八年级上册数学《三角形》单元检测卷(带答案)

人教版八年级上册《三角形》单元测试卷时间：90分钟总分：100一．选择题（共10小题）1.以下长度的三条线段，不能组成三角形的是（）A.3、8、2B.2、5、4C.6、3、5D.9、15、72.一个三角形中，有一个角是55°，另外的两个角可能是（）A.95°，20°B.45°，80°C.55°，60°D.90°，20°3.如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠A=50°，BE、CF相交于D，则∠BDC的度数是（）A.115°B.110°C.100°D.90°4.如图△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是边AC上的高，则∠DBC的度数是（）A.36°B.26°C.18°D.16°5.已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为A2B.3C.5D.136.若中，，则一定是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.任意三角形7.一个正多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形的边数是（）A.6B.8C.9D.128.下列说法中，错误的是（）A三角形中至少有一个内角不小于60°B.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形C.三角形的角平分线、中线、高均在三角形的内部D.多边形的外角和等于360°9.如图，在四边形ABCD中，∠ABC与∠BCD的平分线的交点E恰好在AD边上，则∠BEC=（）A.∠A+∠D﹣45°B.（∠A+∠D）+45°C.180°﹣（∠A+∠D）D.∠A+∠D10.如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF,以下结论：①AD∥BC；②∠BDC＝∠BAC；③∠ADC＝90°－∠ABD；④BD平分∠ADC;其中正确结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二．填空题（共8小题）11.若一个三角形两边长分别为5和8，则第三边长的取值范围为_____．12.如图，在△ABC中，∠A=_____．13.如图，在△ABC中，已知∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，∠EHF的度数是_____．14.一个八边形的所有内角都相等，它的每一个外角等于_____度．15.如图所示，△ABC中，点D，E分别是AC，BD上的点，且∠A＝65°，∠ABD＝∠DCE＝30°，则∠BEC的度数是________．16.如图，在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB的平分线交AB边于点E，在AC边取点D，使∠CBD=20°，连接DE，则∠CED的大小=_____（度）．17.如图，在△ABC中，∠C=46°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是_____．18.如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠BA′C=110°，则∠1+∠2=_____．三．解答题（共7小题）19.（1）已知三角形三个内角的度数比为1：2：3，求这个三角形三个外角的度数．（2）一个正多边形的内角和为1800°，求这个多边形的边数．20.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．（1）若∠B=70°，∠C=40°，求∠DAE的度数．（2）若∠B﹣∠C=30°，则∠DAE=．（3）若∠B﹣∠C=α（∠B＞∠C），求∠DAE的度数（用含α的代数式表示）21.如图，已知BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE的外角平分线，CD与BD交于点D．（1）若∠A=50°，则∠D=；（2）若∠A=80°，则∠D=；（3）若∠A=130°，则∠D=；（4）若∠D=36°，则∠A=；（5）综上所述，你会得到什么结论？证明你的结论的准确性．22.在一个钝角三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“智慧三角形”．如图，∠MON=60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交射线OB于点C．（1）∠ABO的度数为_____°，△AOB_____（填“是”或“不是”）“智慧三角形”；（2）若∠OAC=20°，求证：△AOC为“智慧三角形”；（3）当△ABC为“智慧三角形”时，求∠OAC的度数．23.