推理与证明(教案)

年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号：第节课题第三章§1.1归纳推理第1课时教学目标1、掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。2、通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。3、感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。重点归纳推理及方法的总结中心发言人王晓君难点归纳推理的含义及其具体应用教具课型新授课课时安排L课时教法讲练结合学法归纳总结个人主页教学过程教一、原理初探①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球!”②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。④思考：整个过程对你有什么启发？⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。观察.猜想f证明-归纳推理的发展过程二、新课学习1、哥德巴赫猜想哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6=3+3，12=5+7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫（Goldbach）写信给当时的大数学家欧拉（Euler），提出了以下的猜想：（a）任何一个三6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。（b）任何一个三9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。这就是着名的哥德巴赫猜想200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法;工口目4B4Bill-Z人。士；入二人Llz-p%/申］、|主^/CC、二立学过证明，得得出了个结论：母~'个比大的偶数都可以表示为（99）。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。2、数学建构•把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理（简称归纳）.注:归纳推理的特点;简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。3、师生活动例1前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。例2：前提：三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，……结论：凸n边形的内角和是（n—2）X1800o22+122+222+3例3：飞＜＜"，不＜—，■探究：述结论都成立吗？JJ1-LJJ1乙JJ1J由此我们猜想：-<——（。,b,加均为正实数）。强调：归纳推理的结果不一定成立！“一切皆有可能！”三、课堂练习程已知数列｛"｝的第一项〃=1,且〃=-—(n=1,2,……),试归纳出n1n+11+a1这个n数列的通项公式。四、课堂小结（1）归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。（2）归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同的性质―从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）一证明五、作业：教后反思审核人签字：.二翘总年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号：第节年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号：第节课题第三章§1.1类比推理第1课时教学目标1、通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去。2、类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。3、正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。重点了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理中心发言人王晓君难点用类比进行推理，做出猜想教具课型新授课课时安排1课时教法讲练结合学法归纳总结个人主页教学过程一.问题情境从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班(后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师)一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割1破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的。这个推理过程是归纳推理吗？二.新课学习我们再看几个类似的推理实例。例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质：猜想不等式的性质：a=bna+c=b+c;(1)a>bna+c>b+c;a=bnac=bc;(2)a>bnac>bc;a=bna2=b2;等等。(3)a>bna2>b2;等等。问：这样猜想出的结论是否一定正确？例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆球圆球圆球圆球弦一一截面圆直径一一大圆周长一一表面积面积一一体积•圆的性质球的性质圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不是大圆1的圆点的连线垂直于截面圆与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长与球心距离相等的两截面圆相等;与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大J圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点球的切面垂直于过切点的半径;经过球心且垂直于切面的直线必经过切点JJ经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心经过切点且垂直于切面的直线必经过球心J☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）.简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理的一般步骤：⑴找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；⑵用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想;⑶检验猜想。即观察、比较联想、类推猜想新结论例3.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.直角三角形3个面两两垂直的四面体/C=90°3个边的长度a,b,c2条直角边a,b和1条斜边cZPDF=ZPDE=ZEDF=90°4个面的面积S1,S2,S3和S3个直角面S1,S2,S3和1个斜三、课堂小结.类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。.