对数运算对数函数经典例题讲义

.对数的概念如果成=N3>0,且QW1),那么数％叫做N叫做..常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做简记为..对数与指数的关系若。>0,且qWI,则外=对数恒等式：dogN~.对数的性质“(1)1的对数为⑵底的对"⑶零和负数.，记作，其中a叫做,,牧,1%户可简记为，log尸.有下列说法：①零和负数没有对数；②壬何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e为底的对数叫做自然对数.其中正确命题的个数为()TOC\o"1-5"\h\zA.1B.2C.3D.4.有以下四个结论:①lg(lg10)=0；②！n(lne)=0；③若10=lg%,则x=100；④若e=ln%,则U%=eN其中正确的^()D.③④D.3<a<4D.D.③④D.3<a<4D.%=9.在A=log（>2）（5—。）中，实数a的取值范围是（）4.方程2lg3%=4的解是()A.a>5或a<2B.2<a<54.方程2lg3%=4的解是().若loga5b=c,则下列关系式中正确的是）A.b=a5cB.b5=acC.b=5acD.b=c5a（1、T+l0g0.5^4,士d.7的值为（）k2JA.6C.8.已知log7110g3（log2%）］=0,那么%-2=..若log2（log%9）=1，则U%=..已知1a=0,1gb=0，则*=..⑴将下列指数式写成对数式：①10—3=10002=；③（\后—1）-1=5+1.（2）将下列对数式写成指数式：①1og26=。：②:一1；③1g3=1.11.已知11.已知1。8ax=4，logj=5,求A=12的值..若1oga3=m,log5=〃，则a2m+的值是（）A.15"B：75C.45D.225.⑴先将下列式子改写成指数式，再求各式中的值：_2_1①1og2x=_5；②logx3=-3.⑵已知6a=8,试用a表示下列各式：①1og68；②1og62；③1og26..对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab=N=log产b（a>0,且aW1）,据此可得两个常用恒等式：（1）1ogaab=b；（2）a电a=N..在关系式ax=N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算；而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算..指数式与对数式的互化.对数的运算性质如果a>0,<aW1,M>0,N>0,那么:(1)loga(M,N)=:…M(2)logaN=；(3)logaMn=(n£)..对数换底公式logab=logblogab=logblogca3>0,且aW1,b>0,c>0,且cW1）；特别地：logab」ogba=(a>0,<aW1,b>0,且bW1).一、题.下列式子中成立的是（假定各式均有意义）（）logavlogJ=loga（x+y）（logax）n=nlogax=logn=log尸logay.计算：log916-log881的值为（）A.18.若logmlog3610g6x=2,贝Ux等于（）A.9C.25.已知3a=5b=A,若1+1=2,则A等于（）ab、，A.15±15D.225.已知log89=a,log25=b,则lg3等于（）a..若lga,lgb是方程2x2—4x+1=0的两个根，则（lgb）2的值等于（）A.2C.42log510++(325—125H425=.(lg5)2+lg2-lg50=.2008年5月12日，四川汶川发生里氏级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失.里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的.它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小2有关震级M=2lgE］其中E(焦耳)为以地震波的形式释放出的能量.如果里氏级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于颗广岛原子弹.三、解答题(1)计算：lg2—lg8+lg—log89.log34；(2)已知3a=4b=36,^+；的值.ab11.