结构位移计算

第四章静静定结结构位移移的计算算1A′第四章静静定结结构位移移的计算算§4—1计算结构构位移的的目的§4—2功广义义力和广广义位移移§4—3计算结构构位移的的一般公公式§4—4静定结构构在荷载载作用下下的位移移计算§4—5图乘法§4—6静定结构构由于支支座位移移和温度度变化时时的位移移计算§4—7互等定理理2§4—1计算结构构位移的的目的位移的概概念：结构在荷荷载、温温度变化化、支座座移动与与制造误误差等各各种因素素作用下下发生变变形，因因而结构构上各点点的位置置会有变变动。这这种位置置的变动动称为位位移。位移分类类：截面的移移动----线位移；截面的的转动----角位移。线位移又又分为：：水平位位移和竖竖向位移移。按位置变变化的参参照物分分：绝对对位移和和相对位位移一、结构构的位移移3结构上的的一个指指定截面面，位移移后的新新位置相相对其位位移前旧旧位置的的改变。。绝对位移移结构上的的两个指指定截面面，位移移后新的的位置关关系相对对其位移移前旧位位置关系系的改变变。相对位移移4APA′A线位移：：角位移：：A(△A)△Ay△Ax△Ay△Ax△A绝对位移移相对位移移PACDC′D′△C△D△CD=△C+△D□B5为什么要要计算位移?AP引起结构构位移的的原因制造误差等荷载温度改变支座移动还有什么么原因会使结结构产生位移?6二计算算结构位位移的目目的铁路工程程技术规规范规定定:(1)刚度要求求桥梁在竖竖向活载载下，钢钢板桥梁梁和钢桁桁梁最大挠度度<1/700和1/900跨度高层建筑筑的最大大位移<1/1000高度；最大层间间位移<1/800层高。(2)超静定、、动力和和稳定计计算(3）施工要要求在工程上上，吊车车梁允许许的挠度度<1/600跨度；7本章所研研究的是是线性变形形体系的位移计计算是指位移移与荷载载成比例例的结构构体系，，荷载对对这种体体系的影影响可以以叠加，，而且当当荷载全全部撤除除时，由由荷载引引起的位位移也完完全消失失。满足如下下基本假假定：１、应力力和应变变服从虎虎克定律律（物理理线性））；２、位移移是微小小位移（（几何线线性），，即可用用结构原原尺寸和和叠加法法计算其其位移；；３、所有有约束为为理想约约束，即即约束力力不作功功。8§4—2功、广广义力、、广义义位移功：力对对物体作作用的累累计效果果的度量量功=力×力作用点点沿力方方向上的的位移实功：力在自身身所产生生的位移移上所作作的功广义力、、广义位位移对于其他他形式的的力或力力系所做做的功也也常用两两个因子子的乘积积来表示示，其中中与力相相对应的的因子称称为广义义力，与与位移相相对应的的因子称称为广义义位移。。一个力系系作的总总功W=P×P---广义力;---广义位移移9例:1)作功的力力系为一一个集中中力2)作功的力力系为一一个集中中力偶3)作功的力力系为两两个等值值反向的集集中力偶偶4)作功的力力系为两两个等值值反向的集集中力10§4—3计算结构构位移的的一般公公式虚功：力在非自自身所产产生的位位移上所所作的功功虚功中的的力和位位移之间间没有因因果关系系，即虚虚功的力力和位移移不相关关。这是是虚功区区别于实实功的重要特点点。实功：力在自身身所产生生的位移移上所作作的功虚功中的的两种状状态力状态位移状态态（虚力状状态）（虚位移移状态））LbaBC11在简支梁梁上先加加载FP1，使力FP1作用点的的位移达达到终值值△11，再加载载FP2，使力FP1的作用点点发生位位移△12，力FP1在位移△△12上作的功功叫虚功功,即：W12=FP1△12虚功中的的力和位位移两个个要素不不相关。。即无因因果关系系。虚功功具有常常力功的的形式。。根据叠加加原理+12变形体的的虚功原原理虚应变能能：当结构的的力状态态的外力力因结构构的位移移状态的的位移作作虚功时时，力状状态的内内力也因因位移状状态的相相对变形形而作虚虚功，这这种虚功功称为虚虚应变能能，以V表示。变形体系系的虚功功原理：：设变形体体系在力力系作用用下处于于平衡状状态（力力状态）），又设设该变形形体系由由于别的的原因产产生符合合约束条条件的微微小的连连续变形形（位移移状态）），则力力状态的的外力在在位移状状态的位位移上所所作的虚虚功，恒恒等于力力状态的的内力在在位移状状态的变变形上所所作的虚虚功，即即等于虚虚应变能能。或简简写为：：外力虚功功W=虚应变能能V13微段剪切切微段拉伸伸微段弯曲曲力状态位移状态态对于杆件件结构，，设在力力状态中中任一微微段dx的内力为为FN1、FQ1、M1；而位移移状态中中杆件对对应微段段的相对对变形，，即正应应变ε2、切应变变γ2和曲率κ2。如图所所示：微段上的的虚应变变能可表表示为：：dV=FN1du2+FQ1dv2+M1dφ214微段上的的虚应变变能：dV=FN1du2+FQ1dv2+M1dφ2对上式沿沿杆长进进行积分分，然后后对结构构的全部部杆件求求和，即即得到杆杆件结构构的虚应应变能为为：或那么杆件结构构的虚功功原理就可表示示为：或杆件结构的虚功方程15计算结构构位移的的一般公公式求D点的水平平位移实际状态态虚拟状态态在D点处沿水平方向加上一个单位荷载ＦＰ＝１，此时Ａ处虚拟状态的支座反力为B处的支座反为，结构在单位力和相应的支座反力的作用下维持平衡，其内力用、、来表示。16虚设力系系的外力力（包括括反力））对实际际状态的的位移所所作的总总虚功为为：即：以dφ、dυ、dμ表示实际际状态中中微段的的变形，，则总的的虚应变变能为：：由杆件结结构的虚虚功原理理，得即：计算结构构位移的的一般公公式17求C点竖向位位移求B点水平位位移求C点转角位位移求A、B两点相对竖向向位移力的虚设设方法CBCABABFp=1Fp=1M=1Fp=1Fp=1Fp=1Fp=1求A、B两点相对水平平位移18M=1求C点相对转转角位移移求CD杆相对转转角位移移Fp=1/LFp=1/LC

