热力学统计物理第五版答案

热力学统计物理第五版答案【篇一：热力学与统计物理答案第四章】ass=txt>4.1若将u看作独立变量t,v,n1,?,nk的函数，试证明：（a）u??ni■i?u?u?v;?ni?v（b）ui??u?u?ui.?ni?v解：（a）多元系的内能u?u?t,v,n1,?,nk?是变量v,n1,?,nk的一次齐函数.根据欧勒定理（式（4.1.4）），有??u??uu??ni??v,（1）??vi??ni?t,v,nj式中偏导数的下标ni指全部k个组元，nj指除i组元外的其他全部组元.（b）式（4.1.7）已给出v??nivi,■i其中vi??u??niui,（2）i??v???u?偏摩尔体积和偏摩尔内能.将式（2）,u????i??ni?t,p,nj??ni?t,p,nj代入式（1），有??u???u?（3）nu?nv?n????iiii?i????v?t,nii??ni?t,v,njii上式对ni的任意取值都成立，故有证明？i?t,p,n1,?,nk?是n1,?,nk的零次齐函数???i?ni???0.??ni?i???u???u?ui?vi??.（4）?????v?t,ni??ni?t,v,nj解：根据式（4.1.9）,化学势?i是i组元的偏摩尔吉布斯函数?i????g?.（1）???ni?t,p,n■jg是广延量，是n1,?,nk的一次齐函数，即g?t,p,?n1??nk???g?t,p,n12nk?.（2）将上式对?求导，有左方？?g?t,p,?n1,?,?nk???????g?t,p,?n1,?,?nk???ni???i??ni??nii???nig?t,p,?n1,?,?nk???ni?i?t,p,?n1,?,?nk?,（3）■i右边？???g?t,p,n1,?,nk???????g?t,p,n1,?,nk???ni?i?t,p,n1,?,nk?.（4）■i令式（3）与式（4）相等，比较可知?i?t,p,?n1,?,?nk???i?t,p,n1,?,nk?.（5）???i?n??0.（6）?j?j??ni?上式说明?i是n1,?,nk的零次齐函数.根据欧勒定理（式（4.1.4）），有二元理想溶液具有下列形式的化学势：?1?g1?t,p??rtlnx1,?2?g2?t,p??rtlnx2,xi是溶液中i组元的摩尔分数.当物其中gi?t,p?为纯i组元的化学势，质的量分别为n1,n2的两种纯液体在等温等压下合成理想溶液时，试证明混合前后

（a）吉布斯函数的变化为?g?rt?n1lnx1?n21nx2?.（b）体积不变，即?v?0.（c）熵变？s??r?n11nx1?n21nx2?.（d）焓变？h?0,因而没有混合热.（e）内能变化为多少？解：（a）吉布斯函数是广延量，具有相加性.混合前两纯液体的吉布斯函数为g0?t,p??n1g1?t,p??n2g2?t,p?.（1）根据式（4.1.8），混合后理想溶液的吉布斯函数为g?t,p??n1?1?t,p??n2?2?t,p??n1g1?t,p??n1rtinx1?n2g2?t,p??n2rtinx2.（2）混合前后吉布斯函数的变化为?g?g?t,p??g0?t,p?其中x1??rt?n1lnx1?n21nx2?,（3）n1n2,x2?分别是溶液中组元1,x2?分别是溶液中组元1,2的摩尔分数.n1?n2n1?n2（b）根据式（4.1,10），混合前后体积的变化为????v???g??0.（4）?p??t,n1,n2（c）根据式（4.1.10），混合前后熵的变化为????s????g?g??t?p,n1,n2??r?n1lnx1?n21nx2?.（5）注意x1和x2都小于1，故?s?0,混合后熵增加了.（d）根据焓的定义h?g?ts,将式（3）和式（5）代入，知混合前后焓的变化为?h??g?t?s?0.（6）混合是在恒温恒压下进行的.在等压过程中系统吸收的热量等于焓的增加值，式（6）表明混合过程没有混合热.（e）内能u?h?pv.将式（6）和式（4）代入，知混合前后内能的变化为?u??h?p?v?0.（7）理想溶液中各组元的化学势为?i?gi?t,p??rt1nxi.（a）假设溶质是非挥发性的.试证明，当溶液与溶剂的蒸气达到平衡时，相平衡条件为g1??g1?rtln?1?x?,其中gi?