弹塑性力学-结构的塑性极限分析

1第十十章章结结构构的的塑塑性性极极限限分分析析梁的的弹弹塑塑性性弯弯曲曲塑性性极极限限分分析析定定理理和和方方法法梁的的极极限限分分析析圆板板的的极极限限分分析析梁模模型型法法计计算算圆圆板板和和环环板板的的塑塑性性极极限限载载荷荷2§10－1梁的的弹弹塑塑性性弯弯曲曲一．．基基本本假假定定平截截面面假假设设：：在在变变形形过过程程中中，，变变形形前前为为平平面面的的横横截截面面，，变变形形后后仍仍保保持持为为平平面面，，且且与与变变形形后后梁梁的的轴轴线线垂垂直直。。bhzyPxl/2l/2Pl/4sxsx纵向向纤纤维维互互不不挤挤压压：：不不计计挤挤压压应应力力，，横横截截面面上上只只有有正正应应力力。。小挠挠度度假假设设：：在在梁梁达达到到塑塑性性极极限限状状态态瞬瞬间间之之前前，，挠挠度度与与横横截截面面尺尺寸寸相相比比为为一一微微小小量量，，可可用用变变形形前前梁梁的的尺尺寸寸进进行行计计算算。。3二．．弹弹性性阶阶段段Mises屈屈服服条条件件：：弹性性极极限限弯弯矩矩弹性性极极限限载载荷荷Pxl/2l/2bhzy4三．．弹弹塑塑性性阶阶段段（（约约束束塑塑性性变变形形阶阶段段））塑性性区区扩扩展展zPxl/2l/2zo弹塑塑性性区区交交界界线线：：5Pxl/2l/2zo弹塑塑性性区区交交界界线线：：Pl/46四．．全全塑塑性性阶阶段段Pxl/2l/2zo塑性性极极限限弯弯矩矩塑性极限载荷荷z确定塑性区位位置7塑性铰：在全全塑性阶段，，跨中截面的的上下两塑性性区相连，使使跨中左右两两截面产生像像结构（机械械）铰链一样样的相对转动动－－塑性铰铰。特点：塑性铰的存在在是由于该截截面上的弯矩矩等于塑性极极限弯矩；故故不能传递大大于塑性极限限弯矩的弯矩矩。塑性铰是单向向铰，梁截面面的转动方向向与塑性极限限弯矩的方向向一致。否则则将使塑性铰铰消失。Pxl/2l/2zoPxl/2l/2z8例题：悬臂梁梁在自由端受受集中力，求求弹性极限载载荷、塑性极极限载荷、弹弹塑性分界线线。Pxlzo解：bhzy9Pxlzoz10一．有关塑性性极限分析的的基本概念弹塑性分析方方法的缺点：：§10－2塑性极限分析析定理与方法法（1）分析三个状状态：弹性状状态、弹塑性性状态、塑性性状态。（2）了解整个加加载过程。（3）材料本构关关系是非线性性的，只能求求解简单问题题。塑性极限状态态：理想塑性体承承受的载荷达达到一定的数数值时，即使使载荷不再增增长，塑性变变形也可自由由发展，整个个结构不能承承受更大的载载荷，这种状状态称为塑性性极限状态。。塑性极限载荷荷：塑性极限状态态对应的载荷荷。11塑性极限分析析的基本假定定：（1）材料是理想想刚塑的，不不计弹性变形形和强化效应应。（2）变形是微小小的。（3）比例加载。。（所有外载载荷都按同一一比例增加。。）结构在塑性极极限状态应满满足的条件：：（1）平衡条件：：平衡微分方方程和静力边边界条件。（2）极限条件：：达到塑性极极限状态时内内力场不违背背的条件（屈屈服条件。））（3）破坏机构条条件：塑性极极限状态下结结构丧失承载载能力时形成成破坏机构的的形式。（表表征结构破坏坏时的运动趋趋势或规律，，要求不引起起物体的裂开开或重合－几几何方程，且且被外界约束束的物体表面面上满足位移移和速度边界界条件。）塑性极限分析析的完全解：：满足平衡条件件、极限条件件、破坏机构构条件的解。。