杆及结构的变形计算

第七七章章杆及及结结构构的的变变形形计计算算退出了解杆及及结构的的变形计计算，进进行杆的的刚度计计算，也也为以后后静不定定问题求求解作准准备。目的：要求：记住求解解结构变变形的基基本公式式并能正正确地利利用它来来进行计计算。杆及结构构的变形形计算退出杆及结构构的变形形计算7-l拉伸(压缩)时的变形形7-2扭转时的的变形7-3弯曲时的的变形7-4求杆件变变形的叠叠加法7-5杆的刚度度条件7-6静定结构构的位移移计算•杆件的变变形能7-7单位荷载载法7-8图形互乘乘法*7-9静定结构构由于支支座位移移和温度度变化所所引起的的位移计计算*7-10虚功原理理单单位荷载载法退出7-l拉伸(压缩)时的变形形杆及结构构的变形形计算单段等截截面等轴轴力杆件件多段等截截面等轴轴力杆件件多段变截截面或变变轴力杆杆件例7-l计算杆在在自重作作用下所所引起的的伸长，，设杆长长为l，横截面面面积为为A，材料的的比重为为g，，弹性性模量为为E。end7-2扭转时的的变形单段等截截面等扭扭矩杆件件多段等截截面等扭扭矩杆件件多段变截截面或变变扭矩杆杆件Mn——扭矩G——剪切弹性性模量Ip——极惯性矩矩杆及结构构的变形形计算end7-3弯曲时的的变形1.挠曲线的的近似微微分方程程①挠度：横截面形形心沿垂垂直于轴轴线方向向的线位位移。用用y表示。与y同向为正正，反之之为负。。②转角：横截面绕绕其中性性轴转动动的角度度。用表示，顺顺时针转转动为正正，反之为负负。PxyCyqC11)度量梁变变形的两两个基本本位移量量q<0逆时针转向q>0顺时针转向杆及结构构的变形形计算end3)转角与挠挠曲线的的关系：：小变形y=f(x)xyFxyFFCxyBAend2)挠曲线变形后，，轴线变变为光滑滑曲线，，该曲线线称为挠挠曲线。。其方程程为：杆及结构构的变形形计算式(7-9)就是挠曲曲线近似似微分方方程。小变形xyM>0yxM<0(7-9)对于等截截面直梁梁，挠曲曲线近似似微分方方程可写写成如下下形式：：end杆及结构构的变形形计算end杆及结构构的变形形计算2.用积分法法求梁的的变形对等截面面梁，EI为常数，，有：end杆及结构构的变形形计算例7-2求悬臂梁梁在均布布载荷作作用下的的转角和和挠度方方程，并并计算其其最大转转角和最最大挠度度。已知知梁长为为l，粱的刚刚度为EI。(a)(b)解：（1）求出固定定端的反反力Rm（2）列出弯矩矩方程（3）给出挠曲曲线微分分方程end杆及结构构的变形形计算(a)(b)Rm（4）积分，得得出转角角方程和和挠曲线线方程（5）确定积分分常数C、D(6)转角方程程和挠曲曲线方程程，最大大挠度和和最大转转角end杆及结构构的变形形计算7-4求杆件变变形的叠叠加法在假定杆杆的变形形微小及及材料服服从虎克克定律的的前提下下，杆的的变形(一般指的的就是截截面形心心的线位位移和截截面的角角位移)都是外加加载荷的的线性齐齐次函数数。因此此，当杆杆上有多多个载荷荷共同作作用时，，特别是是当各载载荷单独独作用时时的变形形结果已已知(如有表可可查)时，用叠叠加法来来计算杆杆的变形形尤为方方便，用用式子表表达，以以挠度为为例,即：式中y为多个载载荷共同同作用时时在某点点处引起起的挠度度，yPi为某载荷荷单独作作用时在在该点处处引起的的挠度。。end杆及结构构的变形形计算例7-5外伸梁ABC受载如图图所示，，设梁的的刚度为为，求C点的挠度度。解：采用分段段刚化的的步骤来来解①刚化AB，则BC段为悬臂臂梁，查表得：：②刚化BC，则ABC为外伸梁梁，分布布力想B点简化；；有则将引起起梁的变变形，使使截面产产生转角角qB，也引起起C点的位移移yC2图(c)如下：m=qa2/2P=qa，C点的挠度度为end杆及结构构的变形形计算例7-6矩形截面面的悬臂臂梁受荷荷载P的作用，，如图所所示。设设P与垂直轴轴y的夹角a=30o，截面的的惯性矩矩Iy、Iz已知，且且Iy<,Iz，试计算算其自由由端形心心C的位移。。而其方位位角为：：由于所设设Iz>Iy，故b>a，如图(b)所示,即此时弯曲变形形不发生生在载荷荷作用的的平面内内，这种弯弯曲工程程上常称称为斜弯曲。end杆及结构构的变形形计算7-5杆的刚度度条件各种基变变形情况况下的刚刚度条件件根据此种种条件，，可进行行类似于于强度计计算那样样的三类类计算：：1)刚度校核核；2)按刚度条条件设计计截面；；3)按刚度条条件确定定许可载载荷。扭转的刚刚度条件件精密机械械轴一般传动动轴要求不高高的轴拉伸压缩缩弯曲转角角弯曲挠度度end杆及结构构的变形形计算例7-7试确定图图中所示示轴的直直径D，设材料料的剪切切弹性模模量G=80GPa，[t]=40MPa，[q]=0.5o/m巳知Mmax=1432(N-m)解：①按强度条条件设计计直径9551432N-mm2m1m3①按刚度条条件设计计直径故轴的直直径应按按刚度条条件决定定，可取取为68mm。end杆及结构构的变形形计算7-6静定结构构的位移移计算•杆件的变变形能杆件的位位移除了了用前面面的微分分方程积积分的方方法进行行计算外外，还可可由能量量守恒定定理按能能量法求求解。这这是研究究变形体体问题的的又一普普遍方法法，特别别适用于于求解复复杂体系系的变形形问题。。首先来来研究杆杆件在各各种变形形形式下下的变形形能的计计算。end杆及结构构的变形形计算AlDlPPoDlADlDlB拉伸(压缩)时的变形形能的计计算弯曲时的的变形能能的计算算扭转时的的变形能能的计算算end杆及结构构的变形形计算当杆件承承受组合变形形时：★若变形能能是内力力的非线线性函数数，力的的独立性性原理不不成立，，故不能能用叠加加法NNTTMMend杆及结构构的变形形计算例7-8求图示简简支梁在在集中力力P作用下的的变形能能，已已知梁的的刚度为为EI。PAlabBCRARBx1x2解：(1)求支反力力(2)列出弯矩矩方程(3)计算变形形能end杆及结构构的变形形计算例7-9求图示曲曲杆的变变形能，，设曲杆杆的曲率率半径为为R，抗弯刚刚度为EIPARBONAqOQMend杆及结构构的变形形计算7-7单位荷载载法下面我们们从功能能互等定定理出发发导出计计算线弹弹性结构构位移的的一个普普遍方法法—单位荷载载法。今今以刚架架为例来来说明。。设刚架上上受外荷荷载P1和P2作用，今今欲求刚刚架上任任一点、、任一方方向的位位移，如如图中所所示的D的大小。。P1P2MiNiDP0M0iN0iD0为此，我我们可在在该结构构的该点点上加上上一个沿沿该方向向的微小小荷载P0，再分别别写出此此两种受受力情况况下的功功能关系系式：P1P2Mi+M0iNi+N0iDP0D