是蒸气的摩尔吉布斯函数，gi是纯溶剂的摩尔吉布斯函数，x是溶质在溶液中的摩尔分数.（b）求证：在一定温度下，溶剂的饱和蒸气压随溶质浓度的变化率为p??p???.??i?x??x?t（c）将上式积分，得px?p0?1?x?,其中p0是该温度下纯溶剂的饱和蒸气压，px是溶质浓度为x时的饱和蒸气压.上式表明，溶剂饱和蒸气压的降低与溶质的摩尔分数成正比.该公式称为拉乌定律.解：（a）溶液只含一种溶质.以x表示溶质在液相的摩尔分数，则溶剂在液相的摩尔分数为1?x.根据式（4.6・17），溶剂在液相的化学势？1为?1?t,p,x??g1?t,p??rtln?1?x?.（1）??t,p?.（2）?1??t,p??g1在溶质是非挥发性的情形下，气相只含溶剂的蒸气，其化学势为平衡时溶剂在气液两相的化学势应相等，即?1?t,p,x???1??t,p?.（3）??t,p?,（4）g1?t,p??rtln?1?x??g1将式（1）和式（2）代入，得式中已根据热学平衡和力学平衡条件令两相具有相同的温度t和压强p.式（4）表明，在t,p,x三个变量中只有两个独立变量，这是符合吉布斯相律的.（b）令t保持不变，对式（4）求微分，得????g1???g1rtdp?dx?????dp.（5）1?x??p?t??p?t??g???vm，所以式（5）可以表示为?p??t根据式（3.2.1），?rtdx,（6）1?x?和vm分别是溶剂气相和液相的摩尔体积.由于vm???vm，略去其中vm?vm??vm?dp??vm,并假设溶剂蒸气是理想气体，pvm??rt,可得rtp??p?????.（7）????x?t?1?x?vm?1?x（c）将上式改写为dpdx??.（8）p1?x在固定温度下对上式积分，可得px?p0?1?x?,（9）式中p0是该温度下纯溶剂的饱和蒸气压，px是溶质浓度为x时溶剂的饱和蒸气压.式（9）表明，溶剂饱和蒸气压的降低与溶质浓度成正比.承4.4题：（a）试证明，在一定压强下溶剂沸点随溶质浓度的变化率为rt??t??,????x?pl1?x2其中l为纯溶剂的汽化热.（b）假设x??1.试证明，溶液沸点升高与溶质在溶液中的浓度成正比，即rt2?t?x.l解：（a）习题4.4式（4）给出溶液与溶剂蒸气达到平衡的平衡【篇二：热力学统计物理—答案】程可由实验测得的体胀系数？及等温压缩系数？？，根据下述积分求得:如果？？,?t?1t1，试求物态方程。p解：以t,p为自变量，物质的物态方程为v?v?t,p?,其全微分为??v???v?dv??dt???dp.（1）??t?p??p??t全式除以v,有dv1??v?1??v???dt???dp.?vv??t?pv??p?t根据体胀系数?和等温压缩系数?t的定义，可将上式改写为dv??dt??tdp.（2）v上式是以t,p为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有lnv????dt??tdp?.（3）若？？,?t?，式（3）可表为?11?lnv???dt?dp?.（4）p??t1t1p选择图示的积分路线，从（t0,p0）积分到?t,p0?，再积分到（t,p）相应地体1/16积由v0最终变到v，有lnvtp=ln?ln,v0t0P0即pvp0v0，??c（常量）tt0或pv?1t1pc.t（5）式（5）就是由所给？?,?t?求得的物态方程。确定常量c需要进一步的实验数据。1.10声波在气体中的传播速度为??假设气体是理想气体，其定压和定容热容量是常量，试证明气体单位质量的内能u和焓h可由声速及?给出：a2u??u,???10a2h??h?-10其中u0,h0为常量。解：根据式（1.8.9）,声速a的平方为a2??pv,（1）2/16其中v是单位质量的气体体积。理想气体的物态方程可表为pv?mrt,?mrt,（2）?m式中m是气体的质量，m?是气体的摩尔质量。对于单位质量的气体，有pv?代入式（1）得a2?rt.（3）以u,h表示理想气体的比内能和比焓（单位质量的内能和焓）。由式（1710）—（1.7・12）知m?u?rt?m?u0,??1m?h??rt?m?h0.（4）??1将式（3）代入，即有a2U??U,?（??1）0a2h??h0.（5）??1式（5）表明，如果气体可以看作理想气体，测定气体中的声速和？即可确定气体的比内能和比焓。