(精品)数学讲义八年级寒假班-07-无理方程-教师版

初二数学寒假班（教师版）教师日期学生课程编号课型同步/专题课题无理方程及应用教学目标1•理解无理方程的概念；掌握简单的无理方程的解法，知道'验根”是解无理方程的必要步骤，掌握验根的基本方法.2•熟练的解决无理方程的应用问题.教学重点1■无理方程的解法；2.无理方程有可能产生增根的理解.教学安排版块时长1无理方程的概念及解法50分钟2无理方程的应用30分钟3课堂练习40分钟无理方程

(2)x2—3知识精讲模块一：无理方程的概念和解法1.无理方程的概念方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程.2.解无理方程的方法通过平方把无理方程转化为整式方程，再求解.3•解无理方程的一般步骤(1)方程两边平方，化成整式方程;(2)解这个整式方程，求出整式方程的根;(3)检验.直接代入原方程中，看其是否成立.如果成立，则这个根为原方程的根，从而知识结构解出原方程的解；如果不成立，贝y(2)x2—3知识精讲模块一：无理方程的概念和解法1.无理方程的概念方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程.2.解无理方程的方法通过平方把无理方程转化为整式方程，再求解.3•解无理方程的一般步骤(1)方程两边平方，化成整式方程;(2)解这个整式方程，求出整式方程的根;(3)检验.直接代入原方程中，看其是否成立.如果成立，则这个根为原方程的根，从而知识结构解出原方程的解；如果不成立，贝y这个根为增根，方程无解.—625=0；(3)X2—1=1；⑴-沪=9例题解析【例1】下列方程是哪些是关于X的无理方程?无理方程的概念.增根无理方程无理方程的解法无理方程的应用44）44）x2-4atxx(5)-3'1x2=7；a【难度】★答案】（1）、（2）、（3）、（4）、（6）是无理方程．解析】根据无理方程的概念，方程中含有根式，并且被开方数是含有未知数的代数式的方程叫做无理方程，可知（1）、（2）、（4）、（6）都是无理方程，x2二仮，可知（3）也是无理方程．总结】考查无理方程的概念，方程中根号内含有未知数即可．例2】下列哪个方程有实数解（A.7x+1+\：x—1=0【难度】★答案】Dx—1>0—x—4>0【解析】根据二次根式的双重非负性，对A选项，x—1>0—x—4>0无实数解；对B选项，+5+3>3丰0，可知方程无实数解；对C选项,x无解，即方程无实数解；故选D.总结】考查对无理方程解的判断，根据二次根式双重非负性即可进行简单判定.【例3】若方程1+4T—2=k有解，则k的取值范围是.【难度】★答案】k>1.【解析】移项得\：匚—2=k—1，方程有解，根据二次根式的非负性，可得k—1>0，得k>1总结】考查无理方程有解的应用，根据二次根式的非负性即可进行判断.例4】不解方程，说明下列方程是否有实数根：（1）12—x+Qx—12=0；（2）（a—b）7x2—4x=（a—b）2（a<b）.【难度】★答案】（1）有唯一实数根x=12；（2）当a<b时，方程无实数根；当a=b时，方程有无数个实数根.【解【解析】(1)两边平方，得：4(x+5)=(x-10)2，整理得：X2-24x+80=0【解析】(1)根据二次根式的非负性，可得：<j12"X"0，即得X的定义域为x=12[x-12>0此时\-'12-x=€x-12=0，即得方程有唯一实数根x=12(2)当a<b时，则有vx2-4x=a-b<0，根据二次根式非负性，可知方程无实数根；当a=b时，等式恒成立，可知方程有无数实数根，满足x2-4x>0即可.【总结】考查对无理方程解的判断，对部分方程根据二次根式双重非负性即可进行判定.【例5】用换元法解方程x2-3x-3x+5=1时，设d2-3x+5=y.则该方程转换整式方程是.【难度】★【答案】y2-y-6=0.【解析】由'x2—3x+5=y,可得x2—3x=y2—5，原方程即为y2—5—y=1整理即为y2-y-6=0.【总结】考查用“换元法”对无理方程进行变形转化，注意最终要化成整式形式.【例6】解下列方程：・2x+3=x；(2)ix-If2x+6-x=3.【难度】★★【答案】(1)x=3；(2)x=5.【解析】(1)两边平方，得：2x+3=x2，整理得：x2-2x-3=0解得：x=3，x=-1，经检验，x=-1是原方程的增根，即原方程的根为x=3122移项得:(x-l)(2x+6)=x+3，两边平方得：(x—1)(2x+6)=(x+3匕，因式分解整理得：(x-5)(x+3)=0，解得：x=5，x=-312经检验，x=-3是原方程的增根，即原方程的根为x=52【总结】考查无理方程的解法，注意方程增根的检验．【例7】解下列方程：(1)2x+5=x-10；(2)(x+3)^；x-1=0；【难度】★★【答案】(1)x=20；(2)x=1．

