川师 概率论第一章习题解答

习题一详细解答1、某工人加工了三个零件，设事件A为“加工的第i个零件是合格品”(i二1,2,3)，试用iAAA表示下列事件：(1)只有第一个零件是合格品；(2)只有一个零件是合格品；(3)至1,2,3少有一个零件是合格品；(4)最多有一个零件是合格品。解：(1)AAA(2)AAAoAAAoAAA123123123123(3)AoAoA(4)AAoAAoAA1231223132、一名射手连续向某个目标射击三次，设A表示“该射手第i次射击时击中目标”(i二1,2,3)i试用文字叙述下列事件：AA;AoAoA；A-A；AoA；AA；AAoAAoAA12123321223121332解：AA=AoA表示前两次均未击中目标；1212AoAoA表示三次射击中至少有一次击中目标；123A-A表示第三次击中但第二次未击中；32AA表示后两次中至少有一次未击中目标；23AAoAAoAA表示三次射击中至少有两次击中目标。1213323、设A和B是同一试验E的两个随机事件，求证：-P(A)-P(B)<P(AB)<P(AoB)证明：QABuAuAoBP(AB)<P(AoB)由概率的性质和事件的运算律，可得：P(A)+P(B)>P(AoB)二P(AB)二1-P(AB).1-P(A)-P(B)<P(AB)4、已知P(A)=4,P(B)=1,-1当A,B互斥时，P(AB)=P(B)=3；-111当AuB时，求P(AB)=P(B-A)=P(B)-P(A)=三一二=-；3412_115当P(AB)=s时，求P(AB)=P(B-A)=P(B)-P(AB).83824

5、已知P(AuB)=0.7,P(A)=0.5,P(B)=0.4，求P(AB),P(A-B),P(AUB).解由P(AuB)=P(A)+P(B)-P(AB)，得P(AB)=P(A)+P(B)-P(AuB)=0.5+0.4-0.7=0.2P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.5-0.2=0.3P(AUB)二P(AB)二1-P(AB)二1-0.2二0.8.6、设有事件A、B、C,已知P(A)=P(B)=P(C)=1，P(AB)=P(BC)=0，P(AC)=8,求A、B、C中至少有一个发生的概率.解由ABCuAB，得0<P(ABC)uP(AB)=0，因此，P(ABC)=0.P(AuBuC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC)11115444887、袋中有均匀的5个红球和3个黄球，从中任取两个球，求摸出的两个球都是红球的概率。C25解：设A=“摸出的两个球都是红球”，则P(A)=£=1488、将一枚均匀的色子抛掷两次，求两次出现的点数之和等于8的概率解：设A=“两次出现的点数之和等于8”，P(A)=3369、将n个人等可能地分配到N(n<N)间房的每一间中去，试求下列事件的概率:某指定的n间房中各有一人;恰有n间房各有一人解：因为把每一个人分配到N间房去都有N种分法，所以样本空间中含有Nn个基本事件。设A=“某指定的n间房中各有一人”，则有n!种分法。n!所以P(A)；Nn设B=“恰有n间房各有一人”，则需要先从N间房中选出n间房，再把它们分配给n个人，所以有Cnxn!种分法。N…厂、C…厂、Cnxn!所以P(B)=N—Nn10、一副扑克牌52张(没有大小王)，从中任意抽取13张，求至少有1张“J”的概率?解:设A=“任意抽取的13张中至少有1张是J”样本空间中样本总数为C52。直接计算很

麻烦，所以由对立事件来计算，则A=“任意抽取的13张中没有I张是J”.而A中的样本点数是c13。故P(A)=1-P(A)=1—48沁0.69648C135211、在一个池中有3条鱼甲、乙、丙，这三条鱼竞争捕食。设甲或乙竞争到食物的机会是，甲或丙竞争到食物的机会是，且一次竞争的食物只能被一条鱼享用。求哪条鱼是最优的捕食者？解：设A、B、C分别表示鱼甲、乙、丙竞争到食物的事件。由题意得：13P(AB)=P(BC)=P(AC)=0,P(AuB)亠,P(AuC)=TOC\o"1-5"\h\z413因此，P(AuB)=P(A)+P(B)=,P(AuC)=P(A)+P(C)=4又由题意知，P(AuBuC)=P(A)+P(B)+P(C)=1由上面三个式子解得：P(A)=1,P(B)=1,P(C)=442所以丙鱼是最优的捕食者。12、将C,C,E,L,I,N,S等7个字母随机排成一排，求恰好排成英文单词SCIENCE的概率?解：设A二“排成英文单词SCIENCE”。由于两个E可以交换，两个C可以交换，所以事件A的概率为:1126013、设有任意两数x和y满足0<x<1,0<y<1，求xy<|的概率。解：试验的样本空间为区域H={(x,y)0<x<1,0<y<1)，0为一个正方形，面积为1,设所求事件为A所求事件为A，则A=<(x,y)xy<1,0<x<1,0<y<1,11111A的面积为吹丁+『1dx=+—In313x333所以P(A)血=字=1+扣14、设某地区在历史上从某次特大洪水发生后30年内发生特大洪水的概率为80%，在40年内发生特大洪水的概率为85%。现该地区已30年无特大洪水，问未来10年内该地区发生特大洪水的概率是多少?

