(完整word版)2019-2020年高考数学大题专题练习-立体几何(一)

令.，可得\「,则有"-I■'\2兀•:观察可得二面角r-L-Ej-的平面角、19.(1)取FE的中点P，连接CP交BE于点M,M点即为所求的点.连接PG,•・•G是AD的中点，P是FE的中点，・•・PG//AF,又PGu平面MGC,AF匸平面MGC，所以直线AF//平面MGC,BMBC•・•PE//AD,AD//BC,・•・PE//BC,一=——=2,MEPE故点M为线段BE上靠近点E的三等分点.(2)不妨设AD=2，由(1)知PG丄AD,又平面ADEF丄平面ABCD，平面ADEFI平面ABCD=AD,PGu平面ADEF，・PG丄平面ABCD.故PG丄GD，PG丄GC，以G为坐标原点，GC，GD，GP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系G-xyz,•・•ZABC=60。,AB=AD=2AF,AADC为正三角形，GC=j3,_uuuruuu-・•・G(0,0,0),Cg'3,0,0),D(0,1,0),E(0,1,1),.GE=(0,1,1),GC=G3,0,0),ururuururuur[y+z=0,设平面CEG的一个法向量n=(x,y,z),则由n•GE=0,GC=0可得j°ur令y=1则n=(0,1,-1)uur_uuruuu•・•CD=(-J3,1,0)=BA,且A(0,-1,0),故B&3,-2,0),故BG=(—3,2,0),uruuu_厂小小小厂•In-BGIV14故直线BG与平面GCE所成角的正弦值为sm0=-muuu^=InI•丨BGI7

20.(I)取PC中点H，连接EH、FH.•・•E为AB的中点，ABCD是菱形，・•・AE//CD，且AE=-CD，又F为PD的中点，H为PC的中点，FH//CD,且FH=丄CD，.:AE//FH，且AE=FH，则四边形AEHF是平行四边形，・•・AF//EH.又AF匸平面PCE，EHu面PCE，AF//平面PCE.(II)取BC(II)取BC的中点为O，•・•ABCD是菱形，AC=AB,AO丄BC，以A为原点,AO,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，则73,1,0),D(0,2,0)，O(/3,0,0),P(0,0,1),E$,-2,0uuur,2,0，uuuuuur,2,0，AO=\/3,0,0，设平面的法向量为n=(x,y,z)，则<1n•Pc=0卜?n=(x,y,z)，则<11uur，即仁，令y=-1，则x=3,z=2，n-EC=0Ix+y=01〔22平面PCE的一个法向量为n=(/3,—1,2)，又平面PAD的一个法向量为n=(1,0,0)・・cosVn,n>=i2i2|nI•InI1PCE所成锐二面角的余弦值为丁.43=丫6.即平面PAD与平面J3+1+4421.解：(1)证明：取PD的中点F，连接EF,CF,因为E,F分别是PA,PD的中点，所以EF//AD且EF=—AD,^2因为BC=丄AB,BC//AD，所以EF//BC且EF=BC，所以BE//CF,又BE匸平面PCD,CFu平面PCD，所以BE//平面PCD.Rr(2)Rr(2)以P为坐标原点，PD,PA所在直线分别为x轴和y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设BC=1，则P(0,0,0),A(0,J3,0),D(l,0,0),C(1,0,1),B(—,£,1),uuuuur1J3uuuruuurn-PA=0vruurnn-AB=0Iruuurn-PA=0vruurnn-AB=0Iv'3y=01忑y丄0，—xFz=0〔22r设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z)，则r令x=2，得n=(2,0,-1)，同理可求平面ABD的一个法向量为,runcos{n,mrurn,runcos{n,mrurn-mv15

"V平面ABD和平面ABC为同一个平面,所以二面角P—所以二面角P—AB—C的余弦值为522.解：(I)证明：因为二面角S—AB—C的大小为90°,则SA丄AD,又SA丄AB，故SA丄平面ABCD，又BDu平面ABCD，所以SA丄BD；在直角梯形ABCD中，ZBAD二ZADC二90。，AD二2CD二1，AB二2,所以tanZABD=tanZCAD=1-，又ZDAC+ABAC二90。，2所以ZABD+ZBAC二90。，即AC丄BD；又ACISA=A，故BD丄平面SAC，因为AFu平面SAC，故BD丄AF.(II)设点E(II)设点E到平面ABCD的距离为h因为V=VB—ABCE—ABC且一EABC二—V5S一ABCDV故SABCDE一V故SABCDE一ABC1S-SA3梯形ABCDx13AABCx2x1xh2故h=—，做点E到平面ABCD的距离为—.2223.(1)QE为SD的中点，AD=DC=—SD,ZSDA=ZSDC=6002ED二EC二AD二DC.设O为AC的中点，连接EO,DO则EO丄ACQAD//BC,BC丄CD.AD丄BC.又OD二OA二OC.AEOC二AEOD从而EO丄ODQAC二ABCDDOu面ABCDACIDO=0.EO丄面ABCDQEOu面AEC