若a、b是方程21gx）2—lgX4+1=0的两个实根，求lg（ab）（logab+logba）的值.能力提升12.下列给出了x与10x的七组近似对应值:组号-二三四五六七X031197150900181SI21315161gl10I12假设在上表的各组对应值中，有且仅有一组是错误的，它是第一组.（）A.二B.四C.五D.七13.一种放射性物质不断变化为其他物质每经过一年的剩余质量约是原来的5%,估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的1?（结果保留1位有效数字）（g2"0,lg3〜1）.在运算过程中避免出现以下错误:log/MN)=logaMlog卜.।MlogMlogaN=loglogaNn=(logaN)n.10gM±ogaN=loga（M±N）..根据对数的定义和运算法则可以得到对数换底公式:log*=l0gc，（a>0且aW1,c>0且cW1,b>0）.由对数换底公式又可得到两个重要结论：(1)logab」ogba=1；2)logabb=mfogb..对于同底的对数的化简常用方法（1）“收”将同底的两对数的和（差）收成积（商）的对数；（2）“拆”将积（商）的对数拆成两对数的和（差）.对于常用对数的化简要创设情境，充分利用“lg5+lg2=1”来解题..对数函数的定义：一般地，我们把叫做对数函数，其中％是自变量函数的定义域是..对数函数的图象与性质定义y=log/3>0,且aW1)底数a>10<a<1图象定^域^值域单调性在（0，+8）上是增函数在（0,+8）上是减函数共点性图象过点，即log」=0函^值特点%£(0,1)时，y£；%01,+8)时，卡%£(0,1)时，y£；%01,+8)时，卡

对称性函数尸log”%与尸10g」X的图象关于—对称4.反函数对数函数3>0且oWl)和指数函数—互为反函数..函数y川1二厂2的定义域是()A.(3,+8)B.[3,+心)D.[4,+8).设集合M={yly=(2)x,xG[0,+^)},N={y|y=log2x,%£(0,1]},则集合MUN等于()A.(—8,0)U[1,+8)B.[0,+8)C.(—8,1]D.(—8,0)U(0,1).已知函数f%)=现2(%+1),若f)=1,]则等于()A.0B.1C.2D.3.函数fx)=llog3xl的图象是().已知对数函数fx).已知对数函数fx)=logax(a>0，aW1),且过点(92)，A.g(x)=4xB.g(x)=2xC.g(x)=9x.若log2<1,则Ua的取值范围是()a3八%)的反函数记为y=g(x),则9(%)的解析式是(D.g(x)=3x(0,2)(0,2)(；,+8)C.(2,1)D.(0,2)U(1,+8).如果函数fx)=(3—a)x,g(x)=logx的增减性相同，则如的取值范围是.已知函数y=loga(x—3)—1的图象恒过定点P,则点P的坐标是..给出函数则flog23)=.三、解答题.求下列函数的定义域与值域：(1)y=log2(x—2)；(2)y=log4(x2+8)..已知函数fx)=log(1+x),g(x)=log(1—x),(a>0,且aW1).⑴设a=2,函数火%)的定义域为[3,63],求函数八%)的最值.⑵求使fx)—g(x)>0的x的取值范围.能力提升.已知图中曲线C1,C2,C3,C4分别是函数y=log4x,y=loga2x,y=loga3x,y=loga4x的图象，则a1,a2,a3,a4的大小关系是()A.afs%%B.a3<a4<a1<a2C.a2<a1<a3<a4D.a3<a4<a2<a1.若不等式X2—log/<0在(0,1)内恒成立，求实数力的取值范围..函数y=logmx与y=lognx中m、n的大小与图象的位置关系.当0<n<m<1时，如图①；当1<n<m时，如图②；当0<m<1<n时，如图③..由于指数函数y=火a>0,且aW1）的定义域是R,值域为（0,+8）,再根据对数式与指数式的互化过程知道，对数函数y=logax（a>0,且aW1）的定义域为（0,十8）,值域为R,它们互为反函数，它们的定义域和值域互换，指数函数y=a的图象过（0,1）点，故对数函数图象必过（1,0）点..函数y=logax的图象如图所示，则实数a的可能取值是（）A.5".下列各组函数中，表示同一函数的是）y=%'x2和y=（\'x）2Iyl=lxl和y3=x3y=logax2和y=2logaxy=x和y=loga.若函数y=f%）的定义域是[2,4],则y=f（10glx）的定义域是（）2A.