解得：x=4,x=20，经检验，x=4是原方程的增根，即原方程的根为x=20121(2)由原式得：x+3=0或x—1=0，解得：x=1，x=—312经检验，x=—3是原方程的增根，即原方程的根为x=12总结】考查无理方程的解法，注意无理方程的验根．例8】解下列方程：(Dx2+7=r2x+1；(2)5—\；4x—15=x-【难度】★★【答案】(1)x=-込；(2)x=4【解析】(1)两边平方得：x2+7=2x2—2、Hx+1，整理得：x2—2込x—6=0配方法解得：x=-\：2，x=3、丁212经检验，x=3込是原方程的增根，即原方程的根为x=-、込2(2)移项得24x—15=5—x，两边平方得4x—15=(5—x)2，整理得x2—14x+40=0解得：x=4，x=10，经检验，x=10是原方程的增根，即原方程的根为x=4122【总结】考查无理方程的解法，注意方程增根的检验.【例9】解方程：J㈡+、；'斗=31•x+1x一13【难度】★★24【答案】x=—524【解析】令*吕=a，则;些=a原方程即为a【解析】令*吕=a，则;些=a原方程即为a+1=31，解得:23则有丫汙=3或*汙=3，解得：x1=24经检验，x=—5，x=5都是原方程的根.1424总结】考查利用“换元法”解无理方程，注意观察无理方程含未知数的根式之间的联系例10】解方程：

(I)2x2+3x—5、;2x2+3x+9=—3；(2)2\x2+5x+1+3x(x+5)=2•【难度】★★9【答案】(1)x=—,x=3；(2)x=—5,x=012212【解析】(1)令v2x2+3x+9=y(y>0)，得2x2+3x=y2—9，原方程即y2—9—5y=—3整理得y2—5y—6=0，解得：y=—1(舍)，y=6，12令"2x2+3x+9=6，平方整理得2x2+3x—27=0，解得：x=—-,x=31229经检验，x=—9，x=3都是原方程的根；原方程即2y+原方程即2y+3(y2—1)=2(2)令<x2+5x+1=y(y>0)，得x2+5x=y2—1整理得3y2+2y—5=0，解得：y=—5(舍)，y=1，132令tx2+5x+1=1，平方整理得x2+5x=0，解得：x=—5，x=012经检验，x=—5，x=0都是原方程的根．12总结】考查用“换元法”解无理方程，注意根据元的取值范围舍去增根例11】解下列方程：(1)\：x+4+Px-3=7；(2^<2x-1=rx+5+1.【难度】★★【答案】(1)x=12；(2)x=9+【解析】(1)移项得+4=7^''7—3，两边平方得x+4=x-3+49-14冒x—3移项得14，Jx-3=42，两边平方得x—3=9，解得：x=12经检验，x=12是原方程的根；(2)两边平方得2x—1=x+5+1+，移项得2空x+5=x—7两边平方整理得x2—18x+29=0，配方法解得：x=9+2；13，x=9—2*1312经检验，x=9—2-、；13是原方程的增根，即原方程的根是x=9+2^132总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法，两边多次平方即可．【例12】解下列方程：*2x—1-\匚二I^'6—1.【难度】★★★【答案】x=5【解析】平方得2x-1+x-1-2\：2x-x-1=6-x，移项得、j(2x-l)(x-1)=2x-43两边平方整理得2x2—13x+15=0，解得：x=,x=5i22经检验，x=-是原方程的增根，即原方程的根是x=512【总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法，两边多次平方即可.【例13】解下列方程：x2-6x-6—xtx2—2x—2=0.