数学史部分4-3-古希腊数学3市公开课一等奖省名师优质课赛课一等奖课件

1、希罗（Heron）与几何学：

Heron：约公元62年前后活跃于亚历山大，数学家、物理学家.他工作奠定了工程学和土地测量学科学基础.（七）后希腊时期数学：

•希腊最主要几何学著作是《度量学》（Metrica），分三卷，是R.舍内（Schone）于1896年才在君士坦丁堡发觉.•第一卷：讲述各种图形面积度量.•求非完全平方整数平方根近似值希罗方法n=ab，则第一近似值由给出.此方法允许逐步近似.第一近似值，第二近似值第三近似值•第二卷：讲述各种立体图形体积测量，包含：锥体，柱体，平行六面体，棱锥，圆锥和棱锥平截头体；球体球截形，锚环，五种正立方体和一些旁面三角台.•第三卷：讲述把一定面积和体积依给定百分比分成两部分问题.另一本代表作：《测量仪器》其中描述一个仪器，功效类似当代经纬仪.（1）挖一个隧道，从山两侧开始，找准方向，使隧道准确会合.（2）确定两点之间高度差.（3）测量可望而不可及两点间距离.（4）测量沟渠深.（5）两城市间距离.（6）本书最终叙述怎样利用齿轮结构，用一个给定力去移动给定重物.Heron创造机械：（1）“汽转球”,也叫做“风神之球”或“风神之门”——第一个蒸汽机（2）“自动售贷机”（3）灭火器（4）水风琴（5）水钟等等2、三角学与托勒密：

Ptolemy,100～170

系统三角学著作:《天文学大成》（Almagest）成书于约150年（1）Ptolemy

将圆周分成360度，角度量采取60进制.（2）弦表：0度到90度每隔15分角正弦.（3）（4）Ptolemy

定理：“在圆内接四边形中，两对角线之积等于两对边乘积和.”（5）用直尺和圆规做出圆内接正五、十五边形.（6）圆周率近似值（7）球面三角定理，用以处理特定天文学问题.第二篇，研究与地球球面相关知识．第三、四、五篇，利用本轮解释天文学地心学说．在第四篇中，提出了测量学三点问题解：确定这么点，使这一点与给定三个点中每两点连线所成之角分别为给定角．在第六篇中，提出了日、月蚀理论．在第七、八篇中，含有1028个恒星目录．其余几篇研究行星．《天文学大成》一书，在哥白尼(N.Copernicus,1473—1543)之名著《关于天体运转》(DerevolutionibusorbiumCaelestium)成书前，一直是标准天文学著作．•Ptolemy曾怀疑过欧几里德平行公设，试图利用《几何原本》中其它公理和公设推出第五公设，使之去掉欧几里德一系列原始假定，但未能成功．•几乎在同一时期，希腊学者门纳劳斯(MenelausofAle－xandria，深入研究了球面三角，并著《球面论》(Sphaeri－ca)，着重讨论球面三角形几何性质．在Ptolemy逝世之后，希腊黄金时代已经过去，希腊数学开始走下坡路．正是在此时，有一些才华出众学者，又为希腊数学增添了新光彩，其中最著名人物乃是亚历山大里亚帕普斯(Pappus，300？-350？)和丢番图(Diophantus)，他们工作推进了希腊后期数学．邮票上托勒密3、代数学与丢番图Diophantus，246～330，代数方程理论（1）丢番图墓志铭：“丢番图一生1/6为童年，1/12为青年，1/7为单身汉，结婚五年之后，生了个儿子，儿子在他最终年纪二分之一时，比他父亲早四年死去。途经朋友，请你猜一猜，丢番图活了多少年？”（2）主要著作：《算术》（Arithmetica）：不定方程求解《论多边形数》《衍论》Diophantus•《算术》（Arithmetica）：《算术》是代数数论解析处理，尤其以不定方程求解而著称，表明作者在这个领域中是一个天才.这部著作尚存部分是大约130个各种各样，导出一次和二次方程问题解法.其中还解出了一个很特殊三次方程.其解法巧妙，远远超出了同时代人水平.《算术》主要内容：•第一卷讲述一元确实定方程.Diophantus解一次方程方法与当代基本相同，不过没有概括出普通解法和步骤.•余下几卷讲述二元和三元，二次或高次不定方程.值得注意是：①书中缺乏普通方法，主要是依靠其高超技巧.②Diophantus只认可正有理数；③满足于对一个问题只求出一个解.•深刻定理：“两个有理数立方差也是两个有理数立方和”——Veita,Fermat•把一个数表示成两个，三个或四个数平方和——

Fermat,Euler,Lagrange①求两个平方数，使得它们乘积加到任一个上给出一个平方数.②求三个数，使得它们和和为平方数，且任何两个数和为平方数.③求成算术级数三个数，使得其中任何两个数和为平方数.④求三个数，使得其中任何两个数乘积加上第三个数为平方数.⑤求三个数，使得其中任何两个数乘积加上这两个数和为平方数.⑥求两个数，使得其和等于其立方和.⑦求成几何级数三个数，使得任何两个数差为平方数.⑧求一组毕氏三数，使其斜边减去每一直角边均为立方数.⑨求一组毕氏三数，使其一个锐角平分线长度是有理数.（3）字母运算方式开端－－“简写代数”•Diophantus是采取代数符号第一个人.他所采取步骤含有速记缩写性质.他给出了未知数，据考证这个符号是s.他还用专门符号来表示未知数幂二次幂是，三次幂是，四次幂是，五次幂是等等，还有减号↑，相等和倒数等缩写.4、帕波斯与《数学汇编》(MathematicalCollection)Pappus，约300－350年，是古希腊后期亚历山大里亚学派最终一位数学家.（1）著名评注家：（2）《数学汇编》(MathematicalCollection)及其主要内容：《数学汇编》共8篇，现存后6篇，以及第一篇与第二篇一部分内容.这是一部总结前人结果经典著作，在数学史上有特殊意义.

