(完整版)经典高考概率分布类型题归纳【精选】

O(O(Q_Q)OO(O(Q_Q)O经典高考概率类型题总结一、超几何分布类型二、二项分布类型三、超几何分布与二项分布的对比四、古典概型算法五、独立事件概率分布之非二项分布(主要在于如何分类)六、综合算法一、超几何分布甲、乙两人参加普法知识竞赛，共设有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个.若甲、乙二人依次各抽一题，计算：甲抽到判断题，乙抽到选择题的概率是多少？甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？若甲从中随机抽取5个题目，其中判断题的个数为X,求X的概率分布和数学期望.(1)由题意知本题是一4等可能事件的槪率甲从选擇题中曲到一题的可能结果有匚$«r乙恠次从判断题中抽到一题的可个,故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果个；试验发生包含的所有事件是甲、乙依次抽一题的可能结果有概率为SNCgl个」「甲抽到选理g到判斷题的概率为焉其(2)甲、乙二人中至少有一人抽到选擇题的对立事件是甲、乙二人依坎部抽到判斷题「'卑乙二人依次都抽到判断题的心診C14C1313.「甲.乙二人中至少有一人*题的概率址五」二、二项分布1.某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在的地区附近有A，B，C三家社区医院，并且他们对社区医院的选择是相互独立的.求甲、乙两人都选择A社区医院的概率；求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；设4名参加保险人员中选择A社区医院的人数为X,求X的概率分布和数学期望.2.某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红21灯的概率都是3，出现绿灯的概率都是3•记这4盏灯中出现红灯的数量为X,当这排装饰灯闪烁一次时：求X=2时的概率；求X的数学期望．解(1)依题意知：X=2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红2灯，而每盏灯出现红灯的概率都是3故x=2时的概率卩7谢2(3|2=27.(2)法一X的所有可能取值为0,1,2,3,4，依题意知P(X=k)=Ck[|H3》r(k=0,1,2,3,4)•・・・X的概率分布列为X01234P18832168l8181818l1,8832168・••数学期望E(X)=0Xg+1XgT+2X^+3XgT+4X^=|.三、超几何分布与二项分布的对比有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地依次任取3件，若X表示取到次品的次数，则P(X)=・辨析：1・有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中不放回地依次任取3件，若X表示取到次品的件数，则P(X)=2・有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地依次任取件，第k次取到次品的概率，则P(X)=3・有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中不放回地依次任取件，第k次取到次品的概率，则P(X)=四、古典概型算法1・一个均匀的正四面体的四个面分别涂有1，2，3，4四个数字，现随机投掷两次，正四面体底面上的数字分别为Xj,X2,记X=(xi-2)2+(X2-2)2・分别求出X取得最大值和最小值的概率；(2)求X的概率分布及方差・(2012•江苏高考)设g为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，§=0;当两条棱平行时，§的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时g=1.求概率P(g=0)；求g的分布列，并求其数学期望E(§).某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：恰有2人申请A片区房源的概率；申请的房源所在片区的个数X的概率分布与期望.设S是不等式X2—X—6W0的解集，整数m,n^S,⑴记“使得m+n=O成立的有序数组(m,n)”为事件A，试列举A包含的基本事件;(2)设g=m2,求g的概率分布表及其数学期望玖g).解(1)由x2—x—6W0,得一2WxW3,即S={x|—2WxW3}.由于m,n^Z,m,n^S且m+n=O,所以A包含的基本事件为(一2,2),(2,—2),(—1,1)，(1，—1)，(0,0).(2)由于m的所有不同取值为一2,—1,0,1,2,3,所以g=m2的所有不同取值为0,1,4,9且有p(g=o)=|,p(g=1)=i=|,21p(g=4)=6=3,P(g=9)W，故g的概率分布表为g0149p11116336所以E(g)=OX1+1x3-+4x|+9X1=19.5,在高中“自选模块”考试中，某考场的每位同学都选了一道数学题，第一小组选《数学史与不等式选讲》的有1人，选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的有5人，第二小组选《数学史与不等式选讲》的有2人，选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析得分情况,(1)求选出的4人均为选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的概率；