如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，AD交BE于F.已知EG∥AD交BC于G,EH⊥BE交BC于H，∠HEG=50°.（1）求∠BFD的度数.（2）若∠BAD=∠EBC，∠C=41°，求∠BAC的度数.24.如图，在△ABC中，∠CAB=∠CBA，过点A向右作AD∥BC，点E是射线AD上的一个动点，∠ACE的平分线交BA的延长线于点F．（1）若∠ACB=40°，∠ACE=38°，求∠F的度数；（2）在动点E运动的过程中，的值是否发生变化？若不变，求它的值；若变化，请说明理由．25.在△ABC中，BM平分∠ABC交AC于点M，点P直线AC上一点，过点P作PH⊥BM于点H．（1）如图1，当∠ACB=110°，∠BAC=30°，且点P与点C重合时，∠APH=°；（2）如图2，当点P在AC的延长线上时，求证：2∠APH=∠ACB﹣∠BAC；（3）如图3，当点P线段AM上（不含端点）时，①补全图形；②直接写出∠APH、∠ACB、∠BAC之间的数量关系：．参考答案一．选择题（共10小题）1.以下长度的三条线段，不能组成三角形的是（）A.3、8、2B.2、5、4C.6、3、5D.9、15、7[答案]A[解析][分析]根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进行判定即可．[详解]2+3＜8，A不能组成三角形；2+4＞5，B能组成三角形；3+5＞6，C能组成三角形；7+9＞15，D能组成三角形；故选A．[点睛]此题主要考查学生对运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形的掌握情况，注意只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．2.一个三角形中，有一个角是55°，另外的两个角可能是（）A.95°，20°B.45°，80°C.55°，60°D.90°，20°[答案]B[解析][分析]根据三角形内角和等于180°求出另两个内角的和，再据此依次分析即可．[详解]∵一个三角形中，有一个角是55°，∴另外的两个角的和为125°，各选项中只有B选项：45°+80°=125°．故选B．[点睛]考查三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和等于180°是解题的关键.3.如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠A=50°，BE、CF相交于D，则∠BDC的度数是（）A.115°B.110°C.100°D.90°[答案]A[解析][分析]由于∠A=50°，根据三角形的内角和定理，得∠ABC与∠ACB的度数和，再由角平分线的定义，得∠DBC+∠DCB的度数，进而求出∠BDC的度数．[详解]∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，∵BE、CF是△ABC的角平分线，∴∴∴∠BDC=180°﹣65°=115°，故选A．[点睛]考查三角形内角和定理以及角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键.4.如图△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是边AC上的高，则∠DBC的度数是（）A.36°B.26°C.18°D.16°[答案]C[解析][分析]根据三角形的内角和定理与∠C=∠ABC=2∠A，即可求得△ABC三个内角的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠DBC的度数．[详解]∵∠A+∠C+∠ABC=180°，∠C=∠ABC=2∠A，∴2∠A+2∠A+∠A=180°，解得，∠A=36°，则∠C=72°，∵BD是边AC上的高，∴∠BDC=90°，∴∠DBC=90°﹣∠C=18°，故选C．[点睛]考查三角形的内角和定理以及高的性质，掌握三角形的内角和等于180°是解题的关键.5.已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为A.2B.3C.5D.13[答案]B[解析][分析]根据“三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”，可得x的取值范围，一一判断可得答案.[详解]解：根据“三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”可得:13-2<x<13+2,即11<x<15,因为取正整数,故x的取值为12、13、14,即这样的三角形共有3个.故本题正确答案为B.[点睛]本题主要考查构成三角形的三边的关系.6.若中，，则一定是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.任意三角形[答案]B[解析][分析]根据三角形内角和180，求出最大角∠C，直接判断即可.