参数估计和假设检验课件

理解抽样分布的意义了解抽样分布的形成过程中心极限定理参数估计假设检验的基本原理总体均值和成数的单样本检验第七章参数估计和假设检验一、分布的类型总体分布：总体内个体数值的频数分布。样本分布：样本内个体数值的频数分布。抽样分布：某一样本统计量的概率分布。频率分布与概率分布的区别经验分布：频率分布是经资料整理而来;频率分布随样本不同而不同;频率分布有对应的频数分布。理论分布：概率分布是先验的；概率分布是唯一的；概率分布无频率分布所对应的频数分布。样本统计量的概率分布，是一种理论分布在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可能取值形成的相对频数分布。

结果来自容量相同的所有可能样本提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据二、抽样分布(samplingdistribution)抽样分布的形成过程总体计算样本统计量如：样本均值、比例、方差样本例题分析例：设一个总体，含有4个元素(个体)，即总体单位数N=4。4个个体分别为x1=1，x2=2，x3=3，x4=4。总体的均值、方差如下

现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第一个观察值所有可能的n=2的样本（共16个）计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第一个观察值16个样本的均值（x）x样本均值的抽样分布1.000.10.20.3P

(x)1.53.04.03.52.02.5=2.5σ2=1.25总体分布14230.1.2.3抽样分布P(x)1.00.1.2.31.53.04.03.52.02.5x2.中心极限定理=50

=10X总体分布n=4抽样分布xn=16当总体服从正态分布N(μ,σ2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值x也服从正态分布，x

的数学期望为μ，方差为σ2/n。即x～N(μ,σ2/n)当样本容量足够大时(n

30)，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布中心极限定理：设从均值为，方差为

2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布一个任意分布的总体x3.抽样分布与总体分布的关系总体分布正态分布非正态分布大样本小样本正态分布正态分布非正态分布样本均值的数学期望样本均值的方差4.样本均值抽样分布的数学期望与方差比较及结论：1.样本均值的均值(数学期望)等于总体均值2.样本均值的方差等于总体方差的1/n5.标准误(standarderror)

样本统计量的抽样分布的标准差，称为统计量的标准误，也称为标准误差，也称抽样标准差。标准误衡量的是统计量的离散程度，它测度了用样本统计量估计总体参数的精确程度。以样本均值的抽样分布为例，在重复抽样条件下，样本均值的标准误为

4.标准差的英文为：standarddeviation6.总体标准差σ的无偏估计量总体标准差在一般情况下是未知的，它需要用样本标准差来估计。7.平均数标准误的估计值当计算标准误时涉及的总体参数未知时，用估计量S来代替，于是在重复抽样条件下，样本平均数标准误的估计值为8.样本平均数与总体平均数离差统计量的形态当总体标准差已知时，一切可能样本平均数与总体平均数的离差统计量呈标准正态分布。8.样本平均数与总体平均数离差统计量的形态当总体标准差未知时，一切可能样本平均数与总体平均数的离差统计量用t表示，呈t分布。1定义：由小样本统计量形成的概率分布。2t分布的特点t分布是对称分布。平均数位于曲线中央，在这一点上有一个单峰，从中央向两侧逐渐下降，尾部无限延长，但不与基线相交。分布曲线的形状易变，曲线不是一条而是一族，其曲线形状随着样本容量即随自由度的大小而有规律地变动。t分布t分布当n→∞时，分布曲线以标准正态曲线为极限，即呈正态分布。通常把自由度较大的t分布当作正态分布来处理。当n逐渐减少时，分布的离散程度逐渐增大，曲线逐渐与标准正态分离；其峰顶逐渐下降，尾部抬高。t分布的值及对应的概率值（p）是根据自由度的大小由理论模型推导出来的，构成t分布临界值。

t分布的自由度df=n－1。标准正态分布与t分布图图标准正态分布与t分布t分布表中的概率图df=20时t分布的双侧概率参数估计假设检验统计方法描述统计推断统计四、参数估计定义当总体参数不清楚时，用一个特定值（一般常用样本统计量）进行估计，这类问题就是点估计。统计量为数轴上某一点值，所以称为点估计。例如：用样本均值直接作为总体均值的估计例如：用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计（一）点估计（1）无偏性。指如果用多个样本的统计量作为总体参数的估计值时，有的偏大，有的偏小，而偏差的平均数为0，这时，这个统计量就是无偏估计量。如果用某个统计量估计总体的误差平均数大于0或小于0，这个统计量就是有偏统计量。总体参数的良好估计值，应具备无偏性。（2）一致性。所谓一致性是指当样本容量无限增大时，估计值应能越来越接近它所估计的总体参数。（3）有效性。是指当总体参数的无偏估计不止一个统计量时，无偏估计变异性小者有效性高，变异大者有效性低。标准缺点：没有给出估计值接近总体参数程度的信息。（二）区间估计