【难度】★★★【答案】【解析】令x2-2x-2=y(y>0)，贝V有x2-2x-2=y2，由此原方程可变形得:3x2一6x一6一2\x2一2x一2一2x2=0，整理即为3y2一xy-2x2=09—3.19因式分解法解得：y1=-3x，y2=x，即3-2x一2=一3x或2-2x-29—3.19由<x2-2x-2=--x，整理得5x2-18x-18=0，解得：x=31经检验，x=19+3经检验，x=1由x2-2x-2=x，可解得：x=-1，经检验，x=-1是原方程的增根,综上所述，原方程的根是x=9一％195【总结】考查较复杂的换元法的转化解无理方程，注意方程增根的检验.模块二：无理方程的根的讨论知识精讲模块二：无理方程的根的讨论知识精讲3.增根的概念无理方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得无理方程左右两边不相等,那么这个解就是方程的增根.【例14】关于x【例14】关于x的方程空2x-例题解析4-Px+a=1有一个增根x=4,求:1)a的值；2)方程的根．【难度】★★【答案】(1)a=5；(2)x=20【解析】(1)移项，两边平方得：2x-4=x+a+1+2\:x+a，移项得2\:x+a=x-5-a两边平万得：4(x+a)=(x—5匕—2a(x—5)+a2，将x=4代入有4(a+4)=1+2a+a2整理得a2—2a—15=0，解得：a=—3，a=5，当a=5时，x=4是方程增根，122当a=—3时，x=4不是方程增根，由此即得a=51(2)将a=5代入上述平方整理的方程即有4(x+5)=(x—5)2—10(x—5)+25移项整理得x2—24x+80=0，解得：x=4，x=2012由题意可得x1=4是原方程的增根，即得原方程的根是x=20总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法，两边多次平方即可．【例15】若方程vx2+2m2=x-2m有一个根是x=1，求实数m的值.【难度】★★答案】m=0．【解析】因为方程有一个根是x=1，所以代入得“2m2+1=1—2m，平方整理得2m2—4m=0解得：m=0，m=2，经检验，m=2是方程的增根，应舍去，即得m=0122总结】考查无理方程根的意义，代入转化为其它未知数的求值即可．【例16】若关于x的无理方程74-2x—kx+2=0有实数根，求k的取值范围.【难度】★★★【答案】k>1或k<0【解析】令云=a(a>0)，则有x=上竺，原方程即为a—k-上聖+2=022整理即为ka2+2a+4—4k=0，当k=0时，则有a=—2是增根，应舍去；当k丰0时，分解因式得(ka+2—2k)(a+2)=0，解得：a=—2(舍)，a=兰三，12k2k—2因为方程有实数根，则应有a=竺一2>0，分类讨论得k>1或k<02k即得k的取值范围为k>1或k<0总结】考查无理方程根的判定，利用换元法根据二次根式的非负性进行求解计算.

【例17】若关于x的方程、；x+3+2x+m=0只有一个实数根，求m的取值范围.【难度】★★★【答案】m<6.【解析】令\：；匚3=a(a>0)，则有x=a2-3，原方程即为a+2(a2-3)+m=0整理即为2a2+a+m-6=0因为方程只有一个实数根，则方程有且仅有一根满足a>0，则另一根必满足a<0根据韦达定理可得：aa=心<0，得m的取值范围是m<6122【总结】考查无理方程根的判定，利用换元法根据二次根式的非负性进行求解计算.模块三：无理方程的应用知识精讲模块三：无理方程的应用知识精讲4•应用寻找题目中的等量关系，列方程，求解，根据实际情况进行取舍.例题解析【例18】用一根56厘米的细铁丝弯折成一个直角三角形，使它的一条直角边长为7厘米，求这个直角三角形的另两条边的长度.【难度】★★【答案】24cm和25cm【解析】设另外一条直角边长为xcm<x2+49cm，依题意可得x+7+x2+49=56，解得：x=24，经检验，x=24是原方程的根且符合题意，则斜边长为242+49=25cm，即另两边长分别为24cm和25cm【总结】考查直角三角形勾股定理的应用，用周长列式解题，注意应用题也要验根.