2022-2023学年福建省泉州市南安四都中学高三数学文月考试卷含解析

2022-2023学年福建省泉州市南安四都中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】H6：正弦函数的对称性．【分析】先对函数进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令ωx+φ=即可得到答案．【解答】解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程．故选A．2.已知函数y=log2x的反函数是y=f—1(x)，则函数y=f—1(1－x)的图象是

（

）

参考答案：答案：B3.若设，则的展开式中的常数项是（

）A.－160 B.160 C.－20 D.20参考答案：A【解析】,所以展开式的通项为：，令，常数项是，故选A.4.设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是A．若，则

B．若，则C．若，则

D．若，则参考答案：C5.定义在R上的函数y=f（x）的图象是连续不断的，且满足f（3﹣x）=f（x），当x≠时总有（x﹣）f′（x）＞0（f′（x）是f（x）的导函数），若x1＜x2，且x1+x2＞3，则(

) A．f（x1）＞f（x2） B．f（x1）＜f（x2） C．f（x1）=f（x2） D．f（x2）与f（x2）的大小无法确定参考答案：B考点：利用导数研究函数的单调性．专题：数形结合；导数的综合应用．分析：根据已知条件便可得到f（x）关于x=对称，在区间上单调递减，而在上单调递增，从而可以画出f（x）的大致图象，根据图象上的点关于对称轴的对称点的横坐标之和为3并结合图象即可判断出f（x1）和f（x2）的大小关系．解答： 解：根据f（3﹣x）=f（x）知f（x）关于x=对称；当x时，总有；∴时f（x）单调递减，时f（x）单调递增；∴f（x）的大致形状如下图所示：x1+x2＞3，∴（1）若，作点（x1，f（x1））关于x=的对称点为（x3，f（x3）），则：x1+x3=3；∴x2＞x3；∴f（x2）＞f（x3）=f（x1）；即f（x2）＞f（x1）；（2）若，x1＜x2；∴f（x1）＜f（x2）；∴综上得f（x1）＜f（x2）．故选B．点评：考查由f（a﹣x）=f（x）能得到f（x）关于对称，函数导数符号和函数单调性的关系，以及数形结合解题的方法．6.已知△ABC是边长为的正三角形，EF为△ABC的外接圆O的一条直径，M为△ABC的边上的动点，则的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【分析】首先，以边AB所在直线为x轴，以其中点为坐标原点建立平面直角坐标系，然后，对点M的取值情况分三种情形进行讨论，然后运用数量积的坐标表示和二次函数的最值求法，求解其最大值．【解答】解：如图所示，以边AB所在直线为x轴，以其中点为坐标原点建立平面直角坐标系，∵该正三角形ABC的边长为2，∴A（﹣，0），B（，0），C（0，3），E（0，﹣1），F（0，3），当点M在边AB上时，设点M（x0，0），则﹣≤x0≤，∵=（﹣x0，﹣1），=（x0，﹣3），∴?=﹣x02+3，∵﹣≤x0≤，∴?的最大值为3，当点M在边BC上时，∵直线BC的斜率为﹣，∴直线BC的方程为：x+y﹣3=0，设点M（x0，3﹣x0），则0≤x0≤，∵=（﹣x0，x0﹣4），=（x0，x0），∴?=2x02﹣4x0，∵0≤x0≤，∴?的最大值为0，当点M在边AC上时，∵直线AC的斜率为，∴直线AC的方程为：x﹣y+3=0，设点M（x0，3+x0），则﹣≤x0≤0，∵=（﹣x0，﹣x0﹣4），=（x0，x0），∴?=﹣4x02﹣4x0，∵﹣≤x0≤0，∴?的最大值为3，综上，最大值为3，故选：A．7.正方体中，为线段上的一个动点，则下列结论中错误的是（

）

平面

三棱锥的体积为定值

直线直线参考答案：D8.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如右图）。由图中数据可知身高在[120，130]内的学生人数为