12二．虚功原理理和虚功率原原理虚功原理：在外力作用下下处于平衡的的变形体，若若给物体一微微小的虚变形形（位移）。。则外力的虚虚功必等于应应力的虚功（（物体内储存存的虚应变能能）。VSTFiSuui虚变形（位移移）：结构约约束所允许的的无限小位移移。13证明：平衡方程：边界条件：Green公式：体力为零时：：14虚功率原理：：在外力作用下下处于平衡的的变形体，若若给物体一微微小的虚变形形（位移）。。则外力的虚虚功率必等于于应力的虚功功率。体力为零时：：满足平衡方程程和面力边界界条件（静力力允许的应力力场）虚应变率场（（机动允许的的）虚速度场（机机动允许的））15下限定理：静力允许的内内力场：满足足平衡条件（（平衡微分方方程和面力边边界条件），，不违背屈服服条件的内力力场。sPis:静力允许载荷荷系数[放松破坏机构构条件（几何何方程、位移移和速度边界界条件）]真实内力场：：满足静力平平衡条件、屈屈服条件、破破坏机构条件件的内力场。。真实内力场一一定是静力允允许的内力场场。结构破坏时真真实内力场对对应的塑性极极限载荷系数数：l三．塑性极限限分析定理下限定理：作作何一个静力力允许的内力力场所对应的的载荷是极限限载荷的下限限。[静力允许载荷荷系数是极限限载荷系数的的下限：sl]16证明：sl极限状态下：：静力允许的内内力场：q虚功率原理：：由Druker公设：极限曲曲面是外凸的的。Pi在真实速度上上的功率为正正sl172.上限定理：机动允许的位位移（速度））场：满足破破坏机构条件件（几何方程程和位移、速速度边界条件件），外力做做功为正的位位移（速度））场。[放松极限条件件，选择破坏坏机构，并使使载荷在其位位移场上做功功为正]三．塑性极限限分析定理上限定理：作何一个机动动允许的位移移（速度）场场所对应的载载荷是极限载载荷的上限。。[机动允许载荷荷系数是极限限载荷系数的的上限：kl]破坏载荷：机机动允许的位位移场所对应应的载荷。kPk：机动允许载载荷系数破坏机构所对对应的内力场场不一定满足足极限条件，，一般情况下下：k＞l破坏机构是极极限状态下的的机构，对应应的内力场是是静力允许的的：l=k18证明：kl设机动允许的的位移（速度度）场破坏载荷：q虚功率原理：：由Druker公设：极限曲曲面是外凸的的。Pi在真实速度上上的功率为正正应力场：kl19下限定理：作何一个静力力允许的内力力场所对应的的载荷是极限限载荷的下限限。[静力允许载荷荷系数是极限限载荷系数的的下限：sl]上限定理：作何一个机动动允许的位移移（速度）场场所对应的载载荷是极限载载荷的上限。。[机动允许载荷荷系数是极限限载荷系数的的上限：kl]slks＝l＝k：同时满足三个个条件，l为完全解。sl：下限解－－静静力法。lk：上限解－－机机动法。20静力法（1）取满足平衡衡条件且不违违背屈服条件件（极限条件件）的应力（（内力）场。。（建立静力力允许的应力力场）（2）由静力允许许的应力（内内力）场确确定所对应的的载荷，且为为极限载荷的的下限：Pl-=sP（3）在多个极限限荷的下限解解中取：Plmax-（4）检查：若结结构成为破坏坏机构，存在在一个对应的的机动允许的的位移场，则则：Plmax-=Pl。否则：Plmax-为Pl的一个下限解解（近似解））四．塑性极限限分析方法212.机动法（1）选择一个破破坏机构（几几何上允许的的、外力做功功为正），建建立机动允许许的位移场。。