理想气体分别经等压过程和等容过程，温度由t1升至t2。假设?是常数，试证明前者的熵增加值为后者的？倍。解：根据式（1.15.8），理想气体的熵函数可表达为s?cplnt?nrlnp?s0.(1)在等压过程中温度由t1升到t2时，熵增加值?sp为?sp?cplnt2.(2)t1根据式(1.15.8),理想气体的熵函数也可表达为s?cvlnt?nrlnv?s0.(3)在等容过程中温度由t1升到t2时，熵增加值?sv为3/16?sv?cvlnt2.(4)t1所以?sp?sv?cpcv??.(5)物体的初温11，高于热源的温度t2,有一热机在此物体与热源之间工作，直到将物体的温度降低到t2为止，若热机从物体吸取的热量为q，试根据熵增加原理证明，此热机所能输出的最大功为wmax?q?t2(s1?s2)其中s1?s2是物体的熵减少量。解：以？sa,?sb和?sc分别表示物体、热机和热源在过程前后的熵变。由熵的相加性知，整个系统的熵变为?s??sa??sb??sc.由于整个系统与外界是绝热的，熵增加原理要求?s??sa??sb??sc?0.(1)以s1,s2分别表示物体在开始和终结状态的熵，则物体的熵变为?sa?s2?s1.(2)热机经历的是循环过程，经循环过程后热机回到初始状态，熵变为零，即?sb?0.(3)以q表示热机从物体吸取的热量，q?表示热机在热源放出的热量，w表示热机对外所做的功。根据热力学第一定律，有q?q??w,所以热源的熵变为?sc?q?q?w?.(4)t2t2将式（2）—（4）代入式（1）,即有s2?s1?q?w?0.（5）t2上式取等号时，热机输出的功最大，故wmax?q?t2?s1?s2?.（6）4/16式（6）相应于所经历的过程是可逆过程。2.2设一物质的物态方程具有以下形式：p?f（v）t,试证明其内能与体积无关.解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式：故有但根据式（227），有??u???p??t?????p,（3）??v?t??t?v??p????f（v）.（2）?t??vp?f（v）t,（1）所以??u????tf（v）?p?0.（4）??v?t这就是说，如果物质具有形式为（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度t的函数.2.6试证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的温度降落.解：气体在准静态绝热膨胀过程和节流过程中的温度降落分别由偏导数??t???t?和？？？？描述.熵函数s（t,p）的全微分为??p?s??p?h??s???s?ds??dt???dp.???t?p??p?t在可逆绝热过程中ds?0，故有??s???v?t??p?????t??t????p.（1）t?????s?cp????p?s????t?p最后一步用了麦氏关系式（224）和式（228）.焓h（t,p）的全微分为5/16【篇三：热力学统计物理课后习题答案】t>8.4求弱简并理想费米（玻色）气体的压强公式.解：理想费米（玻色）气体的巨配分函数满足ln?????lln1?e?????ll??在弱简并情况下：2?v2?v3/23/22ln???g3?2m???1/2ln1?e?????ld???g3?2m???d?3/2ln1?e?????l30hh0????????2?v3/22?3/2??g3?2m????ln1?e?????l3?h?????0?3/2dln1?e???????l?????2?vd?3/22??g3?2m????3/2????l30he?1与（8.2.4）式比较，可知ln??再由（8.2.8）式，得3/23/2??1n?h2??1?h2?????????nkt?1??ln???nkt?1?????v2?mkt??2?mkt?????42???42???2?u3?e??■■■n?h2?????v?2?mkt??3/2?3/2h2???n?????????e?????v?t?2?mkt??n?nv3/23/2??1?n?h2????n?n?h2?????????p?ln??kt?1???nkt?1???????v2?mkt?t2?mkt?t???????42????42??8.10试根据热力学公式s?