(2)设X为选出的4个人中选《数学史与不等式选讲》的人数，求X的分布列和数学期望．解(1)设“从第一小组选出的2人均选《矩阵变换和坐标系与参数方程》”为事件A,“从第二小组选出的2人均选《矩阵变换和坐标系与参数方程》”为事件B.由于事件A、B相互独立,所以P(A)=C所以P(A)=C|=23,P(B尸CMC2_5'所以选出的4人均选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的概率为P(A・B)=224P(A)・P(B尸3送=右(2)X可能的取值为0,1,2,3,则4C2Ci・CiCiC222P(xfT5,p(xWc6•舌+可可=45,P(X=3)=C6^C|=45-P(x=2)=1—P(X=0)_P(X=1)_P(X=3)=#.故X的分布列为X0123P422115454542221所以X的数学期望E(X)=0X^+1X45+2X9+3X45=1(人)•6.已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球•现在从甲、乙两个盒内各任取2个球.(I)求取出的4个球均为黑色球的概率；(II)求取出的4个球中恰有1个红球的概率；(III)设£为取出的4个球中红球的个数，求E的分布列和数学期望.解：(I)设“从甲盒内取出的2个球均黑球”为事件A，"从乙盒内取出的2个球为黑球”为事件B.•••事件A,B相互独立，且p(A)二二gp=44■工••取出的4个球均为黑球的概率为P(AB)=P(A)P(B)=m1个是黑球”为解：设"从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，11个是黑球”为事件C,"从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”•••事件C,D互斥，且厂2门1r1r1r.2P(c)4F⑶.3Si厂丄『上la「上厂£□^46^4••取出的4个球中恰有1个红球的概率为4+1_7P(C+D)=P(C)+P(D)=一1、上.解：E可能的取值为0,1,2,3・由(1),(11)得