（2）由内功率等等于外功率求求破坏载荷，，且为极限载载荷的上限：：Pl+=kP（3）在多个破坏坏荷中取最小小值：Plmin+（4）检查：若内内力场是静力力允许的，即即不违背极限限条件，则：：Plmin+=Pl。否则：Plmin+为Pl的一个上限解解（近似解））四．塑性极限限分析方法22§10－3梁的塑性极限限分析一．静定梁的的极限分析极限弯矩：梁梁弯曲时某截截面上的正应应力值处处等等于屈服极限限（屈服强度度），则该截截面屈服，它它不能继续抵抵抗弯曲变形形，对应的弯弯矩值称为极极限弯矩Mp。塑性铰：凡弯弯矩值达到极极限弯矩Mp的截面，都将将丧失继续抵抵抗弯曲变形形的能力，即即在保持弯矩矩值为Mp的情况下，截截面两侧可无无限地顺着弯弯矩的转向相相对转动，形形成尖角，使使挠曲线不光光滑，曲率趋趋于无穷大，，这同该截面面处两侧杆用用铰连接相似似，故称为塑塑性铰。（1）单向转动。。（2）在塑性铰处处有弯矩作用用。静定结构的基基本特点：（1）无多余联系系，内力可以以由静力平衡衡方程唯一确确定，内力与与结构的变形形无关（小变变形）。（2）在静定结构构中，只要有有一个（一部部分）截面屈屈服，结构就就变成机构（（破坏机构）），且最先屈屈服的截面总总是内力最大大的截面。23bhzyPxl/2l/2Pl/4静定梁的极限限分析方法：：作静定梁的弯弯矩图。2.令最大弯矩等等于塑性极限限弯矩，求极极限载荷。静定梁的内力力是静力允许许的，对应的的机构又是机机动允许的，，得到的极限限载荷是完全全解。24例：确定下列列静定梁的极极限载荷。Pl（1）Plql（2）ql2/225例：确定下列列静定梁的极极限载荷。ql2/2ql/2（3）l/2ABCAB：3MpBC：Mp解：ql2/8AB与BC段截面不同，，塑性铰可能能出现在AB段也可能出现现在BC段。作弯矩图。塑性铰出现在在AB段时：塑性铰出现在在BC段时：26超静定结构的的基本特点：：（1）有多余联系系，内力仅由由静力平衡方方程不能完全全确定，内力力与结构的变变形有关，所所以内力与梁梁的刚度有关关。（2）在超静定梁梁中，当梁内内截面屈服，，即出现塑性性铰时，由于于梁的刚度发发生变化，内内力会重新分分布，所以梁梁达到塑性极极限状态时塑塑性铰的位置置无法预先知知道，应按照照逐渐加大载载荷的方法逐逐步确定，但但计算不便。。（3）工程中采用用可直接计算算极限载荷的的机动法和静静力法。确定方法：二．超静定梁梁的极限分析析（1）机动法设定梁的破坏坏机构利用功能关系系计算破坏载载荷对于梁的所有有可能的破坏坏机构，计算算相应破坏载载荷Plmin+=Pl27（2）静力法根据梁的支承承条件及载荷荷情况画弯矩矩分布图使梁内各处弯弯矩值不超过过极限弯矩，，此时的载荷荷为下限值找出梁的所有有可能的静力力允许的弯矩矩分布，计算算相应载荷Plmax-=Pl28例题1：已知图示超超静定梁的塑塑性极限弯矩矩为MP，试求其塑性性极限载荷Pl。M1PllABC解：静力法作M图PM1M129例题1：已知图示超超静定梁的塑塑性极限弯矩矩为MP，试求其塑性性极限载荷Pl。PllABC取A、C处为塑性铰，，画破坏机构构图（保证外外力作正功））M1dPABC2qq解：机动法30讨论：设梁的超静定定次数为n，形成塑性铰铰的数目为r，一般情况下下当：r=n+1时，形成破坏坏机构。