[详解]解：∵∠A：∠B：∠C=1：2：4．∴设∠A=x°，则∠B=2x°，∠C=4x°，根据三角形内角和定理得到：x+2x+4x=180,解得：x=．则∠C=4×故选B.=°，则△ABC是钝角三角形．[点睛]本题考查了三角形按角度的分类.7.一个正多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形的边数是（）A.6B.8C.9D.12[答案]D[解析][分析]根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数=360°÷30°，计算即可求解．[详解]这个正多边形的边数：360°÷30°=12，故选D．[点睛]本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键．8.下列说法中，错误的是（）A.三角形中至少有一个内角不小于60°B.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形C.三角形的角平分线、中线、高均在三角形的内部D.多边形的外角和等于360°[答案]C[解析][分析]根据三角形的内角和定理判断A；根据等边三角形的判定定理判断B；根据三角形的角平分线、中线、高的定义及性质判断C；根据多边形的外角和定理判断D．[详解]A、如果三角形中每一个内角都小于60°，那么三个角三个角的和小于180°，与三角形的内角和定理相矛盾，故本选项正确，不符合题意；B、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项正确，不符合题意；C、三角形的角平分线、中线与锐角三角形的三条高均在三角形内部，而直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，故本选项错误，符合题意；D、多边形的外角和等于360°，故本选项正确，不符合题意；故选C．[点睛]考查三角形的角平分线、中线和高,三角形,三角形内角和定理,多边形内角与外角，比较基础，难度不大.9.如图，在四边形ABCD中，∠ABC与∠BCD的平分线的交点E恰好在AD边上，则∠BEC=（）A.∠A+∠D﹣45°B.（∠A+∠D）+45°C.180°﹣（∠A+∠D）D.∠A+∠D[答案]D[解析][分析]根据四边形的内角和,∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D），根据角平分线的定义可得再根据三角形的内角和定理可得后整理即可得解；然[详解]∵四边形的内角和=360°，∴∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D），∵∠ABC与∠BCD的平分线的交点E恰好在AD边上，∴∴∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）故选D．[点睛]考查四边形的内角和，三角形的内角和以及角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键.10.如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF,以下结论：①AD∥BC；②∠BDC＝∠BAC；③∠ADC＝90°－∠ABD；④BD平分∠ADC;其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个[答案]C[解析][分析]根据角平分线定义得出∠ABC=2∠ABD=2∠DBC，∠EAC=2∠EAD，∠ACF=2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，根据三角形外角性质得出∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠EAC=∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．[详解]解：∵AD平分∠EAC，∴∠EAC=2∠EAD，∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC=∠ACB，∴∠EAD=∠ABC，∴AD∥BC，∴①正确；∵∠ACF=2∠DCF，∠ACF=∠BAC+∠ABC，∠ABC=2∠DBC，∠DCF=∠DBC+∠BDC，∴∠BAC=2∠BDC，∠BDC＝∠BAC,∴②正确；△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，∵CD平分△ABC的外角∠ACF，∴∠ACD=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，∴∠ADC+∠ABD=90°∴∠ADC=90°-∠ABD，故③正确；∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵∠ADB=∠DBC，∠ADC=90°-∠ABC，∴∠ADB不等于∠CDB，∴④不正确；即正确的有3个，故选C．