几何证明与计算 k字型的妙用

第二轮复习第74讲几何证明与计算(“K”字型的妙用)三角形和四边形作为初中几何的核心知识，是近几年重庆中考重点考查的内容，试卷呈现的有关几何题问题的计算、证明与探究，能较好地考察学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力，常考的知识包括：全等三角形、特殊三角形和特殊四边形性质与判定，线段中垂线、角平分线的性质与判定等相关知识，灵活地掌握辅助线的做法是解决这类问题的关键。学习目标：学会识别、构造“K”字型，积累作辅助线的数学经验经历识别、构造基本图形的过程，提高综合分析问题的能力学习重点：会用“K”字型的性质解决问题学习难点：“K”字型的构造学习过程：一、温故知新观察下列基本图形，你能得出什么结论？如图，已知：点B、C、D在同一直线上，AC丄EC,AB丄BD,ED丄DB.

追问1：这个图形有什么特征？追问2：若AC二CE，若ACHCE，你有什么新的发现?如图，已知：ZABC二ZACE二ZD，问：ZA、ZECD有何关系？“K”字型呈现形式：二、自主练习：BCD如图，等边△ABC的边长为9,BD=3，ZADE=60度，则AE长为.如图，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，BF的垂直平分线交对角线AC于点E,连接BE，FE，则ZEBF的度数是().A.45°B.50°C.60°D.不确定三、经典例题：例：如图，在AABC中，ZABC=90。，过点C作AC的垂线CE，且CE二CA,连接AE、BE.⑴若tanZBAC百,AE=2，求四边形ABCE的面积;(2)若EA=EB，求证AB二2BC.四、赢在中考:

小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线a、b上（如图），已知Z2=35°，则Z1的度数为（）.A.55°B.35°C.45°D.125°如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A的坐标为（0,2）,B点在x轴上，对角线AC,BD交于点M,OM=3迈，则点C的坐标为.正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，过点E作EF丄CE交AB于点F.若BF=2,BC=6，求FE的长.五、感悟数学：六、课后作业：23如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y二-的图象上，第二象限内的点x3B在反比例函数B在反比例函数y二-的图象上，且0A丄OB，tanB二xZABC二90。ZABC二90。，点B在x轴AB=3BC,双曲线y=—m经过C点，则mx女口图，在RtAABC中，上,且BC-1,0），A点的横坐标是2,y=^m（m>0）经过A点，双曲线x的值为（A.12B.9C.6D.3A.12B.9C.6D.3如图，矩形ABCD的顶点A、D在反比例函数y=6(x>0)的图象上，顶点C、B分x别在x轴、y轴的正半轴上，且竺=2，再在其右侧作正方形DEFG、FPQR(如图所BC示)，顶点F、R在反比例函数y=6(x>0)的图象上，顶点E、Q在X轴的正半轴上，x则点R的坐标为.已知：在yABCD中，AE丄CD,垂足为E,点M为AE上一点，且ME二AB,AM=CE，连接CM并延长交AD于点F.若点E是CD的中点，求证：AABC是等腰三角形.求证:ZAFM=3ZBCF.德中命制人：邓宏书审稿人：刘加勇“K”字型的妙用参考答案二、自主练习：1．72.【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】过E作HI〃BC，分别交AB、CD于点H、I,证明RtABHE9R弋\EIF，可得ZIEF+ZHEB=90。，再根据BE=EF即可解题.【解答】解:如图所示，过E作HI〃BC,分别交AB、CD于点H、I,则ZBHE二ZEIF=90°,•・・E是BF的垂直平分线EM上的点,・・・EF二EB,•・・E是ZBCD角平分线上一点，・・・E到BC和CD的距离相等，即BH=EI,RtABHE和RtAEIF中，药二临,}BH=EI・・・RtABHE9R也EIF(HL),AZHBE=ZIEF,VZHBE+ZHEB=90°,AZIEF+ZHEB=90°,・・・ZBEF=90°,・BE=EF，AZEBF=ZEFB=45°.