Pappus,CollectionPAPPUS,ofAlexandria.MathematicaeCollectiones.有许多古希腊数学宝贵资料是因为《数学汇编》记载而得以保留.比如:(1)割圆曲线化圆为方；(2)尼科米迪斯(Nicomedes)蚌线与倍立方体问题解(3)阿基米德(Archimedes)半正多面体；(4)阿波罗尼奥斯(Apollonius)《圆锥曲线》(Conics)中未提及圆锥曲线焦点、准线性质等等.《数学汇编》内容介绍①几何作图问题：②等周曲边形问题：（第五篇）Ⅰ、周长相等全部弓形中，以半圆面积最大.Ⅱ、球体积比相同表面积任何圆锥体、圆柱体或正多面体体积都大.③研究了蜂巢问题：证实了六棱柱巢是最经济巢形，即在其它条件相同情况下，它容积最大.这个问题到18世纪又得到深入研究.④射影几何：（第七篇）Pappus在《数学汇编》第七篇中，给出了一些概念和定理，为17世纪射影几何研究提供了线索.Ⅰ、过一点四条直线在任一截线上所截取线段交比不变；Ⅱ、若一个完全四边形4条边以及2条对角线与某直线相交中有5个固定，则第6个也固定；Ⅲ、四边形中一条对角线被另一条对角线以及两组对边交点连线，分割成调和比线段；Ⅳ、Pappus定理：若A,B,C与D,E,F分别是两条直线上三个点，则AE,BF,CD分别与DB,EC,FA三个交点共线.⑤旋转体体积：（第七篇）旋转体体积Pappus定理：一个平面图形绕同一平面上轴线旋转而成旋转体体积＝平面图形面积其重心所转过圆周长.此定理到17世纪被古尔丁（P.Guldin）重新发觉，又被称为古尔丁定理.⑥Pappus问题：•Apollonius曾断言：“能够求出这么一个动点轨迹,它与两定直线距离乘积＝它与另外两定直线距离乘积×一个常数”.•Pappus指出这个轨迹就是一个圆锥曲线，但他没有给出证实.他还深入指出，这一问题能够推广到包含5条、6条或更多条直线情形，这成为著名Pappus问题.•17世纪，笛卡尔（Descartes）曾试图用分析方法来处理这个问题，这也是造成笛卡尔（Descartes）创建解析几何学（Analyticgeometry）一个主要原因.•《数学汇编》（MathematicalCollection）被认为是古希腊数学安魂曲.Pappus之后，古希腊数学开始衰落.

（八）古希腊几何三大难题：工具：欧几里德工具1、倍立方体Doublingtnecube－圆锥曲线传说在公元前4世纪，古希腊雅典流行一个病疫，为了消除灾难，雅典人向日神求援。日神说：“假如要使病疫不流行，除非把我殿前立方体香案体积扩大一倍。”这个条件使雅典人很高兴，他们认为这是轻易做到，于是把旧香案各棱放大一倍，做了一个新立方体香案。然而疫势反而愈加猖獗。当雅典人再去祈祷日神时，他们才知道新香案体积并不是旧香案两倍。这就难住了当初人们，连最有名学者柏拉图也感到无能为力。倍立方体问题之所以不能处理，是因为作图时只能使用圆规和无刻度直尺。这是古希腊人对作图要求。假设已知立方体棱长是1个单位，那么这个立方体体积便是13次方等于1。依据需求，要求作立方体体积是原立方体两倍，即1×2=2，所以求作立方体棱长为2立方根这一个无理数，经过有限次画线、作圆、求交点是无法作出长为23次根线段，所以倍立方体问题是不可能用直尺和圆规来处理。2、三等分角Trisectinganangel

1837年凡齐尔（1814－1848）利用代数方法证实了，这是一个标尺作图不可能问题。

在研究“三等分角”过程中发觉了如蚌线、心脏线、圆锥曲线等特殊曲线。人们还发觉，只要放弃“尺规作图”戒律，三等分角并不是一个极难问题。古希腊数学家阿基米德发觉只要在直尺上固定一点，问题就可处理了。现介绍其法以下：在直尺边缘上添加一点Ｐ，命尺端为Ｏ。设所要三等分角是∠ＡＣＢ，以Ｃ为圆心，ＯＰ为半径作半圆交角边于Ａ，Ｂ；使Ｏ点在ＣＡ延线上移动，Ｐ点在圆周上移动，当尺经过Ｂ时，联ＯＰＢ（见图）。因为ＯＰ＝ＰＣ＝ＣＢ，所以∠ＣＯＢ＝∠ＡＣＢ／３。这里使用工具已不限于标尺，而且作图方法也与公设不合。3、化圆为方Squaringthecircle——穷竭法求一正方形，其面积和一已知圆面积相同在1882年证实π为超越数，所以也证实该问题仅用尺规是无法完成。因为可用尺规作图画出数称为规矩数，是代数数一个。而π或都不是规矩数。但若