又,从而P(E=2)=1-P(E=0)-P(E=1)-P(E=3)=E的分布列为E的数学期望五、独立事件概率分布之非二项分布(主要在于如何分类)1•开锁次数的数学期望和方差有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开．用它们去试开门上的锁．设抽取钥匙是相互独立且等可能的．每把钥匙试开后不能放回.求试开次数E的数学期望和方差.分析：求P(E=k)时，由题知前k-1次没打开，恰第k次打开.不过，一般我们应从简单的地方入手，如g=1,2,3,发现规律后，推广到一般.解：E的可能取值为1,2，3,…n.P(g=1)=nP(g=2)=(1-丄)•丄nn一1P(g=3)=(1-丄)•(1-)•nn一1n一2n11;nn一1n1、1_n-1n一2n一1PCk)=(1-丄)•(】-£)*1-宀…(1-1nn一1n一2)•」n一k+2n一k+1nn一1;所以E的分布列为:oo（n_n）oO(O(Q_Q)Og12•••k•••nP1n1n•••1n•••1nEg=1丄+2-1+3丄+•••+n-1=nnnn2Dg=(1-山)2丄+(2—)2丄+(3—凹)2丄+•••+(k—^)2丄+•••+(n—出)2丄n+1、)2-n22nn+1、)2-n2二1(12+22+32+…+n2)-(n+1)(1+2+3+…+n)+(nn(n+1)(2n+n(n+1)(2n+1)—6n(n+1)22n(n+1)24n2—1122.射击练习中耗用子弹数的分布列、期望及方差某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进入下一组的练习，否则一直打完5发子弹后才能进入下一组练习，若该射手在某组练习中射击命中一次，并且已知他射击一次的命中率为0.8,求在这一组练习中耗用子弹数7的分布列,并求出g的期望Eg与方差Dg(保留两位小数).分析：根据随机变量不同的取值确定对应的概率,在利用期望和方差的定义求解解：该组练习耗用的子弹数7为随机变量，g可以取值为1,2,3,4,5.g=1,表示一发即中，故概率为P(g=1)=0.8;g=2,表示第一发未中,第二发命中,故P(g=2)=(1—0.8)x0.8=0.2x0.8=0.16;g=3,表示第一、二发未中,第三发命中,故P(g二3)二(1—0.8)2x0.8二0.22x0.8二0.032;g=4,表示第一、二、三发未中,第四发命中,故P(g二4)二(1—0.8)3x0.8二0.23x0.8二0.0064g=5,表示第五发命中,故PC5）二（1-0.8）4・1二0.24二0.0016.因此，E的分布列为g12345P0.80.160.0320.00640.0016Eg=lx0.8+2x0.16+3x0.032+4x0.0064+5x0.0016=0.8+0.32+0.096+0.0256+0.008=1.25,Dg=(1-1.25)2x0.8+(2—1.25)2x0.16+(3—1.25)2x0.032+(4—1.25)2x0.0064+(5—1.25)2x0.0016二0.05+0.09+0.098+0.0484+0.0225二0.31.3.在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次•某同学在A处的命中率q1为0.25,在B处的命中率为q2，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用g表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为023A5P0.03PiP2PzA求q2的值；求随机变量g的数学期望Eg；试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．解：(1)设该同学在A处投中为事件A，在B处投中为事件B，则事件A，B相互独立，且P(A)=0.25,P(A)二0.75，P(B)=q2，P(B)=1—q.22根据分布列知：g=0时P(ABB)=P(A)P(B)P(B)=0.75(1-q)2=0.03，所以1—q2=°.2，q2=0-8(2)当g=2时，Pj=P(Abb+Abb)二P(Abb)+p(Abb)二P(A)P(B)P(B)+P(A)P(B)P(B)=0.75q2(1—q^)x2=1.5q2(1—q^)=0.24.当g=3时，P2=P(ABB)=P(A)P(B)P(B)=0.25(1—q)=0.01，22当g=4时，片P(ABB)=P(A)P(B)P(B)=0.75q2=°.48,32当g=5时，=P(ABB+AB)二P(ABB)+P(AB)=P(A)P(B)P(B)+P(A)P(B)=0.25q(1—q)+0.25q=024222所以随机变量g的分布列为：e023斗50.030.240.010.480.24随机变量g的数学期望Eg=0x0.03+2x0.24+3x0.01+4x0.48+5x0.24=3.63.(3)该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为P(BBB+BBB+BB)二P(BBB)+P(BBB)+P(BB)二2(1—q)q2+q2二0.896；222该同学选择(1)中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72．由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.某科技公司遇到一个技术难题，紧急成立甲、乙两个攻关小组，按要求各自单独进行为期一个月的技术攻关，同时决定对攻关期满就攻克技术难题的小组给予奖励．已知这些技术难题在攻关期满时被甲小组攻克的概率为3被乙小组攻3克的概率为—・设X为攻关期满时获奖的攻关小组数，求X的概率分布及V(X)；设Y为攻关期满时获奖的攻关小组数的2倍与没有获奖的攻关小组数之差，求V(Y)・某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设g表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.求g的分布列及数学期望；记“函数f(x)二x2-3gx+1在区间［2,+8)上单调递增”为事件A，求事件AO(O(Q_Q)OO(O(Q_Q)Ooo(n_n)o的概率.分析：(2)这是二次函数在闭区间上的单调性问题，需考查对称轴相对闭区间的关系，就本题而言，只需22即可.TOC\o"1-5"\h\z解：(1)分别记“客人游览甲景点”“客人游览乙景点”“客人游览丙景点”为事件A,A,A.由已知A,A,A相互独立，P(A)=0.4,P(A)=0.5,P(A)=0.6.123123123客人游览的景点数的可能取值为0,1,2,3.相应的，客人没有游览的景点数的可能取值为3,2，1，0,所以E的可能取值为1,3.P©=3)=P(A.A.A)+P(A.A.A)123123=P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)=2x0.4x0.5x0.6=0.24123123P忆=1)=1-0.24=0.76所以E的分布列为E忆)=1x0.76+3x0.24=1.4839(ii)解法一因为/(x)=(x-2E)2+1-4E2,所以函数3f(X)=x2-3EX+1在区间【2E,+Q上单调递增，要使f(x)在2+8)上单调递增,34当且仅当34当且仅当2E<2，即2<3.从而P(A)=P(E<3)=P(E=1)=0.76.解法二：E的可能取值为1,3.当E=1时，函数f(X)=X2-3X+1在区间［2,+8)上单调递增,当E=3时，函数f(x)=x2—9x+1在区间［2,+8)上不单调递增.所以P(A)=P(E=1)=0.76.6.甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为2，乙每次击中目标2的概率为亍

求乙至多击中目标|次的概率；记甲击中目标的次数为乙求Z的分布列、数学期望和标准差.解(1)甲、乙两人射击命中的次数服从二项分布，故乙至多击中目标2次的概率为1概率为19-71-2-3AJI723