塑性铰的位置置：弯矩为驻驻值的截面处处（固定端、、集中载荷处处）。在确定静力允允许的内力场场时，若能同同时考虑形成成破坏机构所所需的塑性铰铰数目，则得得到的解答可可接近或等于于完全解。若确定的弯矩矩绝对值等于于MP的截面数目小小于塑性铰数数目，则还应应检查其余弯弯矩为驻值的的截面，其弯弯矩值应不超超过MP，否则内力场场是静力不允允许的，求得得的载荷也非非下限解。PllABCM1PdABC2qq31例题2：已知图示超超静定梁的塑塑性极限弯矩矩为MP，用机动法试试求其塑性极极限载荷的上上限值。x解：确定塑性铰位位置qlABdxABq+jqDal计算内力功计算外力功求极限载荷x'jC32例题3：已知图示超超静定梁的塑塑性极限弯矩矩为MP，试用静力法法和机动法求求其塑性极限限载荷Pl。解：静力法作M图Pl/2ABCPl/2l/2l/2PPRC33Pl/2ABCPl/2l/2l/22qq机动法ABC（1）单跨破坏（2）整体破坏ABC2qqABC（3）整体破坏2q2q载荷对称，在在某些截面同同时产生塑性性铰34例题4：试用机动法法求图示三跨跨超静定梁的的塑性极限载载荷Pl。PlADC1.5Pl1.5llPl1.5lB(MP)(MP)(1.5MP)解：（1）单跨破坏35PlADC1.5Pl1.5llPl1.5lB(MP)(MP)(1.5MP)（2）两跨破坏36PlADC1.5Pl1.5llPl1.5lB(MP)(MP)(1.5MP)（3）整体破坏讨论：一般情况下，，梁的超静定定次数为n时，使梁形成破破坏机构需n+1个塑性铰，即即规定n+1个截面的弯矩矩达到塑性极极限弯矩（弱弱），此时梁梁的内力和塑塑性极限载荷荷都可确定，，并形成整体体破坏机构。。如梁的塑性铰铰数目少于n+1个，但足以使使部分结构成成为机构，该该机构称为局局部破坏机构构。在局部破坏机机构中，塑性性极限载荷和和变成机构的的部分内力可可唯一确定，，若在刚性区区能找到一个个静力允许的的内力场，则则得到的上限限解为完全解解。37PlADC1.5Pl1.5llPl1.5lB(MP)(MP)(1.5MP)1.5MPMPMPMPP38一、轴对称圆圆板的基本方方程二、轴对称圆圆板的屈服条条件（极限条条件）三、简支圆板板的弹塑性分分析四、简支圆板板的塑性极限限分析五、固支圆板板的塑性极限限分析§10－4圆板的塑性极极限分析39§10－4圆板的塑性极极限分析一、轴对称圆圆板的基本方方程几何方程40弹性本构方程程rzxyqMrMq41dqMqMqtrz平衡方程rdrQrMrq(r)42二、轴对称圆圆板的屈服条条件（极限条条件）极限条件：描描述某个截面面达到极限状状态与否的准准则。设MP为板的截面全全部进入塑性性状态时的弯弯矩，则有：：Mises条件：板的截面全部部进入塑性状状态时，应力力沿板厚保持持不为。则有有：MrMq43Mises条件：2.Tresca条件：3.最大正应力条件：MPMPMrMq44三、简支圆圆板的弹塑性性分析弹性分析rzaq45MrMqrzaq462.弹塑性分析MPMPMrMqABCDEFTresca条件：MrMqrzaq弹塑性分界线线-----圆周rp弹性极限载荷荷47塑性区：MPMPMrMqABCDEFMrMqrzaqrp48塑性区：平衡方程边界条件：G＝0rzaqrpMrMpMq49弹性区：MrMpMq3.