解：设A=“该地区从某次特大洪水发生后30年内无特大洪水”设B=“该地区从某次特大洪水发生后40年内无特大洪水”，则所求概率为P(BIA).又AB=B，由条件概率的计算公式和性质，得：P(B|A)=1-P(BlA)=1-P(AB)=1-=1-0.75=0.25P(A)P(A)11—15、设A、B、C是随机事件，A、C互不相容，P(AB)=■—,P(C)=3，求P(ABC)厶J解：由A、C互不相容，则AC=0,P(AC)=0.又ABCuAC，得P(ABC)=0由条件概率的定义得:P(P(ABC)=语=醴册=孑31-P(C)16、一批灯泡共100只，次品率为10%。不放回地抽取3次，每次一只，求第三次才取到合格品的概率。解：记A=｛第i次取得合格品｝(i=1,2,3)所求概率为P(AAA)i123990990，P(AA)=99,P(®A-A1)=98QP(A)=——1100—・•・P(AAA)=P(A)P(AA)P(A|AA)123121r2110990=XX1009998沁0.008317、两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任意取出的零件是合格品的概率？解：设事件A表示“取出的零件是第i台车床加工的零件”(i=1,2)，事件B表示“取出的i零件是合格品”，则P(A1)=I，P(A2)=|,P(B|A1)=0.97,P(B也)=0.98.由全概率公式，得:P(B)=P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA)=2x0.97+1x0.98=0.97311223318、根据美国的一份资料报道，在美国患肺癌的概率为0.1%。在普通人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，求不吸烟者患肺癌的概率为多少？解：以C记“患肺癌”以A记“吸烟”

由已知得P(A)=0.20,P(C丨A)=0.004,P(C)=0.001,故所求概率为P由全概率公式，有P(C)=P(CIA)P(A)+P(CIA)P(4)・•・0.001=0.004X0.20+P(CIA)x(1-0.20)0.0025・•0.0025・•・P19、一个工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种螺钉，每个车间生产量分别占总产量的25%、35%、40%，每个车间中二等品分别占50%、40%、20%。今全厂的该种产品中随机抽取一个发现是二等品，它恰是由甲、乙、丙车间生产的概率分别是多少？解：记A=抽到产品是甲车间生产的，A=抽到产品是乙车间生产的，A=抽到产品是丙车123间生产的，以C记“抽到螺钉为二等品”。由题意知：4010040100P(Ai)=100,P(A2)=而PP(Ai)=P(C|AP(C|A1)=卷,MT=篇P(Cl®=20由贝叶斯公式，得随机抽取一个螺钉发现是二等品，它恰是由甲、乙、丙车间生产的概率分别为：25P(A|C)_、、P\A1)P£1A.)—、一尸旨1C八P(A)P(CIA)+P(A1)P(CIA1)+P(A)P(CIA)-69'25TOC\o"1-5"\h\z112233P(aIC)-!P(CA2!_28；P(A)P(C丨A)+P(A)P(C丨A)+P(A)P(C丨A)69；112233P(AIC)-…、PX?P(CIA3!…、-16P(A)P(CIA)+P(A)P(CIA)+P(A)P(CIA)6911223320、设有4张同样的卡片，1张涂上红色，1张涂上黄色，1张涂上绿色，1张涂上红、黄、绿三种颜色。现在从这4张卡片中任取一张，用A、B、C分别表示事件“取出的卡片上涂有红色”，“取出的卡片上涂有黄色”，“取出的卡片上涂有绿色”试判断三个事件A、B、C相互独立吗？解：由已知得：P(A)-P(B)-P(C)=：,P(AB)-P(BC)-P(AC)-P(ABC)-124所以有P(AB)-P(A)P(B),P(BC)-P(B)P(C),P(AC)-P(A)P(C)故三个事件A、B、C是两两独立的。但是P(ABC)丰P(A)P(B)P(C)，所以三个事件A、B、C不是相互独立的。2221、假定每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为0.004，混合100个人的血清，求此混合血清含肝炎病毒的概率。解：记A=第i个人的血清中含病毒，i二12A100。i由经验可以判定A间是相互独立的，题目需求P书0A，因｛A｝间显然不是两两相斥

iiiIi=1丿的，用加法公式计算就很麻烦，我们可以用对偶原理，将事件的并的运算转化为事件的交的运算，从而改用乘法公式。即=1-P(A1h^ooL—d—0.004)1053。22、设在独立重复试验中每次试验成功的概率是0.5，问需要进行多少次试验，才能使至少成功一次的概率不小于0.9？解：设需要进行n次独立重复试验，则在n次试验至少成功一次的概率为1-P(0)=1-(1-0.5)nn由题意得不等式：1-(1-0.5)n>0.9解得：n>3.3所以n=48023、一射手对同一目标进行四次射击，若至少命中一次的概率为药■，求该射手的命中率?81解：设该射手的命中率为p，由贝努里概型的计算公式，得:C0p0(1-C0p0(1-p)4=41—,p=81324、设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率?解：设A=“已知两件中有一件是不合格的”B=“另一件是不合格的”C22-C1C18而P(AB)=—=P(AB)=-6-4=-C215-2151010所以故P(A)=P(AB+AB)=P(AB