熵。解：（8-4-10）式给出光子气体的内能为u?cv??u?dt及光子气体的热容量c???,求光子气体的v?t??t?v?2k415c3?4vt （1）3?u4?2k4）v?vt3 （2）则可以得到光子气体的定容热容量为cv?（33?t15c?根据热力学关于均匀系统熵的积分表达式（2-4-5），有s??[cv?pdt?（）vdv]?s0 （3）t?t取积分路线为（0，v）至（t，丫）的直线，即有t4?2k44?2k423s?vtdt?vt （4）3333?015c?45c?其中已经取积分常量s0为零。8.试证明一维和二维理想玻色气体不存在玻色凝聚现象.1d???d??m・・（1）v?e?/ktc?11/2对于一维和二维理想玻色气体，由第六章习题可知分别有:2l?m?一维：d???d????h?2??d???2?l2md???二维：d???d??2h但由于此时不存在ttc的状态，所以一维和二维理想波色气体不存在玻色凝聚现象，证毕。解：0k时电子的最大能量?2?2n???0???3??2m?v?2/3?1.055?10??3???342?3122?9.1?10?5.9?10282/3?8.9?10?19j?5.6ev大速率v???1.4?10m?s?31m9.1?102n??0?2??5.9?1028?2/38.9?10?19?2.1?1010pa5v58.15试求绝对零度下电子气体中电子的平均速率。0k时的简并压p?????证明：根据式子（8-5-4），绝对零度下自由电子气体中电子动量大小的分布为f=1p?pff=0ppf （1）其中pf是费米动量，即0k时电子的最大动量。因此电子的平均动量为8?v3h?8vh3??■■pf0pf14pf3??pf (2)134p2dppf3p3dp3p3??f?vf (3)m4m4因此电子的平均速率为?8.20假设自由电子在二维平面上运动，面密度为n,试求0k时二维电子气体的费米能量、内能和简并压.4?12d???d??2md?所以0k时电子的最大能量由下式确定:??0?4?12??n2hh2nh2???0???n24?ml4?m内能4?l2u?0??2mh2??0??4?l2?2?0?1?4?ml2?212????0??d??2m?n??0?n?2??22?hn?2h对于二维电子气体，v=l21?2???2?12222?l???n?n?2??n?n??xyxy?2m2m?l?????■■■????v??1?l??l?1?2???2nx2?ny2???v?2?????vv?2m???所以0k时的简并压p???all?u1??l??all??n??0??vvv2l试根据热力学公式s?cv?tdt及低温下的热容量，求金属中自由电子气体的熵。解：根据式(8-5-19)给出低温下金属中自由电子气体的定容热容量为?2kt (1)cv?nk2?(0)根据热力学关于均匀系统熵的积分表达式(2-4-5)，有s??[cv?pdt?()vdv]?s0 (2)t?t取积分路线为(0，v)至(t，v)的直线，即有?2nk2t?2kt (3)s?dt?nk?02?(0)2?(0)其中已取积分常量s0为零。试求低温下金属中自由电子气体的巨配分函数的对数，从而求电子气体的压强、内能和嫡。解：根据式(8-1-13)，自由电子气体巨配分函数的对数可表达为ln????lln1?el??????l?4?v3/2?3?2m???1/2ln1?e?????ld?h0????4?v?3h?2m????????3/2???x1/2ln1?e???xldx- (1)??其中第二步用了(6-2-17)式，第三步做了变数变化??=x将上式的积分分为两段：4?vln??3h?2m????????3/2??[?x1/2ln1?e????xl?dx??x????1/2ln1?e???xldx] (2)??在第一个积分中将对数函数改写为ln1?e???xl?lne???xl?ln1?e??xl??(??x)?ln1?e??xl??(??x)?ln1?e??其中？??(??x)。在第二个积分中作变数变换？???x，(2)式可改写为??????????4?vln??3h???2m????????3/254[(??)?i1?i2] (3)15其中i1??ln?1?e?(????)??ld?