全塑性分析塑性极限载荷荷MrMqMp50四、简支圆板板的塑性极限限分析MPMPMrMqABCDEFTresca条件：rzaq1.确定圆板进入入塑性极限状状态时，内力力组合位于Tresca六边形的哪条条边上：MrMqMp圆板内弯矩为为正内力组合位位于ABC上圆心处径向和和环向弯矩相相等内力组合位位于B点周边上径向弯弯矩为零内力组合位位于C点圆板内弯矩的的连续性内力组合位位于BC点极限条件：512.确定其其它内内力及及极限限载荷荷（平衡衡方程程和边边界条条件））：平衡方方程边界条条件：：rzaqMrMqMp523.检查内内力场场是否否违背背极限限条件件（内力力场是是否是是静力力许可可的））：Mr在0ra的范围围内是是单调调下降降的。。534.找与下下限解解对应应的机机动许许可的的位移移（速速度））场，，若有有则下下限解解为完完全解解：rzaqMPMPMrMqABCDEF与BC关联的的速度度场：：集中铰铰圆速度场是机动允许的速度场54五、固固支圆圆板的的塑性性极限限分析析rzaqMrMqMPMPMrMqABCDEF1.确定圆圆板进进入塑塑性极极限状状态时时，内内力组组合位位于Tresca六边形形的哪哪条边边上：：圆心处处径向向和环环向弯弯矩相相等内力力组合合位于于B点周边上上形成成塑性性铰圆圆，径径向弯弯矩大大于环环向弯弯矩内力力组合合位于于DE上D点整个圆圆板：：径向向弯矩矩由正正到负负，在在某一一半径径处为为零内力力组合合位于于C点55rzaqMPMPMrMqABCDEFMrMPrb极限条条件：：MqMP2.确定其其它内内力及及极限限载荷荷（平衡衡方程程和边边界条条件））：56rzaqMPMPMrMqABCDEFMrMqMPrbMP2.确定其其它内内力及及极限限载荷荷（平衡衡方程程和边边界条条件））：平衡方方程边界条条件：：573.找与下下限解解对应应的机机动许许可的的位移移（速速度））场，，若有有则下下限解解为完完全解解：MPMPMrMqABCDEFMrMqMPrbMPrzaq58rzaqMrMqMPrbMP5910－6梁模型型计算算圆板板和环环板的的塑性性极限限载荷荷一、屈屈服条条件最大弯弯矩极极限条条件：：MrMpMpMqo二、梁梁的平平衡方方程xoxq(x)mdxQ(x)Q(x)+dQ(x)M(x)M(x)+dM(x)60三、板板的平平衡方方程rorq(r)板2prMrM(x)Q(x)2prQr梁xoxq(x)mm2pMqq(x)2prq(r)极限条条件：：MmaxMp若梁和和圆板板的边边界条条件在在形式式上相相同，，可通通过求求解变变量转转换后后梁的的问题题得到到圆板板的解解答。。梁计算算模型型61四、梁梁模型型计算算圆板板和环环板的的塑性性极限限载荷荷的步步骤1.结构转转换圆板的的半径径梁计算算模型型的跨跨度rozroz外边界界支承承圆板板梁计算算模型型的左左端为为自由由端右右端与与板的的支承承形式式相同同。圆板的的对称称轴梁计算算模型型上的的坐标标原点点（只研研究右右半部部）rr距圆板板的对对称轴轴为r处的圆圆截面面坐标为为r的梁截截面622.载荷与与内力力转换换圆板单单位面面积上上的载载荷q(r)梁计算算模型型上的的分布布载荷荷2rq(r)圆板某某一半半径上上的载载荷P梁计算算模型型相应应位置置处的的集中中力P圆板中中r处的弯弯矩Mr梁计算算模型型上：：2rMr圆板中中的环环向弯弯矩：：Mq=Mp（极限限条件件）梁计算算模型型上的的附加加均布布弯矩矩2Mp方向与与外载载荷在在梁中中产生生的弯弯矩方方向相相反3.