z/nv33C(2)p(z=0)7d卜1p(p(z=i)=q3-8-3p(z=2)7[2卜8p(z=3)7[2卜1.z的分布列如下表：z0123p1331|888E(Z)=0X1+lx|+2x|+3x8=|,D(Z)=(O_|卜8+(1_|卜|+(2_|卜8+(3_|j2x8=4'・，JD^=^7.某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制'两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平'经过第一次烧制后'甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5'0.6'0.4.经过第二次烧制后'甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6,0.5,0.75.(1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；(2)经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为g,求随机变量g的期望与方差.解分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A1、A|、A3.设E表示第一次烧制后恰好有一件合格，则p(e)=p(A]"a|T3)+p(T1A|T3)+p(T1T|A3)=0.5X0.4X0.6+0.5X0.6X0.6+0.5X0.4X0.4=0.38.因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p=0.3，所以g〜B(3,0.3).故E(g)=np=3X0.3=0.9,V(g)=np(1－p)=3X0.3X0.7=0.63.|.某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9,求在一年内李明参加驾照考试次数E的分布列和E的期望，并求李明在一年内领到驾照的概率.解：E的取值分别为1，2，3,4.1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P(1)=0.6.g二2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P(g二2)二(1-0.6)x0.7二0.28.2=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P(g二3)二(1-0.6)x(1-0.7)x0.8二0.096.2=4,表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P(g二4)二(1-0.6)x(1-0.7)x(1-0.8)二0.024..•.李明实际参加考试次数2的分布列为21234P0.60.280.0960.024••・2的期望E2=1X0.6+2x0.28+3x0.096+4x0.024=1.544.李明在一年内领到驾照的概率为1—(1—0.6)(1—0.7)(1-0.8)(1—0.9)=0.9976.9•某先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率，如图.(例如：ATCTD算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为丄，路段CD发生堵车事件的概率为1).(1)请你为其选择一条由A到B的路线，使得11途中发生堵车事件的概率最小；E20F-12B(2)若记2路线ATCTFTB中遇到堵车1次数为随机变量2,求2的数学期望E2.52061*1二1u10石解：(1)记路段MN发生堵车事件为MN.因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次,所以路线ATCTDTB中遇到堵车的概率P］为1—p(AC•CD•DB)=1—p(AC)•p(CD)•p(DB)=1—[1—P(AC)][1—P(CD)][1—P(DB)]=1—9.14.5=-!；1015610

同理：路线ATCTFTB中遇到堵车的概率P2为1—P(AC•CF•FB)=239(小于丄)；80010路线ATETFTB中遇到堵车的概率P3为1—P(AE•EF•FB)=21(大于2)30010显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择.因此选择路线ATCTFTB,可使得途中发生堵车事件的概率最小.⑵路线ATCTFTB中遇到堵车次数E可取值为0,123.P(g=0)=P(AC•CF•FB)=561,800P(E=1)=P(AC•CF•FB)+P(AC•CF•FB)+P(AC•CF•FB)TOC\o"1-5"\h\z1171193119171637++=—CF•FBCF•FB)+P(AC•CF•FB)P(g=2)=P(AC•CF•FB)+P(AC•1311117193177++=-1020121020121020122400P(^=P(^=3)=P(AC•CF•FB)3240077377312400+3X2400=3561637AE'=0X800+1X丽+2X答:路线ATCTFTB中遇到堵车次数的数学期望为*10.分类题型中的难题在一次电视节目的抢答中，题型为判断题，只有“对”和“错”两种结果，其中某明星判断正确的概率为p,判断错误的概率为q,若判断正确则加1分，判断错误则减1分，现记“该明星答完n题后总得分为Sn”.当p=q=12时，记E=|S3|,求E的分布列及数学期望及方差；当p=13,q=23时，求S8=2且Si三0(i=1,2,3,4)的概率.oo(n_n)oO(O(Q_Q)Ooo（n_n）o•••EE=1x+3x=;DE二=(2)当S8=2时，即答完8题后，回答正确的题数为5题，回答错误的题数是3题，又已知Si>0(i=1,2,3,4),若第一题和第二题回答正确，则其余6题可任意答对3题;若第一题正确，第二题回答错误，第三题回答正确，则后5题可任意答对3题.此时的概率为.六．拓展1.某车站每天8:00~9:00,9:00~10:00都恰有一辆客车到站，8:00~9:00到站的客车111A可能在8:10,8:30,8:50到站，其概率依次为匚，二，;9:00~10:00到站的客车B623111可能在9:10,9:30,9:50到站，其概率依次为三，=匚.326⑴旅客甲8:00到站，设他的候车时间为E，求E的分布列和Eg；(2)旅客乙8:20到站，设他的候车时间为耳,求耳的分布列和E1.旅客8:00到站，他的候车时间g的分布列为：111100Eg二10x—+30x—+50x—二(分钟)6233旅客乙8:20到站，他的候车时间耳的分布列为：

10305070501111—x—11—x—11P236362—x—66...En二10x-+30x-+50x—+70x—+90x—23181236235(分钟)2.A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X］和X2，根据市场分析，X］和X235(分钟)X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3在A，B两个项目上各投资100万元，Y］和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差V(Y］)、V(Y2)；将x(0WxW100)万元投资A项目，100—x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和.求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值.解(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3E(Y])=5X0.8+10X0.2=6,V(Y1)=(5—6)2X0.8+(10—6)2X0.2=4；玖Y2)=2X0.2+8X0.5+12X0.3=8，V(Y2)=(2—8)2X0.2+(