[点睛]本题考查了三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定，三角形内角和定理的应用，主要考察学生的推理能力，有一定的难度．二．填空题（共8小题）11.若一个三角形两边长分别为5和8，则第三边长的取值范围为_____．[答案]3＜第三边＜13．[解析][分析]根据“三角形的任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”,可得8-5＜x＜8+5;解此不等式,即可判断出第三边x的取值范围.[详解]设第三边长为x，则8﹣5＜x＜8+5，即3＜x＜13，故答案为3＜第三边＜13．[点睛]此类题目重点考查了三角形的三边关系“三角形的任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”.解决此题问题的过程中,往往是根据此定理列出相应的不等式,然后解此不等式即可.12.如图，在△ABC中，∠A=_____．[答案]60°．[解析][分析]三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，利用三角形的外角性质得到x°+(x+10)°=(x+70)°，解方程即可求出x的值.[详解]∵∠ACD=∠A+∠ABC，∴x+70=x+x+10，x=60，∴∠A=60°，故答案为60°．[点睛]本题考查三角形外角的性质的应用，理解三角形外角的性质是解答关键；13.如图，在△ABC中，已知∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，∠EHF的度数是_____．[答案]120°．[解析][分析]先根据三角形内角和定理求出∠A的度数，再根据CF是AB上的高得出∠ACF的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．详解]∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，∴∠A=60°，∵CF是AB上的高，∴在△ACF中，∠ACF=180°﹣∠AFC﹣∠A=30°，在△CEH中，∠ACF=30°，∠CEH=90°，∴∠EHF=∠ACF+∠CEH=30°+90°=120°．故答案为:120°．[点睛]考查三角形的内角和定理、三角形的高以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键.14.一个八边形的所有内角都相等，它的每一个外角等于_____度．[答案]45[解析][分析]根据多边形的外角和是360度，再用360°除以边数可得外角度数．[详解]外角的度数是：360°÷8=45°，故答案为45.[点睛]本题考查的是多边形，熟练掌握多边形外角的特点是解题的关键.15.如图所示，△ABC中，点D，E分别是AC，BD上点，且∠A＝65°，∠ABD＝∠DCE＝30°，则∠BEC的度数是________．[答案]125°[解析]解：∵∠A=65°，∠ABD=30°，∴∠BDC=∠A+∠ABD=65°+30°=95°，∴∠BEC=∠EDC+∠DCE=95°+30°=125°．故答案为125°．16.如图，在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB的平分线交AB边于点E，在AC边取点D，使∠CBD=20°，连接DE，则∠CED的大小=_____（度）．[答案]10．[解析][分析]由CE是∠ACB的平分线，可得由三角形外角的性质，可得∠ADB=∠CBD+∠BCD①，∠ADE=∠CED+∠ACE②，继而求得答案．[详解]解：延长CB到F，∵在△ABC中，∠ABC=100°，∠CBD=20°，∴∠ABF=80°，∠ABD=80°，∴AB平分∠FBD，又∵∠ACB的平分线交AB边于点E，∴点E到边BF，BD，AC的距离相等，∴点E在∠ADB的平分线上，即DE平分∠ADB，∴CE是∠ACB的平分线，∴∠ADB是外角，∠ADE是的外角,∴∠ADB=∠CBD+∠BCD①，∠ADE=∠CED+∠ACE②∴①−②×2得：2∠CED=∠CBD∴故答案为10．[点睛]考查三角形外角的性质以及角平分线的性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键.17.如图，在△ABC中，∠C=46°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是_____．[答案]92°．[解析][分析]由折叠的性质得到∠D=∠C，再利用外角性质即可求出所求角的度数．[详解]由折叠的性质得：∠C'=∠C=46°，根据外角性质得：∠1=∠3+∠C，∠3=∠2+∠C'，则∠1=∠2+∠C+∠C'=∠2+2∠C=∠2+92°，则∠1﹣∠2=92°．故答案为92°．[点睛]考查翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.18.