C

D19ABP=1P=1求A、B两点相对线位位移P=1P=1BA求A、B两点相对线位位移ABC求相对转转角位移移20在具有理理想约束束的刚体体体系中中，若力力状态中中的力系系满足静静力平衡衡条件，，位移状状态中的的刚体位位移与约约束几何何相容，，则该力力在该相相应的刚刚体位移移上所作作的外力力虚功之之和等于于零，即即W＝０。刚体的虚虚功原理理利用虚功功原理和和虚功的的力和位位移不相相关的特特性，虚虚功原理理有两种种应用：：1）虚设位位移，求求实际的的力——虚位移原原理；2）虚设力力状态，，求位移移——虚力原理理。211虚设位移移求未知知力(a)(b)如图（a）所示杠杠杆，在在B点作用已已知荷载载FP，求杠杆杆平衡时时在A点需加的的未知力力FA。把刚体取取虚位移移，如图图（b）所示，，根据刚刚体虚功功原理得得：令δA=1，且令δB表示位移

之间的比例系数：，由图中几何关系得：(1)

其中：分别是沿FA和FP方向的虚位移。将（1）式除以ΔA，得22例求A端的支座座反力(ReactionatSupport)解：去掉掉A端约束并并代以反反力X，构造相应应的虚位位移状态态.ABaC(a)bPX(b)P(c)直线待分析平平衡的力力状态虚设协调调的位移移状态由外力虚虚功总和和为零，，即：将代入得:通常取单位位移移法(Unit-DisplacementMethod)(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是实际受力状态的平衡方程(2)虚位移与实际力状态无关,故可设(3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。(4)用几何法来解静力平衡问题23单位位移移法步骤骤：去掉与拟拟求力相相应的约约束，并并代以拟拟求力（（力的方方向是先先假定的的），并并使得到到的体系系（机构构）沿拟拟求力的的方向发发生单位虚位位移；令所有外外力在体体系的虚虚位移上上作虚功功，建立立虚位移移方程并并求解。。结果为正正，所得得力的方方向与假假定的方方向相同同；结果果为负，，所得力力的方向向与假定定的方向向相反。。24例：利用虚位位移原理理求图示示简支梁梁的Ｂ支支座的反反力FBy。LbaBC(1)去掉B支座链杆杆(2)按拟求支支座反力力让机构构发生单单位虚位位移(3)写出虚位位移方程程(4)求解虚位位移方程程解：25例：试求求静定多多跨梁在在C点的支座座反力Fx。(1)去掉C支座链杆杆，把支支座反力力变成主主动力Fx(2)按拟求支支座反力力让机构构发生单单位虚位位移，并并设δx=1。根据几几何关系系，可得得：(3)写出虚位位移方程程(4)求解虚位位移方程程解：26例：试求求简支梁梁截面C的弯矩Mc，设在A端作用力力偶荷载载M。(1)去掉与弯弯矩Mc相应的约约束，即即将截面面C由刚接改改为铰接接。同时时弯矩Mc由约束力力变为主主动力，，由一对对大小相相等、方方向相反反的力偶偶组成。。