A．20

B．25

C．30

D．35参考答案：C9.已知O为坐标原点，向量=（﹣1，2）．若平面区域D由所有满足（﹣2≤λ≤2，﹣1≤μ≤1）的点C组成，则能够把区域D的周长和面积同时分为相等的两部分的曲线是（）A． B． C．y=ex+e﹣x﹣1 D．y=x+cosx参考答案：A考点：奇偶函数图象的对称性；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：利用向量的基本定理求出区域D，若曲线把区域D的周长和面积同时分为相等的两部分的曲线，则对曲线应的函数为过原点的奇函数．解答：解：足=λ（1，0）+μ（﹣1，2）=（λ﹣μ，2μ），设C（x，y），则，∵﹣2≤λ≤2，﹣1≤μ≤1，∴﹣3≤λ≤3，﹣2≤y≤2，若曲线把区域D的周长和面积同时分为相等的两部分的曲线，则对曲线应的函数为过原点的奇函数．A．f（﹣x）=ln=﹣ln，为奇函数，且在原点有意义，满足条件．B．为奇函数，但不过原点，不满足条件．C．函数为偶函数，不满足条件．D．函数为非奇非偶函数，不满足条件．故选：A点评：本题主要考查函数奇偶性的对称性的应用，根据条件求出C对应的区域，结合函数的对称性是解决本题的关键．10.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则输入的整数的可能值为A.5

B.6

C.8

D.15参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知的一个内角为，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的最大边的边长是__________________.参考答案：1412.在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则m的值为

．参考答案：

213.（几何证明选讲选做题）在平行四边形中，点在线段上，且

，连接，与相交于点，若△的面积为cm，则

△的面积为

cm.参考答案：14.在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则________.参考答案：【命题意图】本小题主要考查三角函数的定义、三角恒等变等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等；考查逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算等．【试题简析】解法一：由已知可得，所以.解法二：由已知可得，所以.【变式题源】（2015全国卷Ⅰ·理5）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=（A）

（B）

（C）

（D）15.在△ABC中，∠A=90°，tanB=．若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e=．

参考答案：考点： 椭圆的定义．专题： 计算题；压轴题．分析： 令AB=4，椭圆的c可得，AC=3，BC=5依据椭圆定义求得a，则离心率可得．解答： 解：令AB=4，则AC=3，BC=5则2c=4，∴c=2，2a=3+5=8∴a=4，∴e=故答案为．点评： 本题主要考查了椭圆的定义．要熟练掌握椭圆的第一和第二定义．16.某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取人数为150人，那么该校的教师人数是

。参考答案：150

17.在的展开式中的系数为

．参考答案：－80三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(14分)已知、是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上的一个动点，且的最小值为，与的数量积的最小值是．（1）求双曲线的方程；（2）过点能否作直线与双曲线交于、两点，使为线段的中点。若能，求出直线的方程；若不能，说明理由．参考答案：解析：（1）∵，当且仅当时，等号取得，∴的最小值为，∴

①………………2分∴，由知，∴∴当且仅当时，等号取得，∴的最小值为，∴，即

②………5分又∵

③∴由①②③得∴所求双曲线的方程为……………7分（2）假设存在这样的直线满足题条件，设则有④

⑤④⑤得……………12分∴直线的方程为将直线：与双曲线组成方程组消去得，其根的判别式∴这样的直线存在，方程为………14分19.（本小题满分15分）已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，(1)求an与bn；(2)记，求数列{cn}的前n项和Tn参考答案：解：(1)由a1＝2，an＋1＝2an，得an＝2n(n∈N*)．……..2分由题意知，当n＝1时，b1＝b2－1，故b2＝2…………1分当n≥2时，bn＝bn＋1－bn，…………2分整理得，………….2分所以bn＝n(n∈N*)．……..1分（2）可知………1分所以……….4分…………2分（结果不考虑格式）20.已知函数.（1）若不等式恒成立，求实数m的最大值；（2）当，函数有零点，求实数a的取值范围.参考答案：（1）∵，∴，∴，∴，∴，∴实数的最大值为1.（2）当时，∴，∴或∴∴实数的取值范围是.21.（本题12分）如图6，在长方体中，，为中点.（1）求证：；（2）在棱上是否存在一点，使得平面?若存在，求的长；若不存在，说明理由；（3）若二面角的大小为30°，求的长.

图6

参考答案：解:（1）以A为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).设AB＝a，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)，故＝(0,1,1)，＝，＝(a,0,1)，＝.因为·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，所以B1E⊥AD1.（2）假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，使得DP∥平面B1AE.此时＝(0，－1，z0).又设平面B1AE的法向量n＝(x，y，z).因为n⊥平面B1AE，所以n⊥，n⊥，得取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝.要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，有－az0＝0，解得z0＝.又DP?平面B1AE，所以存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝.（3）连接A1D，B1C，由长方体ABCD－A1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D.因为B1C∥A1D，所以AD1⊥B1C.又由（1）知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，所以AD1⊥平面DCB1A1.所以是平面A1B1E的一个法向量，此时＝(0,1,1).设与n所成的角