测量误差基本知识培训讲义PPT（内容全面）

第3章测量误差差基本知识3.1测量误差概述述一、测量误差差1.测量量误误差差（ObservationMagementError）观测测量量的的观观测测值值与与其其真真值值之之差差，，包包括括观观测测误误差差和和模模型型误误差差。。观测测误误差差：：观测测值值发发生生的的偏偏差差。。如如：：对同同一一量量进进行行多多次次观观测测，，其其结结果果通通常常略略有有差差异异。。模型型误误差差：：数学学模模型型不不恰恰当当而而导导致致待待求求量量发发生生的的偏偏差差。。如：：二、、观观测测误误差差产产生生的的原原因因1.仪器器的的原原因因（（InstrumentalErrors）每一一种种测测量量仪仪器器具具有有一一定定的的精确确度度，使使测测量量结结果果受受到到一一定定的的影影响响。。另另外外，，仪器器结结构构的的不不完完善善，也也会会引引起起观观测测误误差差。。2.观测测者者的的原原因因（（PersonalErrors）由于于观观测测者者的的感觉觉器器官官的的辨辨别别能能力力存在在局局限限性性，，在在仪仪器器对对中中、、整整平平、、瞄瞄准准、、读读数数等等操操作作时时都都会会产产生生误误差差。。3.外界界环环境境的的影影响响（（NaturalErrors）测量量作作业业环环境境的的温温度度、、气气压压、、湿湿度度、、风风力力、、日日光光照照射射、、大大气气折折光光、、烟烟雾雾等等客客观观情情况况时时刻刻在在变变化化，，使使测测量量结结果果产产生生误误差差。。例如如，，温温度度变变化化使使钢钢尺尺产产生生伸伸缩缩，，风风吹吹和和日日光光照照射射使使仪仪器器的的安安置置不不稳稳定定，，大大气气折折光光使使望望远远镜镜的的瞄瞄准准产产生生偏偏差差等等。。三、、测测量量误误差差的的分分类类与与处处理理原原则则1.系统统误误差差（（SystematicError）在相相同同的的观观测测条条件件下下，，对对某某一一量量进进行行一一系系列列的的观观测测，，如如果果出出现现的的误误差差在在符符号号和和数数值值上上都都相相同同，，或或按按一一定定的的规规律律变变化化，，这这种种误误差差称称为为系统统误误差差。如：：测测距距仪仪的的固固定定误误差差和和比比例例误误差差等等。。系统统误误差差对对观观测测结结果果的的影影响响具具有有累累积积性性，，因因而而对对成成果果质质量量的的影影响响也也特特别别显显著著。。但但由由于于它它具具有有规规律律性性，，可可采采用用下下列列方方法法消消除除或或削削弱弱其其影影响响：：计算算改改正正数数。。采用用一一定定的的观观测测方方法法。。2.偶然然误误差差（（AccidentError，&RandomError）在相相同同的的观观测测条条件件下下，，对对某某一一量量进进行行一一系系列列的的观观测测，，如如果果误误差差在在大大小小、、符符号号上上都都表表现现出出偶偶然然性性，，即即从从单单个个误误差差看看，，其其大大小小和和符符号号没没有有规规律律性性，，但但就就大大量量误误差差的的总总体体而而言言，，具具有有一一定定的的统统计计规规律律，，这这种种误误差差称称为为偶偶然然误误差差。。如读数数误误差差、、照照准准误误差差等等。。偶然然误误差差是是不不可可避避免免的的，，且且具具有有统统计计规规律律性性，，可可应应用用数数理理统统计计的的方方法法加加以以处处理理。。3.粗差差（（Blunder,&GrossError）观测测数数据据中中存存在在的的错错误误，，称称为为粗粗差差。。是是由由于于作作业业人人员员的的粗粗心心大大意意或或各各种种因因素素的的干干扰扰造造成成的的，，如瞄瞄错错目目标标、、读读错错大大数数，，光光电电测测距距、、GPS测量量中中对对载载波波信信号号的的干干扰扰等等。。