如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠BA′C=110°，则∠1+∠2=_____．[答案]80°．[解析][分析]连接AA′．首先求出∠BAC，再证明∠1+∠2=2∠BAC即可解决问题．[详解]连接AA′．∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C=110°，∴∠A′BC+∠A′CB=70°，∴∠ABC+∠ACB=140°，∴∠BAC=180°﹣140°=40°，∵∠1=∠DAA′+∠DA′A，∠2=∠EAA′+∠EA′A，∵∠DAA′=∠DA′A，∠EAA′=∠EA′A，∴∠1+∠2=2（∠DAA′+∠EAA′）=2∠BAC=80°，故答案为:80°．[点睛]考查角平分线的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键.三．解答题（共7小题）19.（1）已知三角形三个内角的度数比为1：2：3，求这个三角形三个外角的度数．（2）一个正多边形的内角和为1800°，求这个多边形的边数．[答案]（1）150°、120°、90°．（2）12．[解析][分析]（1）解答本题需要熟练掌握三角形内角和定理的知识，熟知三角形的内角和等于180°.通过解题，求出三个内角，再根据内角加对应的外交和等于180°算出外角；（2）根据多边形内角和即可求出.[详解]（1）设此三角形三个内角的比为x，2x，3x，则x+2x+3x=180，6x=180，x=30，则三个内角分别为30°、60°、90°，相应的三个外角分别为150°、120°、90°．（2）设这个多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=1800°，解得n=12．故这个多边形的边数为12．[点睛]本题考查的知识点是多边形内角和，解题的关键是熟练的掌握多边形内角和.20.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．（1）若∠B=70°，∠C=40°，求∠DAE的度数．（2）若∠B﹣∠C=30°，则∠DAE=．（3）若∠B﹣∠C=α（∠B＞∠C），求∠DAE的度数（用含α的代数式表示）[答案]（1）15°；（2）15°；（3）α；[解析][分析]（1）根据角平分线的定义和互余进行计算；（2）根据三角形内角和定理和角平分线定义得出∠DAE的度数等于∠B与∠C差的一半解答即可；（3）根据（2）中所得解答即可．[详解]解：∵AD⊥BC于D，∴∠ADC=90°，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=∠BAC，而∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C，∴∠EAC=90°﹣∠B﹣∠C，∵∠DAC=90°﹣∠C，∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAC=90°﹣∠C﹣[90°﹣∠B﹣∠C]=（∠B﹣∠C），（1）若∠B=70°，∠C=40°，则∠DAE=（70°﹣40°）=15°；（2）若∠B﹣∠C=30°，则∠DAE=×30°=15°；（3）若∠B﹣∠C=α（∠B＞∠C），则∠DAE=α；[点睛]考查三角形的内角和定理，高的性质，角平分线的性质，推导出∠DAE的度数与∠B，∠C度数之间的关系是解题的关键.21.如图，已知BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE的外角平分线，CD与BD交于点D．（1）若∠A=50°，则∠D=；（2）若∠A=80°，则∠D=；（3）若∠A=130°，则∠D=；（4）若∠D=36°，则∠A=；（5）综上所述，你会得到什么结论？证明你的结论的准确性．[答案]（1）25°；（2）40°；（3）65°；（4）72°；（5）∠D=∠A；[解析][分析]先根据角平分线定义得到∠ACE=2∠2，∠ABC=2∠1，再根据三角形外角性质得∠ACE=∠ABC+∠A，则2∠2=2∠1+∠A，接着再根据三角形外角性质得∠2=∠1+∠D，易得∠A=2∠D，即∠D=∠A，然后利用此结论分别解决（1）、（2）、（3）、（4）、（5）．[详解]解：如图，∵BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线，∴∠ACE=2∠2，∠ABC=2∠1，∵∠ACE=∠ABC+∠A，∴2∠2=2∠1+∠A，而∠2=∠1+∠D，∴2∠2=2∠1+2∠D，∴∠A=2∠D，即∠D=∠A，（1）当若∠A=50°，则∠D=25°；（2）若∠A=80°，则∠D=40°；（3）若∠A=130°，则∠D=65°．（4）若∠D=36°，则∠A=72°，（5）综上所述，∠D=∠A；[点睛]考查三角形外角的性质以及角平分线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键.22.