【例19】建一块场地，用600块正方形的砖头铺成，如果把场地的面积扩大到原来面积的2倍还多0.6平方米，且正方形的砖头的边长增加10厘米，则需要铺540块方砖，求原场地的面积.1111【答案】24m2【解析】设原场地的边长为xm,10cm=0.1m，则扩大后场边长为(x+0.1)m依题意得540(x+0.1)2=2x600x2+0.6，整理得275x2-45x-2=012=24m2解得：x=-,x=-三(舍)由此得原场地面积为600x2=24m215255【总结】考查根据题意找准等量关系列方程解应用题，注意单位的统一.【例20】若Q点在直线y=2x+1上，且Q到点P(0,2)的距离为<2，求Q点的坐标.【答案】Qf—1，3］或Q(1，)\55丿【解析】设点Q(x,2x+1)，由两点间距离公式，依题意可得t'x2+(2x+1—2)2=「2平方整理，得：5x2—4x—1=0，解得：x=1经检验，x经检验，x=1x=1都是原方程的根,2由此代入即得Q由此代入即得Q5,5j或Q(1,3).【答案】经过【答案】经过4h两人距离学校路程相等.【总结】考查利用两点间距离公式的应用列方程，注意设出点的坐标.【例21】l与l为两条互相垂直的大路，小李和老王从十字路口O点同时出发，分别沿着12图示的方向以1千米/小时和2千米/小时的速度前进，到达力与B地，一座学校座落于两人距离学校的路程刚好相等?距l8千米，距l5千米的P处，问：经过多少时间,两人距离学校的路程刚好相等?12是几千米?【解析】设经过th两人距离学校距离相等，即AP=BP则有OA=t，AM=8—t，OB=2t，BN=5—2t根据勾股定理，依题意可得：(8—t)2+52=<(5—2t)2+824平方整理得3t24t0,解得：t-,t01324经检验，t-，t0都是原方程的根，但t0不符合题意，应舍去，13224即经过4h两人距离学校路程相等.3【总结】考查利用勾股定理列方程，注意找准等量关系.【例22】有一群蜜蜂，一部分飞进了枸杞里，其个数等于总数的一半的平方根，还有全体的8遗留在后面，此外，这群里还有一个小蜜蜂在莲花旁徘徊着，它被一个坠入香花陷9阱的同伴的呻吟声所吸引•试问：这群蜜蜂共有多少个?【难度】★★★【答案】这群小蜜蜂共有72个.【解析】设这群蜜蜂共有x个，根据蜂群总数，/x9依题意可得x11x,平方整理得2x2153x6480,解得：x，x72\21229经检验，x-是原方程的增根，12即得这群小蜜蜂共有72个.【总结】考查根据题意列方程解应用题，注意计算不要遗漏.【例23】m、n为两段互相垂直的笔直的公路，工厂A在公路n上，距离公路m为1千米.工厂B距离公路m为2千米，且距离公路n为3千米，现在要在公路m上选一个地址造—个车站P，使它与A、B两厂的距离和为2*5千米，试指出车站P的位置？【难度】★★★2TOC\o"1-5"\h\z【答案】车站P在两公路交点上方一km或2km处.|mB【解析】以直线n为x轴，以直线m为y轴，两直线交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，依题意有A1,0，B2,3，设点P0,x，”An根据两点间距离公式，依题意可得“I2X2診x322^52二次平方后，整理得：11x224x40,解得：x,x211122经检验，x—,x2都是原方程的根，1112

2即车站P在两公路交点上方km或2km处.11【总结】考查利用建立平面直角坐标系确定点的位置问题.【例24】如图，2即车站P在两公路交点上方km或2km处.11【总结】考查利用建立平面直角坐标系确定点的位置问题.【例24】如图，x轴表示一条东西方向的道路，尹表示一条南北方向的道路，小丽和小明分别从十字路口O点处同时出发，小丽沿着x轴以4千米/时的速度由西向东前进，小明沿着尹轴以5千米/时的速度由南向北前进，有一棵百年古树位于图中的P点处，古树与x轴、尹轴的距离分别是3千米和2千米，问：（1）离开路口后，经过多长时间，两人与古树的距离恰好相等？（2）离开路口后多少时间，两人与这课古树所处的位置恰好在一条直线上?【难度】★★★【答案】（1）匕h；（2）11h910【解析】（1）建立如图的平面直角坐标系，设经过th两人与古树距离相等，即AP=BP，则有A（4t,0），B（0,5t），P（2,3），根据两点间距离公式依题意可得:平方整理得:9t2—14t=0解得：ti=芍经检验，［=yt=0都是原方程的根,2但t=0不符合题意,2应舍去,即经过194.