0end杆及结构构的变形形计算为了求得得Δ，我们尚尚需列出出第三状状况下的的功能关关系式，，该状况况是由结结构上先先加P0荷载，再再加已知知荷载P1和P2而形成的的。写此此时的功功能关系系时应注注意：外外力功除除了P1、P2和P0在其自身身引起的的位移上上作功A和A0外，P0在P1、P2、所引起起的位移移Δ上也要作作功。所以，此此时的功功能关系系式应是是：用此式减减去前两两式，可可得：end杆及结构构的变形形计算为了能直直接得到到D的数值，，可令P0=1，而对应应于此时时的M0i，N0i则写成M0i，N0i。这样，，就得到到用单位位荷载法法求结构构位移的的一般公公式：上述公式式也可计计算角位位移，只只要将P0视为单位位力偶就就可以了了。此时时公式中中的M0i，N0i即为单位位力偶作作用在该该结构上上所引起起的相应应内力。。end杆及结构构的变形形计算当结构在在外力作作用下，，在杆件件内引起起扭矩时时，只要要在公式式(7-21)后面附加加考虑扭扭转所引引起的位位移项就就可以了了，公式式推导原原理不变变。所以以当不计计杆件剪剪切内力力的影响响(通常很小小，工程程上常忽忽略)时，计算算结构在在外荷载载作用下下的位移移的普遍遍公式是是：需要指出出的是：：单位荷荷载的方方向开始始时可以以随意假假设，将将来按公公式算得得的结果果如果是是正值时时，则所所发生的的位移就就是沿所所加单位位荷载方方向，反反之，则则位移沿沿单位荷荷载的反反方向发发生end杆及结构构的变形形计算例7-10求图示示曲杆在在B点的垂直直位移和和水平位位移AjO1B(b)AjO1B(c)AjO1B(d)(a)PARBOjend杆及结构构的变形形计算7-8图形互乘乘法对工程中中常见的的一些由由等刚度杆杆所形成的的梁或刚刚架等折线型结结构，用积分分法计算算常嫌其其麻烦时时，也可可采用下下面介绍绍的图形互乘乘法来计算。。如上节所所说在计计算梁或或刚架位位移时，，都会遇遇到如下下积分：：当结构各各杆段的的刚度EiIi=常数时，该积积分中的的EiIi就可提到到积分号号外面去去而和积积分变量量无关。。剩下的的就只要要计算型型式的积积分值。。end杆及结构构的变形形计算xdxxxcCMxM0xM(x)M0y