在一个钝角三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“智慧三角形”．如图，∠MON=60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交射线OB于点C．（1）∠ABO的度数为_____°，△AOB_____（填“是”或“不是”）“智慧三角形”；（2）若∠OAC=20°，求证：△AOC为“智慧三角形”；（3）当△ABC为“智慧三角形”时，求∠OAC的度数．[答案](1).30；(2).是；（2）证明见解析；（3）∠OAC的度数为80°或52.5°或30°或97.5°或112.5°．[解析][分析]分析：（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“智慧三角形”的概念判断；（2）根据“智慧三角形”的概念证明即可；（3）分点C在线段OB和线段OB的延长线上两种情况，根据“智慧三角形”的定义计算．[详解]（1）∵AB⊥OM，∴∠OAB＝90°，∴∠ABO＝90°−∠MON＝30°，∵∠OAB＝3∠ABO，∴△AOB为“智慧三角形”，故答案为30；是；（2）∠AOC＝60°，∠OAC＝20°，∴∠AOC＝3∠OAC，∴△AOC为“智慧三角形”；（3）∵△ABC为“智慧三角形”，①当点C在线段OB上时，∵∠ABO＝30°，∴∠BAC＋∠BCA＝150°，∠ACB＞60°，∠BAC＜90°，Ⅰ、当∠ABC＝3∠BAC时，∠BAC＝10°，∴∠OAC＝80°，Ⅱ、当∠ABC＝3∠ACB时，∴∠ACB＝10°∴此种情况不存在，Ⅲ、当∠BCA＝3∠BAC时，∴∠BAC＋3∠BAC＝150°，∴∠BAC＝37.5°，∴∠OAC＝52.5°，Ⅳ、当∠BCA＝3∠ABC时，∴∠BCA＝90°，∴∠BAC＝60°，∴∠OAC＝90°−60°＝30°，Ⅴ、当∠BAC＝3∠ABC时，∴∠BAC＝90°，∴∠OAC＝0°，∵点C与点O不重合，∴此种情况不成立，Ⅵ、当∠BAC＝3∠ACB时，∴3∠ACB＋∠ACB＝150°，∴∠ACB＝37.5°，∴此种情况不存在，②当点C在线段OB的延长线上时，∵∠ACO＝30°，∴∠ABC＝150°，∴∠ACB＋∠BAC＝30°，Ⅰ、当∠ACB＝3∠BAC时，∴3∠BAC＋∠BAC＝30°，∴∠BAC＝7.5°，∴∠OAC＝90°＋∠BAC＝97.5°，Ⅱ、当∠BAC＝3∠BCA时，∴3∠BCA＋∠BCA＝30°，∴∠BCA＝7.5°，∴∠BAC＝3∠BCA＝22.5°，∴∠OAC＝90°＋22.5°＝112.5°当△ABC为“智慧三角形”时，∠OAC的度数为80°或52.5°或30°或97.5°或112.5°．[点睛]本题考查的是三角形内角和定理、“智慧三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．23.如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，AD交BE于F.已知EG∥AD交BC于G,EH⊥BE交BC于H，∠HEG=50°.（1）求∠BFD的度数.（2）若∠BAD=∠EBC，∠C=41°，求∠BAC的度数.[答案]（1）∠BFD=40°；（2）∠BAC=99°．[解析]（1）根据垂直定义可得∠BEH=90°，然后求出∠BEG=40°，再根据两直线平行线，同位角相等可得∠BFD=∠BEG；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BFD=∠EBC+∠ABE=∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．试题解析：（1）∵EH⊥BE，∴∠BEH=90°，∵∠HEG=50°，∴∠BEG=40°，又∵EG∥AD，∴∠BFD=∠BEG=40°；（2）∵∠BFD=∠BAD+∠ABE，∠BAD=∠EBC，∴∠BFD=∠EBC+∠ABE=∠ABC=40°，∵∠C=41°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-40°-41°=99°．24.如图，在△ABC中，∠CAB=∠CBA，过点A向右作AD∥BC，点E是射线AD上的一个动点，∠ACE的平分线交BA的延长线于点F．（1）若∠ACB=40°，∠ACE=38°，求∠F的度数；（2）在动点E运动的过程中，的值是否发生变化？若不变，求它的值；若变化，请说明理由．[答案]（1）51°；（2）不发生变化[解析][分析]（1）根据三角形的内角和以及等腰三角形的性质得到∠B=70°，根据∠ACE=38°，CF平分∠ACE，得到∠ACF=19°，即可求得∠BCF=59°，根据三角形的内角和即可求出∠F的度数；（2）过点C做CH⊥AB于点H,根据等腰三角形三线合一的性质得到∠CEA=x，根据平行线的性质得到∠BCE=180°﹣x，根据角平分线的性质得到∠FCH=∠BCE=90°﹣x，根据直角三角形的性质得到∠F=90°﹣∠FCH=x，得出的值，