求塑性性极限限载荷荷（梁右右端边边界条条件））r=a处简支支：M＝0r=a处固支支：M＝－Mp2aMr＝02aMr＝－－2aMp63例题1：半径径为a的固支支圆板板，受受均布布载荷荷q作用，，圆板板单位位塑性性极限限弯矩矩为：：Mp，求塑塑性极极限载载荷。。rozra2rqrozaqm=2Mp简支圆圆板：：解：64例题2：半径径为a的简支支环板板，内内半径径为b，受均均布载载荷q作用，，圆板板单位位塑性性极限限弯矩矩为：：Mp，求塑塑性极极限载载荷。。rozaq固支环环板：：解：brozrabm=2Mp2rq65例题3：半径径为a的简支支环板板，内内半径径为b，在半半径为为c的圆周周上作作用线线分布布载荷荷p，总值值为P，单位位塑性性极限限弯矩矩为：：Mp，求塑塑性极极限载载荷。。rozap解：brozcabPm=2Mpcp66弹塑性性力学学题纲纲空间应应力状状态分分析：：应力力张量量三个个不变变量、、主应应力计计算、、最大大切应应力计计算、、应力力强度度计算算。平平衡方方程、、应力力边界界条件件及应应用。。应变分分析：：几何何方程程、相相容方方程及及应用用。应力应应变关关系：：弹塑塑性力力学的的简化化模型型，屈屈服条条件、、广义义胡克克定律律、增增量理理论、、全量量理论论及应应用。。弹性力力学平平面问问题（（直角角坐标标和极极坐标标）的的应力力函数数法（（重点点是半半逆解解法））。典型弹塑性性问题分析析。轴的弹塑性性扭转。梁的弹塑性性弯曲。板的弹性弯弯曲。塑性极限分分析定理和和分析方法法（静力法法和机动法法），梁和和板的塑性性极限分析析。67考试时间：：2008年12月4日（星期四四）下午2:00~4:30考试地点：：教4楼1016810－7多边形板的的塑性极限限载荷（机动法））一、薄板的的破坏机构构1.基本假设：：在薄板最大大弯矩处形形成塑性铰铰线（直线线段）。沿塑性铰线线的单位长长度上作用用着塑性极极限弯矩Mp，不计扭矩矩和剪力的的作用。不计弹性变变形。2.破坏机构的的确定规则则：（1）薄板的破破坏机构由由若干板块块组成，板板内塑性铰铰线是相邻邻两板块的的转动轴。。有塑性铰线线的固支边边、简支边边、过支承承板中心的的线都是板板块的转动动轴。板块数目等等于支承边边界的数目目。69（2）塑性铰铰线在板板内相交交。（3）终止在在自由边边界上的的塑性铰铰线，其其延长线线交于相相邻两板板块转动动轴的交交点上。。该交点点可能位位于无穷穷远处。。（4）集中力力作用下下，塑性性铰线交交于载荷荷作用点点。70二、周边边简支的的多边形形板POd破坏机构构：角锥锥体在O处受集中中力P作用OACBaibiOA=liabdqiq1q2：相对转角71塑性极限限弯矩：：MP在塑性铰铰线li上做的内内力功：：n多边形，，总的内内力功Wi：外力P做的外力力功We：POddqiq1q272正多边形（集集中力作用在在板中心）：：73三、周边固支支的多边形板板固支边上形成成塑性铰线在O处受集中力P作用OACOD=hiji：板块AOC相对AC的转角OdDAC=ai内力功Wi：Daibibi-1外力功We：74正多边形（集集中力作用在在板中心）：：75ABCDE例题1：边长为a的正方形薄板板，一边固支支、两边简支支，自由边中中点A受集中载荷P作用