/.面EAC/.面EAC丄面ABCD6分⑵设F为CD的中点，连接OF、EF，则OF平行且等于2ADQAD〃BC:.EF〃BC不难得出CD丄面OEF（QEO丄CDFO丄CD）/.面ECD丄面OEFOF在面ECD射影为EF，ZEFO的大小为BC与面ECD改成角的大小设AD二a,则OF=EF='a22cos<EFO=匹EF即BC与ECD即BC与ECD改成角的余弦值为.（亦可以建系完成）12分24.解（I）过点P作PO丄底面ABC,垂足为O,连接AO、CO,则ZPCO为所求线面角，QAC丄PA,AC丄PO,且PAcPO=P，・•.AC丄平面PAO.则ZPAO为二面角P-AC-B平面角的补角—PO1:,ZPAO=600,又QPA=2,・P0二、3，sinZPCO==-CO2/.zPCO=30°，直线PC与面ABC所成角的大小为30°.（II）过O作OE丄BC于点E，连接PE，则ZPEO为二面角P-BC-A的平面角,QAC丄平面PAO,AC丄OAZAOE=45°,设OE与CA相交于F./OE=EF+FO=2+在APEO中，tanZPEO=竺EO4.3-屈-7-则二面角P-BC-A的正切值为4J3-、6725.解：(1)如图，取PA中点F，连接EF,FD,0E是BP的中点，0EF//AB且EF=1AB，又0DC//AB,DC=1AB22:.EF//DC四边形EFDC是平行四边形，故得EC//FD又0EC匸平面PAD,FDu平面PAD.EC//平面ADE(II)取AD中点H，连接PH，因为PA二PD，所以PH丄AD0平面PAD丄平面ABCD于AD，.PH丄面ABCD，.HB是PB在平面ABCD内的射影.APBH是PB与平面ABCD所成角0四边形ABCD中，ZABC=ABCD=900.四边形ABCD是直角梯形DC=CB=1AB2设AB=2a，则BD=、i2a在AABD中，易得ADBA=450,AD=\：2aPH=^PD2-DH2竺a.又®BD2+AD2=4a2=AB2.•.AABD是等腰直角三角形，ZADB=90oHB=JDHHB=JDH2+DB2=■1c叙0a2+2a2=a22TOC\o"1-5"\h\z<2_pha.5在RtAPHB中，tanZPBH=——=2=二HB对‘105a2（III）在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点，连接PG,则HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG丄AB，所以ZPGH是二面角P—AB—D的平面角，由AB=2a,HA='a，又ZHAB=450.HG=—a22PH~S-a在RtAPHG中，tanZPGH==一=、辽HG1a2二面角P—AB—D的余弦值大小为26.（1）•・•四棱锥P-ABCD的底面ABCD为边长为2的正方形，PA=2，PB=PD=2...PA2+AB2=PB2，PA2+AD2=PD2，APA丄AB，PA丄AD，・•・以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，VE，F，G，H分别为棱PA，PB，AD，CD的中点.・C（2，2，0），D（0，2，0），B（2，0，0），P（0，0，2），F（1，0，1），G（0，1，0），（-2，0，0）^F=（-1，-2，1），CG=（-2，-1，0），设平面CFG的法向量!-=（x，y，z），npCF--K-2y+z=0—■则彳■，取x=1，得n=（1，-2，-3），:n•CG=-2s-y=0

设CD与平面设CD与平面CFG所成角为0，|CD-n|2__.-14则sin0=|cosVCH*口＞1==='|PD|•|n|小414.•.CD与平面CFG所成角的正弦值为斗J.(2)假设棱(2)假设棱PD上是否存在点M(a.b,c),且面二丸m(o<x<i)，使得平面CFG丄平面MEH,IinpEH=K+2y-z=0':n.-EM=2^vKl-2则(a,b,c-2)=(0,2X,-2X),?.a=0,b=2X,c=2-Ik，即M(0,Ik,2—2九