故选：A.【点评】本题考查了正方形角平分线和对角线重合的性质,考查了直角三角形全等的判定,全等三角形对应角相等的性质.三、经典例题：【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形．【分析(1)易求得AC的长，即可求得BC,AC的长，根据四边形ABCE的面积二S+S△ABC△ACE即可解题；(2)作ED丄AB,EF丄BC延长线于F点，易证ZBAC=ZECF,即可证明厶ABC^^CFE,可得EF=BC，再根据等腰三角形底边三线合一即可求得AD=BD，即可解题.【解答】解：(DTAC±CE，CE=CA，・・・AC二CE=^AE二迈，•・・tanZBAC二亨，・・・ZBAC=30°,・・・BC=2aC=21,22・・・AB=T1；BC=¥，・•・四边形ABCE的面积二S+S=2aB?BC+3aC?CE△ABC△ACE22=2x•迈X•迈二仝+1；22224(2)作ED丄AB,EF丄BC延长线于F点，则四边形BDEF为矩形，・・・EF二BD,・ZACB+ZECF=90°，ZACB+ZBAC=90°，AZBAC=ZECF,VABC=ZF=90°•・•在△ABC和厶CFE中，ZBAC=ZBCP，、AC=CE•••△ABC^ACFE,(AAS)・・・EF二BC,•△ABE中，AE=BE,ED丄AB,•AD=BD，•AB=AD+BD=2BD=2EF=2BC,即AB=2BC．【点评】本题考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形的性质,本题中求证△ABC^^CFE是解题的关键.四、赢在中考：【考点】平行线的性质；余角和补角．【分析】根据ZACB=90°,Z2=35。求出Z3的度数，根据平行线的性质得出Z1=Z3,代入即可得出答案．

E3\C【解E3\C【解答】解•・・ZACB=90°,Z2=35°,・・・Z3=180°-90°-35°=55°,・a〃b.AZ1=Z3=55°.故选A．【点评】本题考查了平行线的性质和邻补角的定义，解此题的关键是求出Z3的度数和得出Z1=Z3，题目比较典型，难度适中.【考点】正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】过点C作CE丄x轴于点E,过点M作MF丄x轴于点F,MP丄y轴，根据正方形的性质可以得出MB二MA，可证明厶AMP9ABMF,就可以得出PM=MF,就可以证明四边形0FMP是正方形，由勾股定理就可以求出OF的值，再由△AOBP9ABECF，从而得出C点的纵坐标．【解答】解：过点C作CE丄x轴于点E,过点M作MF丄x轴于点F,连结EM,AZMFO=ZCEO=ZAOB==ZAPM=90°,・•・四边形POFM是矩形，・・・ZPMF=90°,•・•四边形ABCD是正方形,ZABC=ZAMB=90°,AM=BM,ZOAB=ZEBC,ZAMP=ZBMF,•••△AMP^BMF(AAS),•PM=FM,PA=BF,・•・四边形POFM是正方形,・•・OP=OF=归=3・A(0，2)，•OA=2，•AP=BF=3-2=1，•OB=3+1=4，・•在△AOB和厶BEC中,rZCEO=ZAOB〈zoaf=zebc，lab=bc•••△A0B9ABEC（AAS）,・・・0B二CE=4,AO=BE=2.•OE=4+2=6，•C（6，4）．故答案为：（6，4）．【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行线等分线段定理的运用，坐标与图形的性质的运用，解答时求证四边形POFM是正方形是关键．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】连接CF,由正方形的性质得出ZB=90°,再由EF丄CE,证得△MEF^ANCE,得出△CEF为等腰直角三角形，求得EF==CF,再由勾股定理求得CF即可.V22【解答】解：连接CF,过点E作MN〃AD，交边AB于点M,边CD于点N.如图所示：•・•四边形ABCD为正方形，可得四边形AMND为矩形，•MN=AD=CD・.・ZDNE=90°,ZBDC=45°,・・・DN二EN・・・ME二CN・.・EF丄CE,・・・ZCEF=90°,.