两人距离古树距离相等;14tk+b二0b-5t⑵设直线AB解析式为y=kx+b，则有Lb-5t即直线AB解析式为y=—5x+5t,两人与古树在同一直线上，即直线AB过点P（2,3）4代入直线解析式即得-5x2+5t=3，解得：t=11410即离开11h后两人与古树处于同一直线上.10【总结】考查对题目的理解，主要是转换到平面直角坐标系中进行解题.随堂检测随堂检测【习题1】下列方程是无理方程的是（）.A.x2—5sN+万=0B.+-=•込43^1xC.-、：6+1x=\:8x一2D.*3x一9+4=5x【难度】★【答案】D解析】根据无理方程的概念，方程中含有根式，并且被开方数是含有未知数的代数式的方程叫做无理方程，可知D是无理方程，故选D.总结】考查无理方程的概念，方程中根号内含有未知数即可.习题2】根据平方根的意义，直接判断下列方程是否有解，并简述理由：(1)\：2x+1+3=0；(2)\x+2+x=0；(3)\：x一6=4一x；(4)lx-3+x=、,；2-x.【难度】★答案】(2)有解，(1)、(3)、(4)无解.【解析】根据二次根式的双重非负性，对(1),V2x+1+3>3丰0，故方程无实数解；对(2),由x+2>0，即有x>—2，Vx+2=—x>0，可知方程有实数解；对(3),[x一6>0，x无解，即方程无实数解；对(4)，[x一3>0，x无解，[4-x>0[2-x>0即方程无实数解.总结】考查对无理方程解的判断，根据二次根式双重非负性即可进行初步判定.【习题3】方程*x2—8x+16=4—x的实数解为().A.x=4B.x<4C.x<4D.x=0【难度】★答案】C【解析】"x2—8x+16=\；(x-4)2=|x一4|=4—x，可矢口x一4<0，得x<4，故选C.【总结】考查根据二次根式的性质判定方程解的情况.【习题4】用换元法解方程3x2—6x-2\x2—2x+4+4=0时，设"x2-2x+4=y.则该方程可转换成整式方程是.【难度】★【答案】3y2—2y—8=0【解析】由Vx2—2x+4=y,可得:x2—2x=y2—4，原方程即为3(y2—4)一2y+4=0整理即为3y2-2y-8=0总结】考查用“换元法”对无理方程进行变形转化，注意最终要化成整式方程．习题5】解方程：(1)"2x2+7x-x=2；(2)2(3-、：x—3)=x.【难度】★【答案】(1)x=1；(2)x=4【解析】(1)移项两边平方得：2x2+7x=(x+2)2，整理得:x2+3x-4=0因式分解法解得x=-4，x=1，经检验，x=-4是原方程的增根，121即原方程的根为x=1(2)移项得2\:x-3=6-x，两边平方得4(x-3)=(6-x》，整理得:x2-16x+48=0解得:x=4，x=12，经检验，x=12是原方程的增根，即原方程的根为x=4122总结】考查无理方程的解法，注意方程增根的检验．习题6】解方程：(1)dx+3-、匚75-1=0；⑵<2x+3-7^2=2.【难度】★★答案】(1)x=11；(2)x=3，x=11．12【解析】(1)移项得J2x+3=Jx+5+1，两边平方得2x+3=x+5+1+2x+5移项得2--x+5=x-3，两边平方整理得x2-10x-11=0，解得:x=11，x=-112经检验，x=-1是原方程的增根，即原方程的根为x=112(2)移项两边平方得2x+3=x-2+4+4冒x-2，移项得4*x-2=x+1两边平方整理得x2-14x+33=0，解得:x=3，x=1112经检验，x=3，x=11都是原方程的根.12总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法，两边多次平方即可.习题7】解方程：(1)4x2—10x+\2x2—5x+2=17；(2)2x2+3x—5\'2x2+3x+9+3=0・

【难度】★★79【答案】(1)x=,x=—1；(2)x,x=3122122【解析】(1)令丫2x2—5x+2=y(y>0)，得2x2—5x=y2—2，方程即2(y2—2)+y=177整理得2y2+y—21=0，解得:y=—-(舍)，y=3122令€2x2—5x+2=3，平方整理得2x2—5x—7=0，解得：x=-,x=—1122经检验，x=-，x=—1都是原方程的根；122(2)令\：2x2+3x+9=y(y>0)，得2x2+3x=y2—9，原方程即y2—9—5y+3=0解得：y=—1(舍)，y=6,令J2x2+3x+9=6，平方整理得2x2+3x—27=0，1299解得：x=—9，x=3，经检验，x=—9，x=3都是原方程的根.122122总结】考查用“换元法”解无理方程，注意根据二次根式的非负性舍去相应增根．