粗差差必必须须剔剔除除，，而而且且也也是是可可以以剔剔除除的的。。4.误差差处处理理原原则则在进进行行观观测测数数据据处处理理时时，，按按照照现现代代测测量量误误差差理理论论和和测测量量数数据据处处理理方方法法，，可可以以消消除除或或减减弱弱系系统统误误差差的的影影响响；；探探测测粗粗差差的的存存在在并并剔剔除除之之；；对对偶偶然然误误差差进进行行适适当当处处理理，，来来求求得得被被观观测测量量的的最最可可靠靠值值。。四、、偶偶然然误误差差的的特特性性设某某一一量量的的真真值值为为X，在在相相同同的的观观测测条条件件下下对对此此量量进进行行n次观观测测，，得得到到的的观观测测值值为为l1，l2，…，ln，在在每每次次观观测测中中产产生生的的误误差差（（又又称称““真真误误差差””））为为Δ1，Δ2，…Δn，则则定定义义从单单个个偶偶然然误误差差来来看看，，其其符符号号的的正正、、负负和和数数值值的的大大小小没没有有任任何何规规律律性性。。但但是是，，如如果果观观测测的的次次数数很很多多，，观观察察其其大大量量的的偶偶然然误误差差，，就就能能发发现现隐隐藏藏在在偶偶然然性性下下面面的的必必然然规规律律。。进进行行统统计计的的数数量量越越大大，，规规律律性性也也越越明明显显。。下下面面结结合合某某观观测测实实例例，，用用统统计计方方法法进进行行说说明明和和分分析析。。实例例在某某一一测测区区，，在在相相同同的的观观测测条条件件下下共共观观测测了了358个三三角角形形的的全全部部内内角角，，由由于于每每个个三三角角形形内内角角之之和和的的真真值值（（180°°）为为已已知知，，因因此此，，可可以以上上式式计计算算每每个个三三角角形形内内角角之之和和的的真真误误差差Δi，将将它它们们分分为为负负误误差差和和正正误误差差，，按按误误差差绝绝对对值值由由小小到到大大排排列列次次序序。。以以误误差差区区间间dΔΔ=3″″进行行误误差差个个数数k的统统计计，，并并计计算算其其相相对对个个数数k／n（n＝358），，k／n称为为误误差差出出现现的的频频率率。。误差区间dΔ"负误差正误差误差绝对值KK/nKK/nKK/n0～3450.126460.128910.2543～6400.112410.115810.2266～9330.092330.092660.1849～12230.064210.059440.12312～15170.047160.045330.09215～18130.036130.036260.07318～2160.01750.014110.03121～2440.01120.00660.01724以上000000Σ1810．5051770．4953581.000由此此，，可可以以归归纳纳出出偶偶然然误误差差的的特特性性如如下下：：界限限性性：：在一一定定的的观观测测条条件件下下，，偶偶然然误误差差的的绝绝对对值值不不会会超超过过一一定定的的限限值值。。聚中中性性：：绝对对值值较较小小的的误误差差出出现现的的频频率率大大，，绝绝对对值值较较大大的的误误差差出出现现的的频频率率小小。。对称称性性：：绝对对值值相相等等的的正正、、负负误误差差具具有有大大致致相相等等的的出出现现频频率率。。抵偿偿性性：：当观观测测次次数数无无限限增增大大时时，，偶偶然然误误差差的的理理论论平平均均值值趋趋近近于于零零，，即即：：由上上图图可可以以看看出出：：偶偶然然误误差差的的出出现现符符合合正正态态分分布布，，其其分分布布曲曲线线的的方方程程式式为为：：+3+6+9+12+15+18+21+24X=ΔΔ-24-21-18-15-12-9-6-30式中中，，参参数数σ为观观测测误误差差的的标标准准差差。。