区间估计是用数轴上的一段距离表示未知参数可能落入的范围，它虽不具体指出总体参数等于什么，但能指出总体的未知参数落入某一区间的概率有多大。根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量。比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是.95样本统计量

(点估计)置信区间置信下限置信上限由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间；统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间；

用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值；我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个。相关概念：置信区间置信区间

(95%的置信区间)重复构造出的20个置信区间点估计值统计分析中一般规定：正确估计的概率，也即置信水平为.95或.99，那么显著性水平则为.05或.01，这是依据.05或.01属于小概率事件，而小概率事件在一次抽样中是不可能出现的原理规定的。置信度：又称显著性水平，意义阶段，信任系数等，是指估计总体参数落在某一区间时，可能犯错误的概率，用符号α表示。（0.05—Z*、0.01—Z**、0.001—Z***）置信区间：或称置信间距，是指在某一置信度时，总体参数所在的区域距离或区域长度。相关概念：置信水平、置信度、置信区间置信区间与置信水平样本均值的抽样分布(1-)%区间包含了%的区间未包含1–a

a/2a/2区间估计的具体步骤确定样本平均数的分布形态——Z或T；计算样本分布的标准误；查表确定置信度；计算一定置信度前提下的置信区间假定条件总体服从正态分布如果不是正态分布，可由正态分布来近似(n>30)使用正态分布统计量z总体均值在1-置信水平下的置信区间为（三）总体均值的区间估计1.总体方差已知条件下的总体平均数的区间估计【例】一家保险公司收集到由36投保个人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄(周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间36个投保人年龄的数据233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532解：已知n=36,1-=90%，z/2=1.645。根据样本数据计算得：

总体均值在1-置信水平下的置信区间为投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁练习：

有一个49名学生的班级，某学科历年考试成绩的σ=5，又知今年某次考试成绩是85分，试推论该班某学科学习的真实成绩分数。2.总体方差未知条件下总体平均数的区间估计假定条件总体服从正态分布,且方差(２)

未知小样本(n<30)使用t分布统计量总体均值在1-置信水平下的置信区间为总体均值的区间估计(例题分析)例：已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(小时)如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间。16灯泡使用寿命的数据1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470解：已知Ｘ~N(，2)，n=16,1-=95%，t/2=2.131根据样本数据计算得：，

总体均值在1-置信水平下的置信区间为该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8小时～1503.2小时2.总体方差未知条件下总体平均数的区间估计假定条件总体服从正态分布,且方差(２)

未知大样本(n>30)使用正态分布统计量总体均值在1-置信水平下的置信区间为练习：某班49人期末考试成绩为85分，标准差S＝6，假设此项考试能反映学生的学习水平，试推论该班学生学习的真实成绩分数?总体分布样本容量σ已知σ未知正态分布大样本小样本非正态分布大样本总体分布为非正态时，若n<30，不能用概率对其样本分布进行推论。第三节假设检验的基本原理某心理学家认为，一般汽车司机视反应时平均175ms。有人随机抽取26名司机为样本测定，结果平均180ms，标准差20ms。能否根据测试结果否定心理学家的结论？（假定视反应符合正态分布）一、假设

假设是对总体参数的具体数值所作的陈述。总体参数包括总体均值、比率、方差等分析之前必须陈述我认为这种新药的疗效比原有的药物更有效!假设的类型（1）虚无假设（零假设）（2）研究假设（备择假设）虚无假设定义：研究者根据样本信息期待拒绝的假设。

符号：H0

内容：假设两个均数之间的差异是抽样误差。在假设检验中将被视作已知条件应用，因此一般是一个相对比较明确的陈述命题。等号“=”一般都是放在原假设上。

表示方式也称作零假设、原假设或解消假设。虚无假设常常是根据已有的资料，或根据周密考虑后确定的，是已有的、具有稳定性的经验看法，是保守、受到保护的，没有充分根据，是不会被轻易否定的。例如，根据以往资料，某地女青年的平均初婚年龄是25岁。但今年根据100名女青年的随机抽样调查，得到的平均初婚年龄是26岁，问能否认为该地女青年的初婚年龄比以往已有所推迟？研究假设定义：研究者想收集证据予以支持的假设。符号：H1、Ha

