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文档简介

在发明中学习

线性代数概念引入之三:行列式

李尚志

中国科学技术大学

一.二元一次方程组的几何意义行列式的定义

方程组可写成向量形式即1.有唯一解的条件不共线即2.消元:方程(1.1)两边与(1.1)作内积消去y,得其中称为二阶行列式,记作是平行四边形OAPB的有向面积,是两个向量或的函数,计算公式:或图23.代数算法利用几何图形表达出来,就是:以上算法用到二阶行列式的如下基本性质(1)det(a,b)可以看成向量a,b的乘积来展开:det(ka+k1a1,b)=kdet(a,b)+k1det(a1,b)det(a,kb+k1b1)=kdet(a,b)+k1det(a,b1)如图,就是可写成其中二.三阶行列式与体积1.三元一次方程组的几何意义从原点O出发作有向线段OA，OB，OC使则就是以OA,OB,OC为棱的平行六面体的有向体积。称为三阶行列式，记作2.三阶行列式—平行六面体体积3.三阶行列式的基本性质(3)det(e1,e2,e3)=1,e1,e2,e3分别是三条坐标轴上的单位向量.)可以看作的乘积来展开.(1)det((2)如果三个向量中有两个相等,则det()=0.挤成“照片”

将三个向量中的任意两个互换位置,则det()变为原来值的相反数。4.利用基本性质计算三阶行列式(2.1)这样的项可以从(2.1)中去掉。只剩下i,j,k两两不相等的项。(2.1)变成当i,j,k中有两个相等时，代入(2.2),得又类似地有(2.2)我们有类似地有三.n

阶行列式的引入其中n

阶行列式利用基本性质计算n阶行列式(3.1)当i1,i2,…,in中有两个相等时，这样的项可以从(3.1)中去掉。只剩下i1,i2,…,in

两两不相等的项,(3.1)中的变成对1,2,…,n的全体排列(i1,i2,…,in)求和,成为:将排列中任意两个数相互交换位置,称为这个排列的一个对换。相应地，行列式中的互换了位置，其值变为原来值的相反数。进行若干次对换(设为s次)可以将排列变成标准排列(12…n),相应地将变成(3.2)

以下只须对每个排列求四.n

阶行列式的定义1.排列的奇偶性

由1,2,…,n按任意顺序重新排列而成的有序数组称为一个n元排列。将1,2,…,n按从小到大的顺序得到的排列(12…n)称为自然排列。在任意一个排列中,可能出现顺序“颠倒”的情况：p<q然而jp>jq,也就是较大的数jp反而排在较小的数jq

的前面。每出现一对这样的(jp,jq)

称为这个排列的一个逆序。排列中的逆序的个数称为这个排列的逆序数，记作。

逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。例.排列(3142)中的逆序共有(3,1),(3,2),(4,2)等3个,因此t(3142)=3,(3142)是奇排列。自然排列(12…n)的逆序数为0,因此自然排列是偶排列。

将n个数aij(i,j=1,2,…,n)排成n行n列的形式,按如下方式计算：2.n

阶行列式的定义得到一个数，称为

n阶行列式。上面的式子中的求和号表示对所有的排列求和。五.

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