[2,1]B.[4,16]C.[-16,1]D.[2,4]4.函数fx)=log2(3x+1)的值域为()A.(0,+8)B.[0,+8)C.(1,+8)D.[1,+8).函数fx)=loga(x+b)(a>0且aW1)的图象经过(一1,0)和(0,1)两点，则次2)=..函数y=loga(x—2)+1(a>0且aW1)恒过定点.1.设a=log54,b=(log53)2,C=10845,则()B.b<c<aAB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c2.已知函数y=f2)的定义域为[一1,1],则函数y=>g2x)的定义域为()A.[-1,1]B.[2,2]C.[1,2]D.[\24].函数fx)=logaXI(a>0且a^1)<火8)=3,则有()A.f2)4-2)aB.f(1)f2)C.f-3>f-2)D.火一3)4-4).函数fx)=ax+log(x+1)在［0,1］上的最大值与最小值之和为，则a的值为("C.2D.4.已知函数f(x)=lg1TX，若fa)=b，则f—a)等于()1+xA.bB.一b1D.一b.函数y=3<-1Wx<0)的反函数是()y=10glx(x>0)y=log3x(x>0)y=log3x(30<1)y=10glx(30<1).函数fx)=lg(2x-b),若xN1时，fx)三0恒成立，则b应满足的条件是.函数y=logx当x>2时恒有lyl>1,则a的取值范围是..若10ga2<2,，则实数a的取值范围是..已知fx)=loga(3-ax)在x£［0,2］上单调递减，求a的取值范围.…，1一ax,一一.已知函数fx)=log的图象关于原点对称，其中a为常数.x一1⑴求a的值；⑵若当％£（1,+8）时，f（x）^log1（x-1）<m恒成立.求实数m的取值范围212.设函数fx）=logacfia>O,aW1）,若f（xvx2^x201t0）=8，则fx2）+f（xx2）^f/10）的值等于（）A.4B.8C.16D.210g4813.已知logm4<1og〃4,比较m与n的大小..在对数函数y=1ogax（a>0,且aW1）中，底数a对其图象的影响无论a取何值，对数函数尸10gx（a>0,且aW1）的图象均过点（1,0）,且由定义域的限制，函数图象穿过点（1,0）落在第一、四象限，随着a的逐渐增大，y=1ogax（a>1,且aW1）的图象绕（1,0）点在第一象限由左向右顺时针排列，且当0<a<1时函数单调递减，当a>1时函数单调递增..比较两个（或多个）对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，对数函数的单调性由“底”的范围决定，若“底”的范围不明确，则需分“底数大于1”和“底数大于0且小于1”两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值（如1或0等）来比较..已知m=,n=,p=，则这三个数的大小关系是（A.m<n<pB.m<p<nC.p<m<nD.p<n<m2.已知0<a<1,1ogam<1og/<0,则（）A.1<n<mB.1<m<nC.m<n<1D.n<m<13.函数y=\；E+1g^、的定义域是（）A.（1,2）B.[1,4]C.[1,2）D.（1,2]4.给定函数①=x2，②=1og1（x+1），⑨=x—11,④=2x比其中在区间0,1）上单调递减的函数序号是（）2A.®®C.③®B.②③D.@@5.设函数fx）=1ogaxl,则f。+1）与次2）的大小关系是6.若10g32=a,则10g38—21og36=.

一、题.下列不等号连接错误的一组是（）A.B.log34>log65log34>log56D.loge>loge2.若log37/og29/og49m=log42，则m等于（）4.设函数A.0B.-1.若函数fx）=loga（2x2+x.设函数A.0B.-1.若函数fx）=loga（2x2+x）（a>0，A.（-s，-）C.（0，+8）1D.2aW1）在区间（0，2）内恒有fx）>0，则fx）的单调递增区间为（乙（-4，+8）（-8，-1）.若函数若f（a>f-a），则实数a的取值范围是（）（-1,0）U（0,1）（一8，一1）U（1，+8）（-1,0）U（1，+8）（一8，一1）U（0,1）.已知fx）是定义在上的奇函数，八%）在（0，+8）上是增函数，且义3）=0，则不等式飒8x）<0的解集为（）（0，（0，2）C.（2