内容：假设两均数之间存在真实的差异。备择假设作为虚无假设的对立假设而存在，因此它也是一个陈述命题。备择假设是对虚无假设的否定。表示方法：也称作备择假设、对立假设。虚无假设和备择假设的关系原假设和备择假设是一个完备事件组，而且相互对立，作假设时一定要将两个假设同时列出。由于虚无假设要作为检验的已知条件，而备择假设仅是备以待择，是虚无假设被拒绝后供人们采择的假设，故虚无假设一定在前，备择假设一定在后。但一般先确定备择假设，再确定原假设。从逻辑上看两者是非此即彼的，假设中一定有一个而且也仅有一个是正确的；两个假设不可能同时成立，但也不可能同时不成立；两个假设中若有一个被证实是错误的话，那么另一个假设就自然是正确的。因研究目的不同，对同一问题可能提出不同的假设(也可能得出不同的结论)【例】一种零件的生产标准是直径应为10cm，为对生产过程进行控制，质量监测人员定期对一台加工机床检查，确定这台机床生产的零件是否符合标准要求。如果零件的平均直径大于或小于10cm，则表明生产过程不正常，必须进行调整。试陈述用来检验生产过程是否正常的原假设和备择假设。提出假设(例题分析)解：研究者想收集证据予以证明的假设应该是“生产过程不正常”。建立的原假设和备择假设为

H0：

10cmH1：

10cm【例】某品牌洗涤剂在它的产品说明书中声称：平均净含量不少于500克。从消费者的利益出发，有关研究人员要通过抽检其中的一批产品来验证该产品制造商的说明是否属实。试陈述用于检验的原假设与备择假设。提出假设(例题分析)解：研究者抽检的意图是倾向于证实这种洗涤剂的平均净含量并不符合说明书中的陈述。建立的原假设和备择假设为

H0：

500H1：

<500500g【例】一家研究机构估计，某城市中家庭拥有汽车的比率超过30%。为验证这一估计是否正确，该研究机构随机抽取了一个样本进行检验。试陈述用于检验的原假设与备择假设。提出假设(例题分析)解：研究者想收集证据予以支持的假设是“该城市中家庭拥有汽车的比率超过30%”。建立的原假设和备择假设为

H0：

30%H1：

30%假设检验：先对总体的参数(或分布形式)提出某种假设，然后利用样本信息判断假设是否成立的过程。逻辑上运用反证法，统计上依据小概率原理二、小概率事件常常把概率取值小于0.05的随机事件称为小概率事件。但小概率事件毕竟不是不可能事件，小概率事件还是会发生的。小概率事件原理就是认为小概率事件在一次抽样中不可能发生的原理。在实际工作中，人们常常按照小概率事件原理对随机现象作决策判断，这是一种科学的思维方式。在统计假设检验中，公认的小概率事件的概率值被称为统计假设检验的显著性水平，记为α,α值必须在每一次统计检验之前就取定。在教育统计学中，α值常取0.05和0.01两个水平，偶尔也有取0.001的。在假设检验中，α的取值越小，称此假设检验的显著性水平越高。小概率由研究者事先确定，在一次试验中小概率事件一旦发生，我们就有理由拒绝原假设。三、显著性水平1.原假设为真时，拒绝原假设的概率。2.它是事先指定的犯第Ⅰ类错误概率的最大允许值3. 常用的

值有0.01，0.05，0.104. 由研究者事先确定5.拒绝原假设，则表明检验的结果是显著的不拒绝原假设，表明检验的结果是不显著的/

2

/

2Z拒绝拒绝H0值样本统计量样本统计量四、检验方法（一）双尾（侧）检验（二）单尾（侧）检验（一）双尾（侧）检验1定义：拒绝性概率置于理论分布两尾。2使用：结果或方向不确定时。3意义：只推断有无差异，不断言方向Z（CR）P值显著性符号＜1.96＞0.05不显著≥1.96≤0.05显著*≥2.58≤0.01极显著**/

2

/

2Z拒绝拒绝H0值样本统计量样本统计量双侧检验（二）单尾（侧）检验定义：拒绝性概率置于理论分布一尾。使用：结果或方向确定时。意义：即推断有无差异，又断言方向。类型（1）右尾检验（2）左尾检验右尾检验定义：拒绝性概率置于理论分布的右尾。使用：能确定一个总体大于另一总体时。假设形式：H0：μ≤μ0H1：μ＞μ0右侧检验H0值a拒绝域抽样分布1-置信水平计算出的样本统计量左尾检验定义：拒绝性概率置于理论分布的左尾。使用：能确定一个总体小于另一总体时。假设形式：H0：μ≥μ0H1：μ＜μ0