(2)取虚位移移，设C点竖向位位移为Δc，则AC和BC两段的转转角α和β分别为：：(3)写出虚位位移方程程(4)求解虚位位移方程程解：27例：试求求简支梁梁截面C的剪力FQc，设全跨跨作用均均布竖向向荷载q。(1)去掉与剪剪力FQc相应的约约束，即即将截面面C切开，加加上两个个平行梁梁轴的链链杆。同同时剪力力FQc由约束力力变为主主动力，，由一对对大小相相等、方方向相反反的竖向向力组成成。(2)取虚位移移，两梁梁的转角角为θ，C1、C2的竖向位位移分别别为aθ和bθ，相对竖竖向位移移为aθ+bθθ：(3)写出虚位位移方程程解：剪力FQC作的虚功功为：28因此虚功功方程为为：微段dx上的均布布荷载q在竖向位位移y上作的虚虚功为：：AC1段上的均布荷荷载q作的虚功功为：BC2段上的均布荷荷载q作的虚功功为：(4)求解虚位位移方程程292虚设力系系求位移移在拟求位移的方向设置单位位移，而在其他地方不再设置荷载。这个单位位移与相应的支座反力组成一个虚设的平衡力系。abB'A'c1AC静定梁支座A向上移动距离c1，拟求B点的竖向位移。（1）虚设的的平衡力力系（2）虚功方方程（3）竖向位移(1)所建立的的虚功方程,实质上是几何方程。(2)虚设的力状状态与实际际位移状态态无关，故故可设单位位广义力P=1(3)求解时关键键一步是找找出虚力状状态的静力力平衡关系系。(4)是用静力平平衡法来解解几何问题题。单位荷载法法ACB130悬臂梁在截截面B有相对转角角，，拟求A点的竖向位位移。。baBACA'（1）在B处加铰，把把实际位移移状态表示示为刚体体体系的位移移状态。BACA'（4）竖向位移（3）虚功方程程（2）在A点沿拟求位位移的方向向虚设单位位荷载，在B处加铰还虚虚设一对弯弯矩BAC131§4—4静定结构在在荷载作用用下的位移移计算当结构只受受到荷载作作用时，求求K点沿指定方方向的位移△KP，此时没有支支座位移，，故△KP=式中：为虚拟状态态中微段上上的内力；；dP、duP、Pds为实际状态中微段段上的变形形。由材料料力学知（a）dP=duP=Pds=将以上诸式式代入式（（a）得△KP=这就是平面杆杆件结构在在荷载作用用下的位移移计算公式式。32讨论论1.梁和刚架:轴向变形和和剪切变形形影响较小小，可以忽忽略△KP=2.桁架：只有轴力的的作用△KP=3.组合结构：：△KP=在实际计算算时，根据据结构的具具体情况33(4)拱结构：一般的实体体拱中，其其位移计算算只考虑弯弯曲变形一一项的影响响；但在扁扁平拱中有有时尚须考考虑轴向变变形对位移移的影响，，故位移公公式：例：求图示示简支梁中中点C的竖向位移移。解：（1）取虚力状状态如图：：（2）写出弯矩矩、剪力的的方程：Fp=1C/CABL/2L/22/L/2LqkNm34（3）计算

当时当时（2）写出弯矩矩、剪力的的方程：35（4）比较弯曲曲变形与剪剪切变形的的影响弯曲变形：

剪切变形：

两者的比值：

若高跨比为：

则：

结论：在计算受弯构件时，若截面的高度远小于杆件的长度的话，一般可以不考虑剪切变形及轴向变形的影响;但是对于深梁（梁的跨度与高度之比L／h≤2的简支梁和L／h≤2．5的连续梁

