件处于平面应变状态，需用进行断裂分析，所以迫切需要处理测定方法。1974年Landes和Beglay提出用小试样（比常规断裂力学试样小一个数量级）测定材料想法。这个创造性构想使J积分理论含有了实际意义，并使低强高韧钢试样小型化有了可能。

为何能够从J测试而得到K呢？Landes-Beglay观点是：用小试样在EPFM（弹塑性）范围内测出与LEFM（线弹性）范围相同，这么就可用EPFM内由.换算出。不过K与J是二个不一样概念：是裂纹扩展时裂尖应力场强度临界值；是裂纹启裂时裂尖应力应变场强度临界值。所以只能说从工程角度看，这种近似是可取。

弹塑性裂尖场推导本与J无关，为何要与J相联络呢？其目标是经过J形变功定义测出

，从而导出裂纹扩展判据。比如，由J形变功定义，能够得出三点弯曲试样式中U：恒位移条件下形变功，W：试样宽度，a：裂纹长度，B：试样厚度。

试验过程中因为试样不停，裂纹何时启裂不易确定，当前多采取多试样法，将所得数据点外推，找到启裂时。多试样法关键点是：

加工一组（>5个）几何形状完全相同（a也一样）试样，分别加载到不一样挠度，使各试样裂纹扩展量各不相同。用氧化法或二次着色法使稳定裂纹扩展区留印，然后压断试样，量出。又由统计仪求出对应，再换算为，从而在图上作得一系列点，由这些点回归求出一条拟合曲线，就得到了J阻力曲线（Curve）。

将此曲线外推到=0处，得到是否就是启裂时J值呢？不是。因为在裂纹真正开始扩展之前，还有一个裂尖钝化（塑性变形）过程。所以从O点开始有一条钝化直线，其方程为，钝化线和J阻力曲线交点才是

。当试验得到值满足J控制条件时

方法用途有：i作为一个判据，评价冶金原因，热处理和焊接影响，选择材料。ii确定一个材料用于某一服役条件是否适当。iii对作保守预计。测定中国家标准准是GB2038-91，美国家标准准是ASTME813-02。方法不适合用于含有极高撕裂抗力高延性、韧性材料，因为这种材料实际撕裂引发裂纹扩展与严重裂纹顶端钝化混在一起而区分不开。

由J积分预计