从中中可可以以看看出出正正态态分分布布具具有有偶偶然然误误差差的的特特性性。。即即f(△△)是偶偶函函数数，，即即绝绝对对值值相相等等的的正正、、负负误误差差求求得得的的f(△△)相等等，，故故曲曲线线对对称称于于纵纵轴轴。。△越小小，，f(△△)越大大；；△越大大，，f(△△)越小小。。当△=0时，，f(△△)最大大，，其其值值为为当方差差为为偶偶然然误误差差平平方方的的理理论论平平均均值值：：标准准差差为为由上上式式可可知知，，标标准准差差的的大大小小决决定定于于在在一一定定条条件件下下偶偶然然误误差差出出现现的的绝绝对对值值的的大大小小。。由由于于在在计计算算标标准准差差时时取取各各个个偶偶然然误误差差的的平平方方和和，，因因此此，，当当出出现现有有较较大大绝绝对对值值的的偶偶然然误误差差时时，，在在标标准准差差的的数数值值大大小小中中会会得得到到明明显显的的反反映映。。3.2衡量量精精度度的的标标准准一、、精精度度（（Precision）测量量值值与与其其真真值值的的接接近近程程度度准确确度度（（Accuracy）：：表示示测测量量结结果果与与其其真真值值接接近近程程度度的的量量。。反反映映系系统统误误差差的的大大小小。。精密密度度（（Precision）：：表示示测测量量结结果果的的离离散散程程度度。。反反映映偶偶然然误误差差的的大大小小量量。。二、、衡衡量量精精度度的的指指标标1.中误误差差（（rootmeansquareerror）根据据偶偶然然误误差差概概率率分分布布规规律律，，以以标标准准差差σ为标标准准衡衡量量在在一一定定观观测测条条件件下下观观测测结结果果的的精精度度是是比比较较合合适适的的。。在测测量量中中定定义义：：按按有有限限次次观观测测的的偶偶然然误误差差求求得得的的标标准准差差为为中中误误差差，，用用m表示示，，即即两组组观观测测值值的的误误差差绝绝对对值值相相等等m1<m2，第一一组组的的观观测测成成果果的的精精度度高高于于第第二二组组观观测测成成果果的的精精度度次序第一组观测第二组观测观测值真误差Δ"Δ２观测值真误差Δ"Δ２１180°00ˊ03"-39180°00ˊ00"00２180°00ˊ02"-24179°59ˊ59"+11３179°59ˊ58"+24180°00ˊ07"-749４179°59ˊ56"+416180°00ˊ02"-24５180°00ˊ01"-11180°00ˊ01"-11６180°00ˊ00"00179°59ˊ59"+11７180°00ˊ04"-416179°59ˊ52"+864８179°59ˊ57"+39180°00ˊ00"00９179°59ˊ58"+24179°59ˊ57"+39１０180°00ˊ03-39180°00ˊ01"-11Σ||247224130中误差

-m2-m1+m1+m2XY不同同中中误误差差的的正正态态分分布布曲曲线线2.相对对误误差差（（relativeerror）观测测值值的的中中误误差差与与观观测测值值之之比比，，一一般般用用分分子子为为1的分分式式表表示示。。例如：用用钢卷尺尺丈量200m和40m两段距离离，量距距的中误误差都是是±2cm，可见其其精度相同同，但前者的相相对中误误差为0.02／200＝1／10000，而后者者则为0.02／40＝l／2000，显然前者的量量距精度度高于后后者。3.极限误差差（limiterror）根据正态态分布曲曲线，可可以表示示出偶然然误差出出现在微微小区间间dΔ中的概率率：根据上式式的积分分，可得得到偶然然误差在在任意大大小区间间中出现现的概率率。