）剪切变形的影响不可以忽略。36例求图示刚架架A点的竖竖向位移移△Ay。E、A、I为常数。ABCqLLA`实际状态虚拟状态ABC1解：1.设置虚拟状状态xx选取坐标如如图。则各杆弯矩矩方程为:AB段：x,BC段：2.实际状态中中各杆弯矩矩方程为AB段：BC段：MP=MP=xx3.代入公式得得△Ay=，()=(-x)(-2qx2)EIdx+(-L)(-2qL2)EIdx返回37例：计算图示刚架C点的水平位移

和C点的转角

，各杆的EI为常数。

解：（1）求

写出杆件的方程

BC杆：

BA杆：

LACBLEIEIqACBFP=1给出结构的的虚拟状态态38（2）求

写出杆件的方程

BC杆：

BA杆：

ACBM=1给出结构的的虚拟状态态39例：求曲曲梁B点的竖向位位移(EI、EA、GA已知)ROBAP解：构造虚虚设的力状状态如图示示P=1RθPRθ40小曲率杆可可利用直杆杆公式近似似计算，轴轴向变形、、剪切变形形对位移的影影响可略去去不计。41例：如图所所示桁架，，求(1)D结点的竖向向位移(2)CD杆的转角位位移。已已知各杆EA相等，并为为常数。。（1）求D结点的竖向向位移ΔDV解：1）计算

通过求解解我们得得到，各各杆的轴轴力如图图所示（（单位：：KN）：422）计算

在D点虚设单单位竖向向荷载，，相应各杆的轴轴力如图图所示：：3）求D结点的竖竖向位移移ΔDV根据桁架架位移计计算公式式得：43（2）求CD杆的转角位移q设置虚力力状态：求得相应应虚力状状态的各各杆内力力：根据桁架架位移计计算公式式得：()44图乘法及及其应用用条件几种常见见图形的的面积和和形心位位置应用图乘乘法时的的几个具具体问题题图乘法应应用举例例§4—5图乘乘法法45图乘法计算弯曲曲变形引引起的位位移时，，需要计计算积分分对直杆或或直杆一一段，当当EI沿杆长度度不变，，且积分分号内两两个弯矩矩图形有有一个是是直线图图时，采采用图乘乘法计算算积分比比较方便便。什么是图图乘法？？它的适用条件件是什么么?图乘法是是Vereshagin于1925年提出的的，他当当时为莫斯科科铁路运运输学院院的学生。46△KP=当结构符符合下述述条件时时：（1）杆轴为直直线；（2）EI=常数；上述积积分可以以得到简简化。MP图和M两个弯矩矩图中至少有一一个是直直线图形形。（3）xy面积设等截面面直杆AB段的两个个弯矩图图中，为一段直直线，MP图为任意意形状，ABO则上式中的的ds可用dx代替。ABMPdx故有=xtg,且tg=常数，则则d=MPdxx⌒EItg∫xMPdx=EItg∫xMPdx=EItg∫xd图乘法:计算梁和和刚架在在荷载作作用下的的位移时时，要计计算下面面的积分分47MP图xy形心C面积ABOABMPdxd=MPdxxxC有yCyC=xCtg则积分运运算化简简为一个弯矩矩图的面面积乘以其形心心处所对对应的另另一个直线线弯矩图图上的竖竖标yC。如果结构构上所有有各杆段均可可图乘则则位移计计算可写成成△KP=⌒而EI∫xdtgEIxCtgEIyCEIyC48由此可见见，上述述积分式式等于一一个弯矩矩图的面面积乘乘以其形形心处所所对应的的另一个个直线弯弯矩图上上的纵距距，，再再除以EI。这就是图图形相乘乘法的计计算公式式，简称称为图乘乘法。图乘法公公式：(1)结构上各各杆均为为等截面面直杆，，即，各各杆EI分别或分分段为常常数；(2)竖标必须须取自直直线弯矩矩图形;(3)另一弯矩矩图的面面积A和面积形形心易求求得。图乘公式式的应用用条件：：图乘法的的注意事事项：（1）必须符符合上述述三个前前提应用用条件；；（2）竖标yc只能取自自直线图图形；（3）与yc若在杆件件同侧则则乘积取取正号，，反之取取负号。。493.常用的几几种简单单图形的的面积和和形心Lh2L/3L/3Lhab（L+a)/3(L+b)/3形心形心h顶点2l/53l/5l/54l/5三次抛物物线50Lh二次抛物线线顶点L/2二次抛物线线Lh4L/5L/53L/85L/8121=2/3(hL)2=1/3(hL)顶点返回51注：图中中的抛物物线均为为标准抛抛物线。。标准抛物物线是指指含有顶顶点在内内且顶点点处的切切线与基基线平行行的抛物物线。弯弯矩图为为标准抛抛物线时时，在顶顶点处截截面的弯弯矩为0。顶点hn+1=hlwn次抛物线线52应用图乘乘法要注注意的若若干问题题：（1）如果两两个图形形都是直直线图，，则标距距yc可取自其其中任一一图形。。（2）如果两个图图形都是梯形形，则把一个个梯形分为两两个三角形，，分别应用乘乘法。MP图abcdLybya则其中标距ya和yb要用以下公式式计算53(3)当yC所属图形是由由若干段直线线组成时，或或各杆段的截截面不相等时时，均应分段段相乘，然后后叠加。123y1y2y3123y1y2y3△=(1y1+2y2+3y3)I1I2I3△=54MP图abcdy1y2此时y1=2/3×c－1/3×dy2=2/3×d－1/3×c（4）图形的纵距距a、b或c、d不在基线同一一侧时。处理原则也和和上面一样，，可分解为位于于基线两侧的的两个三角形形，分别与另另一图形相乘乘，然后叠加加。55例