类比推理的一般步骤：四、作业布置审核人签字:年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号：第节课题第三章§2.1直接证明--综合法第1课时教学目标1、结合已学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法之一综合法；2、能够运用综合法证明数学问题3、通过本节课的学习，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理，论证有据的习惯。重点了解综合法的思考过程、特点中心发言人王晓君难点用综合法证明时的解题过程教具课型新授课课时安排口时教法讲练结合学法归纳总结个人主页教学过程一、新课引入1、比较a2+b2与2ab的大小关系.生：a2+b2>2ab。2、已矢口a,b>0,求证：a(b2+c2b(c2+a2>4abc生：讨论、交流完成，对比解答二、新课学习1、综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。(也形象地称为“顺推证法”或“由因导果法”)例2、若实数无中1，求证：3(1+x2+x4)>(1+x+x2”证明：采用差值比较法：3(1+x2+x4)一(1+x+x2)2-3+3x2+3x4-1一x2—x4-2x-2x2-2x32(x4-x3-x+1)=2(x-1)2(x2+x+1)入“13-2(x-1)2[(x+2)2+/.教学过.程_13,「X丰1,从而(X-1)2>0,且(X+-)2+->0,24八一13八2(X-1)2[(X+-)2+]>0,24.3(1+X2+X4)>(1+X+X2)2.••例3、已知a,bGR+,求证aabb-abba.本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。证明：1)差值比较法：注意到要证的不等式关于a,b对称，不妨设a-b>0.「a-b—0/.aabb-abba=abbb(aa-b-ba-b)-0从而原不等式得证2)商值比较法：设a-b>0,a一丁、八aabba'——1,a—b—0,/.=(―)a-b—1.babbab故原不等式得证。注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差(或作商)、变形、判断符号。三、课堂练习四、课堂小结综合法的一般思路：五、作业布置教后反思审核人签字：二磷蒙，..年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号：第节课题第三章§2.1直接证明号分析法第1课时教学目标1、结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法之二分析法；2、了解分析法的思考过程、特点。3、多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；重点了解分析法的思考过程、特点中心发言人王晓君难点分析法的思考过程、特点教具课型新授课课时安排1课时教法讲练结合学法归纳总结个人主页教学过程一.新课引入证明数学命题时，还经常从要证的结论Q出发，反推回去，寻求保证Q成立的条件，明确M成立，再去寻求M成立的充分条件(利用定理、定义、公理等)；……直到找到一个明显成立的事实。二.新课学习1、分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判」定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法叫做分析法.2、用分析法证明不等式的逻辑关系是：(QuP)—(PuP)…..一(PuP)—(PuP)112n—1nn3、分析法的思维特点是：执果索因.4、分析法的书写格式：要证明命题B为真，只需要证明命题B为真，从而有……这只需要证明命题B为真，从而又有……这只需要证明命题A为真.而已知A为真，故命题B必为真三、例题分析_例1、求证、;>3+V7<2y[5证明：因为J3+J7和2^/5都是正数，所以为了证明v"+J7<2<5只需证明(J3+77)2<(245)2展开得10+2M21<20即2M<10,21<25因为21<25成立，所以(V13+',117)2<(2,5)2成立即证明了、3+、/7<2<5教学过程说明：①分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法.②分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B为真，这只需要证明命题耳为真，从而有……这只需要证明命题B；为真，从而又有……这只需要证明命题A为真而已知庆为真，故B必真在本例中，如果我们从“21<25”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论。但由于我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难。事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q'；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P'.若由P’可以推出Q′成立，就可以证明结论成立.下面来看一个例子.兀例4已知a,P。k兀+—(kgZ)，且sin9+cos®=2sina①2sin9cos9=sin2P②1一tan2a1一tan2P求证：=-。1+tan2a2(1+tan2P)证明：因为(sin9+cos9)2-2sin9cos9=1，所以将①②代入，可得4sin2a_2sin2P=1.③1-tan2a1-tan2P另一方面，要证;=-家1+tan2a2(1+tan2P)sin2assin2P1一日口fcos2a_c0s2P即证」—二一Q，sin2a...sin2P、+2(1+Q)cos2acos2P1/即证cos2a-sin2a=—(cos2P-sin2P),一一.1一一c、即证1-2sin2a=—(1-2sin2P),2即证4sin2a-2sin2P=1。由于上式与③相同，于是问题得证。三、课堂练习四、课堂小结综合法的一般思路：五、作业布置教后反思审核人签字："磷学工,年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号：第节课题第三章§3间接证明号反证法第1课时教学目标1、结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法・反证法；了解反证法的思考过程、特点。2、多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；3、通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。重点了解反证法的思考过程、特点中心发言人王晓君难点反证法的思考过程、特点教具课型新授课课时安排1课时教法讲练结合学法归纳总结个人主页教学过程一.新课引入反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法（结论的反面只有一种）与穷举反证法（结论的反面不只一种）。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：（1）反设；（2）归谬；（3）结论。二、新课学习1、反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大（小）于/不大（小）于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有（n1）个；至多有个/至少有两个；唯一/至少有两个。2、归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。三、例题分析例1、已知直线a,b和平面，如果aaa,bua,且a||b,求证aIIa。下面用反证法证明直线2与平面a没有公共点.假设直线a与平面。有公共点P，则Pea0二b，即点P是直线a与b的公共点，这与aIIb矛盾.所以aIIa.R教学过程点评：线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这