设以以k倍中误差差作为区区间，则则在此区区间中误误差出现现的概率率为：分别以k＝1，2，3代入上式式，可得得到偶然然误差的的绝对值值不大于于中误差差、2倍中误差差和3倍中误差差的概率率：由此可见见，偶然然误差的的绝对值值大于2倍中误差差的约占占误差总总数的5%，而大于于3倍中误差差的仅占占误差总总数的0.3%。一般进进行的测测量次数数有限，，2倍中误差差应该很很少遇到到，因此此，以2倍中误差差作为允允许的误误差极限限，称为为允许误误差，简简称“限限差”，，即Δ允＝2m现行测量规范范中通常取取2倍中误差差作为限限差。3.3误差传播播定律一、误差差传播定定律观测值的的误差对对观测值值函数的的影响。。用观测测值的中中误差去去表征待待求量中中误差的的数学模模型，则则为中误误差传播播定律。。二、线性性函数的的中误差差传播定定律设Xi（i=1,2,…,n）是一组组独立观观测量，，而Y是Xi的函数，，即：式中，系系数ai已知，且且假定无无误差。。设xij是第i个观测量量的第j次观测值值，则按按上式求求出待定定量的计计算值yj为：将（1）式减去去（2）式得：：当对Xi各观测k次时，上上式将共共有k个，分别别将各式式两边平方方，并对k个式求其和，再除以观测测次数k，考虑到到偶然误误差的抵偿性，可得：：顾及中误差的的定义公公式，并设Xi的中误差差为mi，则可得得：三、非线线性函数数的中误误差传播播定律设有非线线性函数数Y=f（X1，X2，…，Xn），Xi（i=1,2,…,n）为独立观测测量，并设Xi的中误差差为mi，为此，，可先将将非线性性函数线线性化，，然后再再按线性性函数处处理。四、误差差传播定定律的应应用1.步骤：列出正确确的函数数模型注意：模型符合合测量事事实；观观测量各各自独立立非线性函函数线性性化运用误差差传播定定律2.应用举例例例1：用尺长长为l的钢尺丈丈量距离离S，共丈量量4个尺段，，设丈量量一个尺尺段的中中误差为为m，试求S的中误差差。解一：应用误差差传播定定律得：：解二：应用误差差传播定定律得：：由两种解解算方法法的结果果可以看看出：距离S的中误差差不相等等，显然，，解二的的数学模模型是错错误的。。例2：设有函函数。。若X、Y为独立观观测量，，其观测测值中误误差为mx、my，试求U的中误差差。解一：由线性性中误差差传播定定律，显显然有：：则有：解二：由于应用线性性函数中中误差传传播定律律，得：：即：显然，这这两种解解法中至至少有一一种解法法是错误的。解法法一中由由于未考考虑观测测量的独立性，显然是是错误的的。例3：设有函函数若若观观测值d=180.23m，中误差差md=±0.05m；δ=61°°22′′10″″，其中误误差为mδ=±20″，试求y的中误差差。解：故有：思考题1、设自已知知点A向待定点点B进行水准准测量，，共观测测n站。设每每站的观观测精度度相同，，其中误误差为m站，试求A、B两点间高高差的中中误差。。2、设等精精度观测测n个三角形形的三个个内角，，获得n个三角形形内角和和的闭和和差，试试求测角角中误差差。例4：水平角角观测限限差的制制定水平角观观测的精精度与其其误差的的综合影影响有关关，对于于J6光学经纬纬仪来说说，设计计时考虑虑了有关关误差的的影响，，保证室室外一测回的的方向中中误差为为±6″。实际上上，顾及及到仪器器使用期期间轴系系的磨损损及其它它不利因因素的影影响，设设计精度度一般小小于±6″，新出厂厂的仪器器，其野野外一测测回的方方向中误误差小于于±6″，在精度度上有所所富裕。。对于水平平角观测测的精度度，通常常以某级级经纬仪仪的标称称精度作作为基础础，应用用误差传传播定律律进行分分析，求求得必要要的数据据，再结结合由大大量实测测资料经经统计分分析求得得的数据据，考虑虑系统误误差的影影响来确确定。