习题8】有两块正方形木板，其中大的一块木板面积比小的木板面积大45平方米，小的木板的边长比大的木板的边长短3分米，求这块小木板的面积．【难度】★★【答案】小木板面积为5602.5225m2【解析】设小木板面积为xm2，则大木板面积为(x+45)m2，由3dm=0.3m依题意可得'「x+45—、汪=0.3，移项整理得・匚=74.85，即得：x=74.852=5602.5225经检验，x=5602.5225是原方程的根，即小木板面积为5602.5225m2总结】考查根据题意列方程解应用题，注意题目中的单位换算．【习题9】如果y轴上一点P到两点A(3，5)、B(-1，-2)的距离相等，求P点的坐标.【难度】★★【解析】设点P(0，x)，根据两点间距离公式依题意可得*32+(5—x)2=詡+(x+2)2平方得x2—10x平方得x2—10x+34=x2+4x+5解得：x=晋，经检验'x=晋是原方程的根,14丿总结】考查利用两点间距离公式确定点的位置问题．【习题10】解方程：2x2—7x+1—12x2—9x+4=1.答案】解析】答案】解析】)=2x—3x=52x2—7x+1+\：2x2—9x+4)('2x2一7x+1—\:2x2一9x+4根据题意,得'2x2—7x+1-4x2-9x+4=1,可得、：2x2-7x+1+\：2x2—9x+4=2x—3两式相加可得v2x2—7x+1=x-1，平方整理得x2—5x=0，解得：x】=0,x?=5经检验，x1=0是原方程的增根，即原方程的根是x=5总结】考查有特殊形式的无理方程的解法，注意观察好含未知数的根式之间的关联．习题11】解方程：【难度】★★★【答案】x=7【解析】令=a(a>0)，则;：'-x±2=丄，原方程即为a—1=-\x+22x+2aa12解得：13舍)，则有4解得：13舍)，则有43解得：x=7，经检验，x=7是原方程的根.总结】考查利用“换元法”解无理方程，注意观察两个无理式之间的关联．【习题12】已知a为非负整数，若关于x的方程2x—a\：l-x—a+4=0至少有一个整数根,求a的值.【难度】★★★原方程即为2G—m2)-am-a+4=原方程即为2G—m2)-am-a+4=0【解析】令<1—x=m(m>0)，贝9有x=1—m26—2m2得a=——->0，由m>0，可得6—2m2>0，贝有0<m2<3，因为x为整数,m+1则m2为整数，同时a为整数，则m必为有理数，由此可得：m=0或m=1当m=0时，得a=6；当m=1时，得a=2；综上，a=2或6.总结】考查无理方程根的判定，利用换元法根据二次根式的非负性和题目要求求解计算【习题13】/【习题13】/地在M地的正北方向12千米处，B地在M地的正东方向12千米处，某人从B地出发向正西方向行至C地，再沿CA方向到达A地，这样比由B地到M地再到A地的路程少4千米，求M地与C地之间的距离.【难度】★★★【答案】MC=5km【解析】如图建立平面平面直角坐标系，点M为原点，则有A（0,12）,B（12,0）,设C（a,0），根据两点间距离公式AC=、：a2+122依题意可得Ja2+122+12—a+4=12+12，移项得a2+144=a+8，解得：a=5经检验，a=5是原方程的根，即得MC=5km【总结】考查根据构造平面直角坐标系解方程问题.【作业1】下列方程是无理方程的是（C.（运—1）x+A.3x+5x2=0C.（运—1）x+D.=\:5x—4\：22*2【难度】★【答案】B【解析】根据无理方程的概念，方程中含有根式，并且被开方数是含有未知数的代数式的方程叫做无理方程，可知B是无理方程，故选B.【总结】考查无理方程的概念，方程中根号内含有未知数即可【作业2】下列无理方程有解的方程是（）.D.—x=x—4C.、、：x—3+\：5—D.—x=x—4【难度】★【答案】B【解析】根据二次根式的双重非负性，对A选项，<7—3+5>5丰0，故方程无实数解;Ix—3=0对C选项，，不可能同时成立，可知方程无实数解；对D选项,15—x=0x无解，即方程无实数解；故选B．总结】考查对无理方程解的判断，根据二次根式双重非负性即可进行初步判定．【作业3】下列四个无理方程中，有一个根是x=2的方程是（）.A.wx+2=x+1B.