试求图a所示刚架C点的竖向位移。

解：1）作实际状态的。（2）建立虚拟状态，并作图。1l/256（3）进行图形相乘，求C点竖向位移。

1l/2y1y2y357例：求A点的转角和C点的竖向位移。解：（1）求A点的转角（2）求C点的竖向位移移CAB20kN10kN/m6m6m1M=1MA图30045MP图6Fp=1MC图58图（

）图BAq例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角解:59例：求图示三三铰刚架C点的相对转角角。解：荷载作用用下的弯矩图图和虚设力作用下的的弯矩图如图图所示。B20kN/mACED8mα6m2mAEDBAEDB12012040403/43/41MC图Mp图M=1603/43/41AEDB1201204040Mp图AEDBMC图M=161求下图所示刚刚架C、D两点间距离的的改变。设EI=常数。ABCDLhq解：1.作实际状态的的MP图。MP图2.设置虚拟状态态并作。11hhyC=h3.计算位移（→←）∆CD=∑EIyC=EI1(328qL2L)h=12EIqhL2形心62求图示刚架A点的竖向位移移△Ay。ABCDEIEI2EIPLLL/2解：1.作MP图、PPLMP图1L；2.图乘计算。△Ay=（↓）∑EIyC=EI1(2L‧L2PL(L‧4=16EIPL2)-2EI123L)PL返回63求图示外伸梁梁C点的竖向位移移△Cy。EI=常数。qABCL图11y2y3+解：1.作MP图2.作图3.图乘计算y1=y2=y3=△Cy=y1MP图23返回回64§7——6静定结结构温温度变变化时时的位位移计计算当静定定结构构温度度发生生变化化时，，由于于材料料热胀胀冷缩缩，结结构将将产生生变变形形和位位移。。设结构构(见图)外侧温温度升升高t1，内侧温温度升升高t2,求K点的竖竖向位位移△△Kt。t1t2KK`△Kt现研究究实际际状态态中任任一微微段ds,由于温温度变变化产产生的的变形形。dsds△Kt=此时由由式（（7—5）可得得ht1t2t2dst1dsdtdut=(t1ds+t2ds)/2=tds(a)(b)KdsPK=1ds实虚式中dt=(t2ds-t1ds)/h=△t=t2－t1(c)h∆tds式中将式（（b)、(c)代入式式（a)，得△Kt=（7—11）温度变变化不不会引引起剪剪切变变形，，即t=0返回回65支座移移动、、温度作作用时时的位位移计计算静定结结构由由于支支座移移动并并不产产生内内力，，材料料（杆杆件））也不不产生生变形形，只只发生生刚体体位移移。（（该位位移也也可由由几何何关系系求得得）。。有一支支座座移动动时的位位移计计算其中：