\ZMEF=ZECN且ZFME=ZENC=90°•••△MEFQANCE(ASA),・EF=CE•△CEF为等腰直角三角形,由勾股疋理得：由勾股疋理得：CF=寸bc?+EF?=』£?+210,・・・EF二x2iT5=2左，故答案为：2电.故答案为：2电.点评】本题考查了正方形性质、三角形全等的性质与判定、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．六、课后作业：【考点】相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】根据相似三角形的判定与性质，可得，，根据tanB==，可得OBOCBCOB3OCBC3OCBC3【解答】解：作AD丄x轴于点D,作BC丄x轴于点C,设A点坐标是（x,y）AZC=ZD=90°.VZAOB=90°,AZBOC+ZAOD=90°,ZAOD+ZOAD=90°,AZBOC=ZOAD,又VZD=ZC,.•.△oads^boc.OA_AD_pDOB^OC^BC**.*tanB二=LOB3.・.型盘其，•・OC_BC_3'y=AD=OC,x=0D二BC,TOC\o"1-5"\h\z33•・•第一象限内的点A在反比例函数y二卫的图象上，x・・・xy二OCX.BC=2,33Ak=OC?BC=2X3=-6,故答案为：-6.【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质,利用了相似三角形的判定与性质,锐角三角函数,待定系数法求函数解析式．【考点】反比例函数系数k的几何意义.【分析】过点A作AE丄x轴于E,过点C作CF丄x轴于F,由A点的横坐标是2,且在双曲线y二也上，求出点的坐标，得到线段的长度，利用三角形相似得到点的坐x标,列方程求解．【解答】解：过点A作AE丄x轴于E,过点C作CF丄x轴于F,•A点的横坐标是2,且在双曲线y二4m上,x・・・A(2,2m),VZABC=90°,•••ZABC+ZCBF二ZABC+ZBAC=90°,AZABC=ZFCB,.•.△abes^bcf.・・・耍里==3,BEAEBC•CF=1,BF=2m,3•••C（-1-善,1）,•・•双曲线y二m经过C点,x•.-1-2m•.-1-=-m,3•m=3,故选D．点评】本题考查了根据函数的解析式求点的坐标,相似三角形的判定和性质,过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线,构造直角三角形．【考点】反比例函数综合题．【专题】综合题．【分析】过D作DM丄x轴，FN丄x轴，RidFN,RH丄x轴，由ABCD为矩形，利用对称性得三角形0BC为等腰直角三角形，继而得到三角形CDM为等腰直角三角形，即两三角形相似，且相似比为1：2,设OB=OC二a，则有CM=DM=2a，表示出D坐标，代入反比例解析式求出a的值，确定出D坐标，得出DM与0M长，利用AAS得到三角形DME与三角形EFN全等，利用全等三角形对应边相等得到ME二FN,DM=EN，设F纵坐标为b,代入反比例解析式得到横坐标为邑由OM+ME+EN表示出ON,即为横坐标,b列出关于b的方程，求出方程的解得到b的值，确定出F坐标，得到ON,FN的长，同理得到三角形RFI与三角形RQH全等，设R纵坐标为c,由ON+NH表示出横坐标,将R坐标代入反比例解析式求出c的值，即可确定出R坐标.【解答】解：过D作DM丄x轴，FN丄x轴，RI丄FN,RH丄x轴，•••ABCD为矩形，A与D在反比例图象上，且AB=2BC,AZBCD=90°,ZOBC=ZOCB=45°,AZMCD=ZMDC=45°,•••△BOCsACMD,且相似比为1：2,设OC=OB二a,则CM二DM=2a,OM=OC+CM=a+2a=3a,•D（3a，2a），将D坐标代入反比例y二卫中得:6a2=6，即a2=1,解得：a=1（负值舍去）,•DM=2，OM=3，•DEFG为正方形，・・・DE二EF,ZDEF=90°,・・・ZMDE+ZMED=90°,ZMED+ZNEF=90°,AZMDE=ZNEF,在厶DME和厶ENF中，Vmde=Znef〈ZDME=ZENF=90°，、DE=EF•••△DME9AENF(AAS),・・・DM二EN=2,FN=ME,设F色b),则FN二ME二b,ON=OM+ME+EN=3+b+2,b可得5+b=§，即b卄5b-6=0,即(b+6)(b-1)=0,b解得：b=1或