深圳大学数学与计算科学学院

陈之兵：《级数与多元微积分》课程教学大纲陈之兵：《级数与多元微积分》课程教学大纲3031-陈之兵：《级数与多元微积分》课程教学大纲深圳大学数学与计算科学学院课程教学大纲（2006年10月重印版）课程编号22123010C课程名称级数与多元微积分课程类别专业必修教材名称数学分析制订人陈之兵审核人胡鹏彦2005年4月修订

一、课程设计的指导思想（一）课程性质1．课程类别：专业必修课2．适应专业：数学与应用数学专业、信息与计算科学专业3．开设学期：第三、四学期4．学时安排：周学时4，总学时1445．学分分配：4学分（二）开设目的数学分析是数学与应用数学、信息与计算科学专业最重要的一门基础课，也是这两个专业本科一、二年级学生的必修课。是学生学习分析学系列课程及数学各专业其它后继课程的重要基础，也为高观点下深入理解中学教学内容所必需。同时还为培养学生的分析问题和解决问题的能力提供必要的训练。（三）基本要求通过系统的学习与训练，使学生：全面掌握数学分析的基本理论知识；培养严密的逻辑推理论证能力；具备熟练的运算能力与运算技巧；具备应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。（四）主要内容包括级数理论、多元函数的极限理论、多元函数微分学和积分学。（五）先修课程一元微积分、高等代数、数学分析（六）后继课程常微分方程、复变函数、微分几何、实变函数与泛函分析、概率论、计算方法、物理学以及有关研究生课程等（七）考核方式闭卷考试（八）使用教材华东师范大学数学系编：《数学分析》（下册），北京：高等教育出版社出版社，2001年第3版.（九）参考书目（1）常庚哲、史济怀：《数学分析教程》，江苏教育出版社，1998年第一版.（2）陈纪修、於崇华、金路：《数学分析》，北京：高等教育出版社，2000年第一版.二、教学内容第一章数项级数教学目的以数列极限及其性质为工具，使学生理解数项级数的敛散性及判别法。主要内容级数的收敛性、正项级数的判别法、一般项级数（交错级数、绝对收敛性、阿贝耳判别法和狄利克雷判别法）基本要求掌握数项级数敛散性的概念，熟练运用各种判别法判别正项级数与任意项级数的敛散性。第二章函数列与函数项级数教学目的使学生理解函数项级数与数项级数的联系与区别，理解一致收敛的概念及其判别法。主要内容函数列（函数项级数）的一致收敛性与判别、一致收敛函数列与函数项级数的性质基本要求掌握：函数项级数（函数序列）一致收敛性概念、函数项级数（函数序列）一致收敛性的判别法、函数项级数（函数序列）一致收敛性的性质第三章幂级数教学目的作为特殊的函数项级数，使学生理解幂级数的特点及运算。主要内容幂级数的收敛区间、性质及运算，函数的幂级数展开（泰勒级数）基本要求熟练展开函数为幂级数，了解函数的幂级数展开的重要应用。第四章傅里叶级数教学目的使学生理解傅立叶级数是处理周期现象的有力工具并理解相应的收敛性、展开方法。主要内容傅里叶级数及其收敛性定理、以2L为周期的函数的展开式、基本要求掌握：周期函数的Fourier级数展开方法、Fourier级数的收敛判别法、Fourier级数的性质第五章多元函数的极限与连续教学目的从与一元情形对比的角度，使学生理解多元函数极限与连续的特点。主要内容平面点集与多元函数、二元函数的极限、二元函数的连续性基本要求掌握：多元函数的极限与连续性的概念、区分它们与一元函数对应概念之间的区别、掌握紧集上连续函数的性质第六章多元函数微分学教学目的从与一元情形对比的角度，使学生理解多元函数微分学的复杂性特点，理解可微性与方向导数的概念，掌握链式法则及泰勒公式的应用。主要内容可微性、复合函数微分法、方向导数与梯度、泰勒公式与极值问题基本要求掌握：多元函数的偏导数（方向导数）与微分的概念、多元函数与一元函数对应概念之间的区别、多元函数偏导数的求法、掌握多元函数的泰勒公式及应用第七章隐函数定理及其应用教学目的使学生理解隐函数（组）存在定理及其应用。主要内容隐函数存在定理、隐函数组、几何应用基本要求掌握：隐函数的求导方法、偏导数在几何上的应用、求多元函数条件极值的方法第八章含参变量积分教学目的使学生理解含参变量积分的定义、性质及应用主要内容含参变量正常积分、含参变量反常积分、欧拉积分基本要求掌握：含参变量常义积分的性质与计算、含参变量反常积分一致收敛的概念、一致收敛的判别法、一致收敛反常积分的性质及其在积分计算中的应用、掌握Euler积分的计算第九章曲线积分教学目的使学生理解两种类型曲线积分的定义与计算依据。主要内容第一型曲线积分、第二型曲线积分基本要求掌握两种类型曲线积分的概念与计算方法第十章重积分教学目的使学生理解重积分的实际背景、计算方法及相关性质。主要内容二重积分的定义与性质、二重积分的计算、曲线积分与路线的无关性（格林公式）、二重积分的变量代换、三重积分的定义与计算、重积分的应用基本要求理解重积分的概念、掌握重积分的计算方法、熟练应用变量代换法计算重积分、掌握用重积分求物理量第十一章曲面积分教学目的使学生理解两种类型曲面积分的概念与计算方法、理解曲面积分与曲线积分的联系。主要内容第一型曲面积分、第二型曲面积分、高斯公式与斯托克公式基本要求掌握：两类曲面积分的概念与计算方法、Gauss公式和Stokes公式的意义与应用。三、课时分配及其它（一）课时分配课程总教学时数为144学时，安排在第三、四学期，每周4学时，每学期上课18周。具体分配如下第一章数项级数13学时第二章函数列与函数项级数13学时第三章幂级数13学时第四章傅里叶级数15学时第五章多元函数的极限与连续12学时第六章多元函数微分学15学时第七章隐函数定理及应用13学时第八章含参变量积分12学时第九章曲线积分12学时第十章重积分14学时第十一章曲面积分12学时（二）考核要求1.成绩评价平时成绩（含考勤、作业与测验）占30%，期末（卷面）成绩占70%。2．命题说明题型应多样化，设计适当的开放性问题。基本题(主要考查学生对数学分析基本概念、理论与方法的一般理解）、计算题(主要考查学生数学分析对基本方法的具体、灵活应用)、证