动态规划例子

有8万元的投资可以投给3个过目，每个项目在不同筒子数额下（以万元为单位）的利润如下表投资额盈利项目012345678项目105154080909598100项目20515406070737475项目30426404550515253请安排投资计划，使总的利润最大。写出你所设的状态变量、决策变量、状态转移方程与递推关系式和手工求解的详细步骤及结构。求解：状态变量:xk表示留给项目k..n的投资额，其中n为项目总个数，k=1..n.决策变量：uk表示投给项目k的投资额.允许决策集合：状态转移方程:递推关系式:其中，表示项目k的投资额为uk时的盈利.针对本题，n=3，xk最大取8手工详解过程：初始化k=3X3012345678史）0426404550515253k=2X2012345678052640607086100110k=1xi012345678fi（Xi）0526408090106120140最终结果：给项目1投资4万元，项目2投资4万元，项目3不投资，将获得最大利润140万元.python实现自顶向下，自底向上常用的算法设计思想主要有动态规划、贪婪法、随机化算法、回溯法等等，这些思想有重叠的部分，当面对一个问题的时候，从这几个思路入手往往都能得到一个还不错的答案。本来想把动态规划单独拿出来写三篇文章呢，后来发现自己学疏才浅，实在是只能讲一些皮毛，更深入的东西尝试构思了几次，也没有什么进展，打算每种设计思想就写一篇吧。动态规划(DynamicProgramming)是一种非常有用的用来解决复杂问题的算法，它通过把复杂问题分解为简单的子问题的方式来获得最优解。一、自顶向下和自底向上总体上来说，我们可以把动态规划的解法分为自顶向下和自底向上两种方式。一个问题如果可以使用动态规划来解决，那么它必须具有'最优子结构”，简单来说就是，如果该问题可以被分解为多个子问题，并且这些子问题有最优解，那这个问题才可以使用动态规划。自顶向下(Top-Down)自顶向下的方式其实就是使用递归来求解子问题，最终解只需要调用递归式，子问题逐步往下层递归的求解。我们可以使用缓存把每次求解出来的子问题缓存起来，下次调用的时候就不必再递归计算了。举例著名的斐波那契数列的计算：#!/usr/bin/envpython#coding:utf-8deffib(number):ifnumber==0ornumber==1:return1else:returnfib(number-1)+fib(number-2)if__name—=='__main__':printfib(35)有一点开发经验的人就能看出，fib(number-l)和fib(number-2)会导致我们产生大量的重复计算，以上程序执行了14s才出结果，现在，我们把每次计算出来的结果保存下来，下一次需要计算的时候直接取缓存，看看结果：#!/usr/bin/envpython#coding:utf-8cache={}deffib(number):ifnumberincache:returncache[number]ifnumber==0ornumber==1:return1else:cache[number]=fib(number-1)+fib(number-2)returncache[number]if__name—=='__main__':printfib(35)耗费时间为0m0.053s效果提升非常明显。自底向上(Bottom-Up)自底向上是另一种求解动态规划问题的方法，它不使用递归式，而是直接使用循环来计算所有可能的结果，往上层逐渐累加子问题的解。我们在求解子问题的最优解的同时，也相当于是在求解整个问题的最优解。其中最难的部分是找到求解最终问题的递归关系式，或者说状态转移方程。这里举一个01背包问题的例子：你现在想买一大堆算法书，需要很多钱，所以你打算去抢一个商店，这个商店一共有n个商品。问题在于，你只能最多拿Wkg的东西。wi和vi分别表示第i个商品的重量和价值。我们的目标就是在能拿的下的情况下，获得最大价值，求解哪些物品可以放进背包。对于每一个商品你有两个选择：拿或者不拿。首先我们要做的就是要找到“子问题”是什么，我们发现，每次背包新装进一个物品，就可以把剩余的承重能力作为一个新的背包来求解，一直递推到承重为0的背包问题：作为一个聪明的贼，你用m[i,w]表示偷到商品的总价值，其中i表示一共多少个商品，w表示总重量，所以求解m[i,w]就是我们的子问题，那么你看到某一个商品i的时候，如何决定是不是要装进背包，有以下几点考虑：该物品的重量大于背包的总重量，不考虑，换下一个商品;该商品的重量小于背包的总重量，那么我们尝试把它装进去，如果装不下就把其他东西换出来，看看装进去后的总价值是不是更高了，否则还是按照之前的装法；极端情况，所有的物品都装不下或者背包的承重能力为0，那么总价值都是0；由以上的分析，我们可以得出m[i,w]的状态转移方程为：mlkwim[i— ifw<—■!max(rn[i—ITw]^m.[i—I,w—wj-I- ifw>—Wj[ 0 ifw-0 ori-Q有了状态转移方程，那么写起代码来就非常简单了，首先看一下自顶向下的递归方式，比较容易理解：#!/usr/bin/envpython#coding:utf-8cache={}items=range(0,9)weights=[10,1,5,9,10,7,3,12,5]values=[10,20,30,15,40,6,9,12,18]#最大承重能力W=4defm(i,w):ifstr(i)+','+str(w)incache:returncache[str(i)+','+str(w)]result=0#特殊情况ifi==0orw==0:return0wvw[i]ifw<weights[i]:result=m(i-1,w)w>=w[i]ifw>=weights[i]:#把第i个物品放入背包后的总价值take_it=m(i-1,w-weights[i])+values[i]#不把第i个物品放入背包的总价值ignore_it=m(i-1,w)#哪个策略总价值高用哪个result=max(take_it,ignore_it)iftake_it>ignore_it:print'take',ielse:print'didnottake',icache[str(i)+','+str(w)]=resultreturnresultif—name_=='_main__':#背包把所有东西都能装进去做假设开始printm(len(items)-1,W)改造成非递归，即循环的方式，从底向上求解：#!