左侧检验H0值a样本统计量拒绝域抽样分布1-置信水平计算出的样本统计量双侧检验与单侧检验

(假设的形式)假设双侧检验单侧检验左侧检验右侧检验原假设H0:m

=m0H0:m

m0H0:m

m0备择假设H1:m

≠m0H1:m

<m0H1:m

>m0决策时的几种逻辑情况：①H0为真，拒绝了H0

②H0为真，接受了H0③H0不真，接受了H0④H0不真，拒绝了H0

五、假设检验中的两类错误五、假设检验中的两类错误

第Ⅰ类错误(弃真错误)原假设为真时拒绝原假设第Ⅰ类错误的概率记为被称为显著性水平第Ⅱ类错误(取伪错误)原假设为假时未拒绝原假设第Ⅱ类错误的概率记为(Beta)拒绝域H1为真时的分布不拒绝H0，认为样本来自u=u0的总体拒绝H0，认为样本部来自u=u0的总体实际情况样本来自u=u0的总体判断正确判断错误：Ⅰ型错误样本来自u=u1的总体判断错误：Ⅱ型错误判断正确H0为真时的分布H0:无罪假设检验中的两类错误(决策结果)陪审团审判裁决实际情况无罪有罪无罪正确错误有罪错误正确H0检验决策实际情况H0为真H0为假未拒绝H0正确决策(1–a)第Ⅱ类错误(b)拒绝H0第Ⅰ类错误(a)正确决策(1-b)假设检验就好像一场审判过程统计检验过程错误和

错误的关系你不能同时减少两类错误!和的关系就像翘翘板，小就大，大就小两类错误的控制α错误：控制显著性水平。

①实验条件控制较好：α=0.05②实验条件难于控制：α=0.01或更高β错误的影响因素与控制①实际值与假设值相差越大，β越小。②α越小，β越大。同时控制，增加n。③α、n固定时，适当的检验类型可减小β。1.提出（或建立）假设H0：H1：2.规定显著性水平（1）α=0.05（2）α=0.013.计算检验统计量4.比较与决策六、假设检验的一般过程根据样本观测结果计算得到的，并据以对原假设和备择假设作出决策的某个样本统计量对样本估计量的标准化结果原假设H0为真点估计量的抽样分布检验统计量标准化的检验统计量决策规则给定显著性水平，查表得出相应的临界值z或z/2，t或t/2将检验统计量的值与水平的临界值进行比较将统计量的值与临界值进行比较，作出决策统计量的值落在拒绝域，拒绝H0，否则不拒绝H0

双侧检验：│统计量│>临界值，拒绝H0

左侧检验：统计量<-临界值，拒绝H0

右侧检验：统计量>临界值，拒绝H0也可以直接利用统计量对应的P值作出决策：

p值<，拒绝H0双侧检验的P值/

2

/

2

Z拒绝H0拒绝H00临界值计算出的样本统计量计算出的样本统计量临界值1/2P值1/2P值左侧检验的P值0临界值a样本统计量拒绝H0抽样分布1-置信水平计算出的样本统计量P值右侧检验的P值0临界值a拒绝H0抽样分布1-置信水平计算出的样本统计量P值第四节总体平均数的显著性检验检验统计量确定的因素

1.样本容量的大小

2.总体分布形状

3.总体方差是否已知总体均值检验统计量主要有

1.z检验统计量

2.t检验统计量σ2已知σ2未知Z检验t检验

一、总体正态σ2已知σ2未知t检验或渐近正态法或二总体非正态，n≥30三检验过程

1.条件分析（1）双尾或单尾检验？（2）σ2已知否？（3）总体正态否？（4）Z检验、t检验或Z’检验？2.建立假设：H0，H13.求检验值4.比较决策例：某心理学家认为，一般汽车司机视反应时平均175ms。有人随机抽取26名司机为样本测定，结果平均180ms，标准差20ms。能否根据测试结果否定心理学家的结论？（假定视反应符合正态分布）条件分析：双尾检验σ2未知总体正态t检验步骤：①