下下面仅以以标称精精度为基基础进行行分析。。3.3误差传播播定律设J6经纬仪室室外一测回的的方向中中误差为：（1）一测回回角值的的中误差差（2）半测回回方向值值的中误误差（3）归零差差的限差差（4）同一方方向值各各测回较较差的限限差3.4等精度观观测值平平差一、等精精度观测测与非等等精度观观测等精度观观测在相同的的观测条条件下所所进行的的观测。。由等精精度观测测而获得得的观测测值称为为等精度度观测值值。非等精度度观测在不同的的观测条条件下所所进行的的观测。。由非等等精度观观测而获获得的观观测值称称为非等等精度观观测值。。二、测量量平差由于观测测结果不不可避免免地存在在偶然误误差的影影响，因因此，在在实际工工作中，，为提高高成果质质量，同同时也为为了检查查和及时时发现观观测值中中的粗差差，通常常进行多余观测测。（例如如：一个个平面三三角形，，只要观观测其中中的两个个内角，，即可确确定其形形状，但但通常是是观测三三个内角角）。由于偶然然误差的的存在，，通过多多余观测测必然会会发现观测结果果不一致致。因此，，必须对对带有偶偶然误差差的观测测值进行行处理，，使得消消除不符符值后的的结果，，可认为为是观测测值的最最可靠结结果。由由此可知知，测量量平差的的任务是是：（1）对一一系列列带有有观测测误差差的观观测值值，运运用概概率统统计的的方法法来消消除它它们之之间的的不符符值，，求出出未知知量的的最可可靠值值。（2）评定定测量量成果果的精精度测量平平差方方法严密平平差：：所依据据的准准则是是建立立在严严密的的理论论基础础之上上。如如：间间接平平差法法等（（见《测量平平差基基础》）近似平平差：所依依据的的准则则是建建立在在近似似的理理论基基础之之上，，亦称称简易平平差。。根据某某一待待求量量的一一系列列观测测值，，求出出其最佳估估值（（或最最或是是值））称为为直接观观测平平差，分为为等精度度直接接观测测平差差和不等精精度直直接观观测平平差。三、等等精度度直接接观测测值平平差1.算术平平均值值原理理在相同的的观测测条件件下，对对某个个未知知量进进行n次观测测，其其观测测值分分别为为l1，l2,…，ln，将这些些观测测值取取算术术平均均值，，作为为该量量的最最或是是值，，即：：现用偶偶然误误差的的特性性来证证明:设某一一量的的真值值为X，各次次观测测值为为l1，l2,…，ln，其相相应的的真误误差为为Δ1，Δ2，…，Δn，则将上列列等式式相加加，并并除以以n，得到到等式两两端取取极限限，则则由偶然然误差差的抵偿性性，有故故可可得：：2.观测值值的改改正数数及其其性质质观测值值的最最或是是值与与观测测值之之差，，即：：将上列列等式式相加加，得得即：一一组观观测值值的改改正值值之和和恒等等于零零。这这一特特性可可以作作为计算中中的校校核。3.等精度度观测测值的的中误误差根据真误差差计算等等精度度观测测值中中误差差由于真真值的的不可可知，，导致致真误误差的的不可可知。。但是是，有有时可可将理理论值值视为为真值值，例例如：：三角角形内内角和和为180°等。例4：设等等精度度观测测n个三角角形的的三个个内角角，试试根据据三角角形闭闭合差差计算算测角角中误误差。。解：三三角形形闭合合差：：根据中中误差差的定定义公公式得得三角角形闭闭合差差的中中误差差为：：而根据据中误误差传传播定定律，，可得得三角角形闭闭合差差的中中误差差为：：其中，，m为测角角中误误差。。将此此式代代入上上式得得：此式即即著名名的菲列罗罗公式式，通常常用于于计算算三角角测量量的测测角中中误差差。