/usr/bin/envpython#coding:utf-8cache={}items=range(1,9)weights=[10,1,5,9,10,7,3,12,5]values=[10,20,30,15,40,6,9,12,18]#最大承重能力W=4defknapsack():forwinrange(W+1):cache[get_key(0,w)]=0foriinitems:cache[get_key(i,0)]=0forwinrange(W+1):ifw>=weights[i]:ifcache[get_key(i-1,w-weights[i])]+values[i]>cache[get_key(i-1,w)]:cache[get_key(i,w)]=values[i]+cache[get_key(i-1,w-weights[i])]else:cache[get_key(i,w)]=cache[get_key(i-1,w)]else：cache[get_key(i,w)]=cache[get_key(i-1,w)]returncache[get_key(8,W)]defget_key(i,w):returnstr(i)+','+str(w)if—name—=='__main__':#背包把所有东西都能装进去做假设开始printknapsack()从这里可以看出，其实很多动态规划问题都可以使用循环替代递归求解，他们的区别在于，循环方式会穷举出所有可能用到的数据，而递归只需要计算那些对最终解有帮助的子问题的解，但是递归本身是很耗费性能的，所以具体实践中怎么用要看具体问题具体分析。最长公共子序列(LCS)解决了01背包问题之后，我们对“子问题”和“状态转移方程”有了一点点理解，现在趁热打铁，来试试解决LCS问题：字符串一“ABCDABCD”和字符串二”BDCFG”的公共子序列(不是公共子串，不需要连续)是BDC，现在给出两个确定长度的字符串X和Y，求他们的最大公共子序列的长度。首先，我们还是找最优子结构，即把问题分解为子问题，X和Y的最大公共子序列可以分解为X的子串Xi和Y的子串Yj的最大公共子序列问题。其次，我们需要考虑Xi和Yj的最大公共子序列C[i,j]需要符合什么条件：如果两个串的长度都为0，则公共子序列的长度也为0；如果两个串的长度都大于0且最后面一位的字符相同，则公共子序列的长度是C[i-1,j-1]的长度加一;如果两个子串的长度都大于0，且最后面一位的字符不同，则最大公共子序列的长度是C[i-1,j]和C[i,j-1]的最大值；最后，根据条件获得状态转移函数:由此转移函数，很容易写出递归代码：#!/usr/bin/envpython#coding:utf-8cache={}#为了下面表示方便更容易理解，数组从开始编号#即当i,j为0的时候，公共子序列为0,属于极端情况A=[0,'A','B','C','B','D','A','B','E','F']B=[0,'B','D','C','A','B','A','F']defC(i,j):ifget_key(i,j)incache:returncache[get_key(i,j)]result=0ifi>0andj>0:ifA[i]==B[j]:result=C(i-1,j-1)+1else:result=max(C(i,j-1),C(i-1,j))cache[get_key(i,j)]=resultreturnresultdefget_key(i,j):returnstr(i)+','+str(j)if—name—=='__main__':printC(len(A)-1,len(B)-1)上面程序的输出结果为5,我们也可以像背包问题一样，把上面代码改造成自底向上的求解方式，这里就省略了。但是实际应用中，我们可能更需要求最大公共子序列的序列，而不只是序列的长度，所以我们下面额外考虑一下如何输出这个结果。其实输出LCS字符串也是使用动态规划的方法，我们假设LCS[i,j]表示长度为i的字符串和长度为j的字符串的最大公共子序列，那么我们有以下状态转移函数： fLC5[fif 湖=LCS[iJ]=i LCS[iJ-L] if C[iJL]>C[i『Lj]I LCS[i-1j] if %—Ljj>C[iJ-1]其中C[i,j]是我们之前求得的最大子序列长度的缓存，根据上面的状态转移函数写出递归代码并不麻烦：#!/usr/bin/python#coding:utf-8"""DynamicProgramming"""CACHE={}#为了下面表示方便，数组从/开始编号#即当i,j为0的时候，公共子序列为0,属于极端情况A=[0,'A','B','C','B','D','A','B','E','F']B=[0,'B','D','C','A','B','A','F']deflcs_length(i,j):"""Calculatemaxsequencelength"""ifget_key(i,j)inCACHE:returnCACHE[get_key(i,j)]result=0ifi>0andj>0:ifA[i]==B[j]:result=lcs_length(i-1,j-1)+1else:result=max(lcs_length(i,j-1),lcs_length(i-1,j))CACHE[get_key(i,j)]=resultreturnresultdeflcs(i,j):"""backtrackles"""ifi==0orj==0:return""ifA[i]==B[j]:returnlcs(i-1,j-1)+A[i]else:ifCACHE[get_key(i-1,j)]>CACHE[get_ke