、x一6=2C.Qx+2=xD.x2+1+x=0【难度】★答案】C【解析】对A、B、D选项，将x=2代入原方程，左边丰右边，可知x=2不是相应方程的解；对C选项，左边=J2+2=2=右边，可知x=2是相应方程的解，故选C.总结】考查对无理方程解的判断，根据二次根式双重非负性即可进行初步判定．【作业4】用换元法解弋2x2-5x+2+4x2-10x=17方程时，设€2x2-5x+2=尹，则原方程可转换成整式方程【难度】★【答案】2y2+y-21=0【解析】由＜2x2-5x+2=y,可得2x2-5x=y2-2，原方程即为y+2（y2—2）=17整理即为2y2+y-21=0总结】考查用“换元法”对无理方程进行变形转化，注意最终化成整式方程的形式．【作业5】将下列方程化成有理方程：（1）x2—1—2x=0；（2）3-、：2x-3=2x；（3）Qx+2-\：x=1.【难度】★【答案】（1）3x2+1=0；（2）2x2-7x+6=0；（3）4x-1=0【解析】（1）移项得Vx2—1=2x，两边平方整理得3x2+1=0（2）移项得72x-3=3-2x，两边平方得2x-3=（3-2x》，整理得2x2-7x+6=0（3）移项得i：x+2=、&+1，两边平方得x+2=x+1+2击，移项得2、&=1平方整理得：4x-1=0.总结】考查无理方程转化为有理方程，移项平方即可.作业6】解下列方程：(1)2\：x-3=x-6；(2)3一2x-3=x.【难度】★★【答案】(1)x=12；(2)x=2【解析】(1)两边平方得：4(x—3)=(x-6)2,整理得x2—16x+48=0因式分解法，解得：x=4，x=12，经检验，x=4是原方程的增根，121即原方程的根为x=12(2)移项得€2x-3=3—x，两边平方得2x—3=(3—x)2，整理得:x2—8x+12=0解得：x=2,x=6,经检验,x=6是原方程的增根,122即原方程的根为x=2总结】考查无理方程的解法，注意方程增根的检验．作业7】解下列方程：(1)x2—2=、■:2x+1；(2V2x2+7+x—8=0.【难度】★★答案】(1)x=3；(2)x=—19，x=3．12【解析】(1)两边平方得x2—2=2x+1，整理得:x2—2x—3=0因式分解法，解得：x=—1，x=3，经检验，x=—1是原方程的增根，121即原方程的根为x=3(2)移项得\：2x2+7=8一x，两边平方得2x2+7=(8—x)2，整理得：x2+16x—57=0解得：x=—19，x=3，经检验，x=—19，x=3都是原方程的根.1212总结】考查无理方程的解法，注意方程增根的检验.作业8】解下列方程：(1)；2x—1+空3-2x=2；(2)*3x+1^'6x+1=—2.【难度】★★答案】(1)x=1；(2)x=8.【解析】(1)移项得x—1=2-—2x，两边平方，得：2x—1=3—2x+4—4、，3—2x，移项得73-2x=2—x，两边平方整理，得x2—2x+1=0，解得：x=x=112经检验，x=x=1是原方程的根，即原方程的根为x=112(2(2)移项得-；'3x+1=^6x+1一2，两边平方，得：3x+1=6x+1+4一4\6x+1(2(2)移项得-；'3x+1=^6x+1一2，两边平方，得：3x+1=6x+1+4一4\6x+1移项得4\：6x+1=3x+4，两边平方整理得，9x2-72x=0，解得：x=0,x=812经检验，x=0是原方程的增根，即原方程的根为x=81总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法，两边多次平方即可作业9】有一个数，它的平方根比它的倒数的正平方根的3倍多2，求这个数．【难度】★★答案】9．【解析】设这个数为x，依题意可得咚-=2，平方得：(x-3)2=4x整理得x2-10x+9=0，解得：x=1，x=9，经检验，x=1是原方程的增根,121得方程的根是x=9，即这个数是9.总结】考查根据题意列方程解题，注意无理方程增根的检验．【作业10】已知点P是x轴上一点，它与点A(-9,3)之间的距离是15,求点P的坐标.【难度】★★答案】P-9,0)或P(6*6-9,0)【解析】设点P(x,0)，根据两点间距离公式，依题意可得gx+9+32=15平方得(x+9)2=216，解得：x=—9,x=—6、6—91