—由虚设力产生的在有支座位移处的支座反力

c—真实的支座位移

66例：图图示三三铰刚刚架A支座往往下位位移了了b，B支座往往右位位移了了a，求C点的竖竖向位位移,和C点的相相对转转角。（1）求C点的竖向位移

真实的的位移移状态态abL/2L/2LABC在C点作用一个竖向单位力，求出和。虚设的的力状状态Fp=1ABC67（2）求C点的相对转角

在C点作用一对力矩，求出和。

虚设的的力状状态真实的的位移移状态态ABCLaL/2L/2bABCM=168例：图示示三铰铰刚架架右边边支座座的竖竖向位位移△△By=0.06m↓↓水平位位移△△Bx=0.04m→→,已知L=12m，h=8m。求A。hL/2L/2△Bx△By实ABC解：虚虚拟拟状态态如图图。ABC1A=0.0075rad虚69二温温度度改变变时的位位移计计算杆件温温度变变化时时，静静定结结构不不会引引起内内力，，但材材料会会发生生膨胀胀和收收缩，，从而而引起起截面面的应应变，，使结结构产产生变变形和和位移移。温度改变时：1）由于纤维的伸长或缩短引起轴向变形2）由于伸长或缩短不一致，引起弯曲变形3）温度改变不引起剪切变形一般公式设温度度沿截截面高高度h以直线线传递递，则则截面面上材材料的的应变变沿高高度也也呈线线性变变化。。因此此，杆杆件由由于温温度改改变变变形后后平截截面假假定仍仍然适适用。。70上边缘温度上升，下边缘温度上升。BA形心轴轴处的的温度度当时材料的线胀系数，则微段的变形由于温温度改改变不不引起起切应应变温度作用引起的位移71温度作作用引引起的的位移移：若温度度沿杆杆长变变化相相同，，且截截面高高度不不变，，则上上式可写成成：其中：—由虚设单位力产生的轴力图面积—由虚设单位力产生的弯矩图面积正负号号的规规定：：虚力力状态态中的的变形形与温温度改改变产产生的的变形方方向一一致时时，取取正号号，反反之取取负号号。72例刚架内侧温度升高，外侧温度不变，求C点的竖向位移。已知,各杆为矩形截面，高h=40cm。温度作作用的的位移移计算算例子子ABCaa图p=1BAC1图p=1BACa解:C点加单位竖向力p=1，并作图。杆件两两边的的温差差及轴轴线处处温度度升高高为73例图示刚刚架施施工时时温度度为20℃℃，求冬冬季外外侧温温度为为－10℃℃，内侧侧温度度为0℃时A点的竖竖向位位移△△Ay。已知L=4m，=10－5，各杆均均为矩矩形截截面，，高度度h=0.4m。LLt1t2实解：外侧温温度变变化绘图，AA1虚1代入式式（7—12），并并注意意正负负号(判断)，L△Ay可得t1=－10℃－－20℃=－30℃℃,内侧温度变化t2=0℃－20℃=－20℃。t=(t1+t2)/2=－25℃,△t=t2－t1=10℃74已知：AB杆做短了△lAB。求：安装后，，C点的竖向位移移。解位移状态：只有刚体位位移。力状态：在求位移处处加单位力、、将有制造误误差的杆件去去掉，画出杆杆件的轴力。。静定结构制造造误差下的结结构位移计算算ABCA实际的位移状状态AB虚设的单位力力状态75刚体虚功原理理拉力×短的误差压力×长的误差取“正”号若多个杆件有有误差注意：的符号A实际的位移状状态AB虚设的单位力力状态76已知：下弦杆杆均做短了0.6cm。求：结点A的竖向位移。。解6m6×6mA1/21/2111/21/277互等定理本节介绍线性性变形体系的的四个互等定定理：1）功的互等定定理2）位移互等定定理3）反力互等定定理4）位移反力互互等定理其中最基本的的是功的互等等定理，其它它三个定理均均可由此推导导出来。互等定理只适适用于线形变变形体系，其其应用条件为为：材料处于弹性性阶段，应力力与应变成正正比；结构变形很小小，不影响力力的作用。781)功的互等定理理设有两组外力力FP1和FP2分别作用于同同一线弹性结结构上，如图图所示，(a)、(b)分别称为结构构的第一状态态和第二状态态。(a)第一状态FP112Δ11Δ21(b)第二状态FP212Δ12Δ22第一状态的外外力在第二状状态的位移上上所作的虚功功，等于第二