Cla据此，可可将公式式替换为下下式式中

wi，wNi，wni

分别为该段上弯矩图、轴力图和扭矩图的面积，而分别为和上述面积的形心相对应的

图上的纵纵坐标值值。所有有ω值和yC值均取代代数值，，或遵循循ω与yC在基线的的同侧相相乘为正正，异侧侧相乘为为负的原原则也可可。abcdlw1w2在具体计计算wyC值时，，还有有一些些技巧巧，如如以下下诸图图所示示：杆及结结构的的变形形计算算比较(a),(b)两式可可见，，只要要将(a)式中的的a,b,c,d的值均均看作作代数数值，，由(a)式即可可得到到(b)(b)(a)endend杆及结结构的的变形形计算算例7-11求图示示刚刚架在在缺口口A处的相相对位位移，，设杆杆的抗抗弯刚刚度为为EI。aaP2lP(a)PaPaPaPa(b)2a2a2a2a11(c)l11lllllll(d)1111111111(e)end杆及结结构的的变形形计算算*7-9静定结结构由由于支支座位位移和和温度度变化化所引引起的的位移移计算算1.求结构构由于于支座座位移移所引引起的的结构构位移移当支座座C由于沉沉陷而而产生生C1，C2，C3的位移移后，，欲求求端部部A处沿D方向的的位移移D。为此此，假假设在在此结结构的的A处沿D方向加加—相应的的单位位力，，假设设此时时支座座反力力R10，R20，R30的方向向取得得和支支座位位移的的方向向一致致时，，如图图(b)所示，，则按按刚体体的虚虚位移移原理理可得得下式式：将上式式移项项后即即得所所求的的位移移为：：1(b)CC1C’BAC3C2DB’A’D(a)end杆及结结构的的变形形计算算例7-12求三铰铰刚架架由于于支座座A处位移移Dx和Dy而引起起的顶顶铰C处的竖竖直位位移DC。代入公公式(7-27)得：DxDyC’A’DC(a)hCBAl1(b)首先在在C处竖直直方向向加单单位力力；再再求出出此时时单位位力在在沿巳巳知位位移方方向的的反力力；其值为为正，，即C的竖直直位移移方向向和所所加单单位力力方向向相同同。解：end杆及结结构的的变形形计算算2.求结构构由于于温度度变化化所引引起的的位移移首先我我们来来讨论论微段段两侧侧由于于温度度的不不同所所造成成的变变形。。设微微段长长ds，形心心轴距距两侧侧的距距离为为h1和h2，截面面的高高度为为h，而温温度t2>t1，材料料的线线膨胀胀系数数为a。hdsh2h1djat2dsat1dst1t2形心轴微段的的轴线线伸长长量du和截面面的相相对转转角dj为：end杆及结结构的的变形形计算算知道了了du，dj的表达达式后后，欲欲求图图示结结构由由于温温度变变化而而引起起的任任一点点C的位移移Dt时，直直接利利用虚虚功原原理得得下面面的公公式：：或应用上上述两两公式式时，，应注意正正负号号。若温温度引引起的的轴向向变形形及弯弯曲变变形与与单位位荷载载所引引起的的轴向向变形形和弯弯曲变变形的的方向向一致时时取正正号，反之取取负号号。t1t2t2At1CB1end杆及结结构的的变形形计算算例7-13求图示示刚架架C处所产产生的的竖直直位移移，若若刚架架外侧侧温度度为0oC时，内内侧温温度为为10oC。各杆杆截面面相同同且和和形心心轴对对称，，材料的的线膨膨胀系系数为为a，截面面高度度为h。解：作出单单位力力下的的内力力图Ni0和Mi0，并用用虚线线示出出其变变形方方向；；同时时也用用虚线线示出出结构构由于于温度度变化化所引引起的的变形形方向向。由由图可可见，，两者者正相相反，，故公公式中中的乘乘积项项均取取负号号。由由于代入公公式(7-28b)后即得得：10oACBll(a)1(b)1ll(c)end杆及结结构的的变形形计算算*7-10虚功原原理单单位荷荷载法法虚功原原理是是固体体力学学的一一个普普遍性性原理理，它它适用用于刚刚体和和可变变形体体。今今以直直杆在在拉伸伸时的的受力力和变变形状状态为为例来来说明明此原原理。。图(a)为其受力状状态，图(b)为其假想的的位移状态态，此位移移是杆约束束条件许可可的、满足足变形连续续条件的任任一微小位位移，简称称其为许可可位移或虚虚位移。dxxpPdxxpPluu+dupPN+dNN设u是该杆内某某微段dx左截面的位位移，则其其右截面的的位移可写写为u+du；所以，u可以称为此此微段