但但当三三角形形的个个数大大于20时，由由此公公式算算出的的测角角中误误差才才比较较可靠靠。根据观观测值值的改改正数数计算算其中中误差差设某量量的n个等精精度观观测值值为l1，l2,…，ln，其真真误差差和改改正数数为：：于是有有：将上列列n个等式式两边边分别别平方，并求其和和，再再除以以n，则有有：上式中中，，，考考虑到到中误误差的的定义义公式式，可可得：：4.算术平平均值值的中中误差差设观测测值的的中误误差为为m，算术术平均均值的的中误误差为为M，则应应用误误差传传播定定律于于算术术平均均值的的计算算公式式，则则有：：故算术术平均均值的的中误误差为为：例题对某一一距离离，在在相同同的条条件下下进行行6次观测测，其其观测测值为为：120.031m120.025m120.031m119.983m120.047m120.040m试求其其最可可靠值值，并并评定定测量量成果果的精精度。。解算见见下表表:次序观测值l（M）Δl（cm）改正值v(cm)vv(mm)计算x,m1120.031+3.1-1.41.962120.025+2.5-0.80.643119.983-1.7+3.411.564120.047+4.7-3.09.005120.040+4.0-2.35.296119.976-2.4+4.116.81Σ(l0=120.000)10.20.045.26思考题题:今有四四个观观测小小组对对同一一个水水平角角进行行观测测，第第一组组观测测2个测回回，水水平角角值为为l1，第二二小组组观测测4个测回回，水水平角角值为为l2，第三三小组组观测测6个测回回，水水平角角值为为l3，第四四小组组观测测8个测回回，水水平角角值为为l4，试计计算其其最可可靠值值，并并评定定测量量成果果精度度。3.5权倒数数传播播律一、权权的概概念1.权（weight）衡量观观测值值（或或估值值）及及其函函数的的相对对可靠靠程度度的一一种指指标。。通常常用P表示。。权的定定义公公式为为：上式表表明：：在一一组观观测值值中，，某观观测值值的权权与其其中误误差的的平方方成反反比，，而μ2为比例例系数数，可任意意选取取，但但对于于同一一个观观测问问题，，应在在数据据处理理前确确定，，并在在计算算过程程中保保持不不变。。2.单位权权（unitweight）数值等等于1的权。。此时时，有有，，当当二者者单位位相同同时，，称μ为单位权权中误误差。此时时的观观测值值为单单位权权观测测值。。3.权的特特性权只能能反映映观测测值之之间的的相对精精度，在反反映观观测值值精度度时，，起作作用的的不是是权本本身的的大小小，而而是权权之间间的比比例关关系。。权既可可反映映同一一类量量的若若干个个观测测值之之间的的精度度高低低，也也可反反映不同类类量的观测测值之之间的的精度度高低低。4.权的确确定根据权权的定定义公公式确确定权权例1：已知知一组组角量量观测测值X1、X2、X3的中误误差m1=±2″；m2=±4″；m3=±8″，试求求各观观测值值之权权。解一：：解二：：由上例例可以以看出出，系系数μ改变，，各观观测值值的权权亦改改变，，但观观测值值之间间的权之比比并未改改变。。距离测测量中中根据据边长长确定定权例2：按同同等精精度丈丈量三三条边边长，，得S1，S2，S3，相应应的长长度为为3km，4km，6km。试确确定三三条边边边长长观测测值的的权。。解：由由于按按同精精度丈丈量，，所以以每千千米的的丈量量中误误差相相同。。设每每千米米丈量量中误误差为为mkm，则边边长Si的中误误差为为：将其代代入权权的定定义公公式得得：本例中中，取取C为12km，则得得S1，S2，S3的权分别为为4，3，2。此时S为12km时的权为1。也就意味味着，以12km的观测为单单