建立假设②求检验值均数标准误：t值：③比较决策例：全区物理统一考试，成绩分布服从正态分布，平均分为50，标准差为10。某校一个班41人，平均分52.5，问该班物理成绩与全区平均成绩的差异是否显著？双尾检验σ2已知总体正态Z检验例：某省进行数学竞赛，结果分数分布非正态，总平均43.5。某县参赛学生168人，平均45.1，标准差18.7。试问该县平均分与全省平均分有无显著差异？双尾检验σ2未知总体非正态Z’检验或t检验例：有人调查早期教育对儿童智力发展的影响，从受过良好早期教育的儿童中随机抽样70人进行韦氏儿童智力测验，结果M=108。能否认为受过良好早期教育的儿童智力高于一般水平？单尾检验σ2已知总体正态Z检验是否已知小样本容量n大是否已知否t检验否z检验是z检验

是z检验复习医学上测定，正常人的血色素应该是每100毫升13克，某学校进行抽查，37名学生血色素平均值为12.1克/100毫升，标准差为1.5克/100毫升。试问该校学生的血色素是否显著低于正常值？第七章两个总体均值之差的检验1.检验内容：2.样本性质（1）独立样本：从两无关总体抽取的两个样本。（2）相关样本：从相关总体抽取的两个样本。eg同组比较：同组前后比较。（3）配对样本：同质被试两两配对形成样本的先后比较。一、两个总体均值之差的检验的基本原理从第一个总体中抽取一个样本算出平均数，再从第二个总体中抽取一个样本算出平均数。记当两个总体都是正态分布，则样本平均数差异的分布仍为正态分布。均数之差的标准误N1，1

N2，2

样本总体3.平均数之差的平均数与标准误4.检验过程假设双侧检验左侧检验右侧检验假设形式H0：m1-m2=0H1：m1-m20

H0：m1-m20H1：m1-m2<0H0：m1-m20

H1：m1-m2>0统计量12，

22已知Z12，

22未知t拒绝域P值决策拒绝H0相关样本的标准误二、σ12、σ22已知时，平均数差异的显著性检验独立样本的标准误检验统计量练习从某地区的六岁儿童中随机抽取男生30人，测量身高，平均为114cm；抽取女生27人，平均身高为112.5cm。根据以往积累资料，该地区六岁男童身高的标准差为5cm，女童身高标准差为6.5cm。能否根据这一次抽样测量的结果下结论：该地区六岁男女儿童身高有显著差异。练习某幼儿园在儿童入园时对49名儿童进行了比奈智力测验（σ=16），结果平均智商为106，一年后再对同组被试施测，结果平均智商为110，一直两次测验结果的相关系数r=0.47，问能否说随着年龄的增长与一年的教育，儿童智商有了显著提高。相关样本二、σ12、σ22未知时，平均数差异的显著性检验从某中学二年级随机抽取学生50名作为样本，在学期初进行了一次阅读测验，平均数为55，标准差为5；期未又进行一次类似测验，平均数为60，标准差为7；两次测验的相关为0.6。试问经过一学期，该年级学生的阅读水平是否有显著性提高？练习从某中学随机抽取初三10名学生，学期初进行了推理能力测验，期末又进行类似测验，结果如下。问其推理能力有无显著差异？编号学期初学期末111142151531514414145101161314711158121191314101214练习1.某班45名学生先后用A、B两种学习方法进行学习，学习后分别进行类似的测验，结果如下表。试问两种方法有无显著不同？学法nMSrA45808B4578120.65作业

2.从小学三年级随机抽取10名儿童，分别在学期初与学期末进行类似的数运算测验，结果如下表。试问学生的数运算成绩是否有显著的提高？学期初12131211101314151511学期末14141115111414141514作业

3.某心理学家认为RNA可以促进记忆力，因此有助于老鼠的迷津学习。他以随机抽样的方法抽取24只老鼠，随机分为实验组和控制组，每组12支。实验组注射RNA，控制组注射生理盐水，然后在同样的条件下进行迷津学习实验，结果如下表。是否可以说接受RNA注射的老鼠比未注射的学习成绩好？

实验组292732253330362833283229控制组223128272932262731282530作业独立大样本（n1和n2都大于30）三、σ12、σ22未知时，平均数差异的显著性检验σ12、σ22未知时练习高一学生英语测验成绩如下表，问男女生英语测验成绩是否有显著性差异？性别人数样本平均数样本标准差男女18017476.578.211.510.5两个总体均值之差的检验

(独立大样本检验方法的总结)假设双侧检验左侧检验右侧检验假设形式H0：m1-m2=0H1：m1-m20

H0：m1-m20H1：m1-m2<0H0：m1-m20

H