广义相对论的建立

/7在狭义相对论建立之后，爱因斯坦并没有停止他科学创造的步伐。在1907年，当绝大部分物理学还没有理解狭义相对论所带来的物理学思想的重大革命意义时，爱因斯坦却远远超过了他同时代的物理学家，发现了狭义相对论的根本缺陷，开始了新的理论构想。一、狭义相对论的局限性爱因斯坦发现：“在古典力学里，同样也在狭义相对论里，有一个固有认识论的缺点。这个缺点恐怕是由E.马赫最先清楚地指出来的。”马赫的问题时：“为什么惯性系在物理上比其他坐标系都特殊，这是怎么一回事？”的确，按照狭义相对论，很多物理量定律在洛伦兹变换下具有协变性，因而物理定律在各个惯性系里都成立。或者说对物理学定律而言，各个惯性系都是等效的。但是，无论是古典力学还是狭义相对论，都不能说明为什么只有惯性系才有特殊优越的地位？惯性系又是什么？按牛顿力学，凡是与做惯性运动物体相固联的参考系就是惯性系。但是如何确定物体在做惯性运动，最终有需仰仗一个“不动的绝对空间”，许多人，包括爱因斯坦本人都对这个问题产生了怀疑。1922年，他在京都大学访问期间所作的《我是如何创立相对论》的讲演中，谈到1907年他对狭义相对论的想法时，他说：“当时，我对狭义相对论并不满意因为它被严格的限制在一个相互具有恒定速度的参考系中它不适用于一个任意运动的参考系于是我努力把这一限制取消以使这一理论能在更多一般的情况下讨论。对于坚信因果关系的普遍性的爱因斯坦来说当然不能容许惯性系与非惯性系之间这种内在不对称情况的存在如何来解决这个难题呢？其最根本最自然的作法。就是扩大狭义相对性原理的物理范围和内容。除了惯性系这一限制外，狭义相对论的另一严重困难来自于引力，即狭义相对论与牛顿的引力公式和引力势方程不相容。自狭义相对论提出后，许多人曾致力于检验各种物理定律在洛伦兹变换下的协变性，他们都获得了成功，但是包括爱因斯坦本人在内，都发现当把牛顿的引力理论纳入到相对论理论之中时，却遇到了明显的矛盾。爱因斯坦的一个重要观点，是相信世界的内在和谐，追求理论的逻辑统一。运用狭义相对论理论，爱因斯坦已经把电场与磁场，质量和能量统一起来。并使牛顿力学与麦克斯韦方程协调起来。接着爱因斯坦就想把引力现象纳入到狭义相对论的理论体系中去。威力做到这一步，首先必须用场的表达式来描述引力现象。因为狭义相对论既然取消了绝对同时性观念，那么引力的超距作用也就不可能继续保留了。开始，爱因斯坦认为寻找一个描述引力场变化的结构定律也许并不难。他设想：最简单的作法当然是保留拉普拉斯的引力标量势并且用一个关于时间的微分量以明显的方式来弥补足泊松方程。是狭义相对论得到满足引1力场中质点的运动定律也必须适应狭义相对论。然而爱因斯坦的研究结果是令人怀疑的。因为，依照古典力学物体在竖直引力场中的竖直加速度，同该物体的速度的水平分量无关。因而，在这样的引力场里，一个力学体系或者它的重心的竖直加速度的产生，同它内在的动能无关。但是在1905年爱因斯坦根据狭义相对论已经得出：“物体的质量是它所含能量的量度。”根据这个结论，物体的惯性质量将随其能量而改变，因此落体的加速度将同它的水平速度或者该体系的内能有关。“这不符合这样一个古老的实验事实：在引力场中一切物体都具有同一加速度。”这一段尝试是爱因斯坦相信：“在狭义相对论的框子里，最不可能有令人满意的就是引力理论的。”关于这一认识，爱因斯坦在京都大学的讲演中说：“一个最令人不满意的事是，尽管惯性和能量之间的关系在狭义相对论中已经明确的解决了，但是惯性与重力或引力场内的能量关系并不清楚。我感到这个问题不可能在狭义相对论的框架中解决。”值得称道的是，对狭义相对论提出上述两点质疑的，正是提出并建立狭义相对论的爱因斯坦本人。他以敏锐的洞察力及坚持不懈的探索精神，抓住了这两个致命的环节，一个更为深刻与普遍的广义相对论由此诞生。二、两个基本原理的提出当爱因斯坦认识到狭义相对论理论框架中容纳不下引力理论时，就决心突破狭义相对论的局限，寻找解决引力问题的新途径。在1907年发表的论文《关于相对论原理和由此得出的结论》中，就初步提出了作为广义相对论的两个基本原理：等效原理，广义相对性(广义协对性)。广义相对论的全部理论建立在等效原理的基础上，而等效原理的提出又使狭义相对论的两个致命问题一揽子得到了解决。爱因斯坦思考问题的方法既朴实又奇特。狭义相对论两个难题的解决，是从一个物体下落问题开始的，一个广为人知的古老实验事实是，在引力场的任意一点上，一切物体都具有统一加速度。爱因斯坦注意到，这一现象正是反映了惯性质量和引力质量的等效性。这一等效性正是作为广义相对论理论基础的等效原理的一种表述。其实，牛顿早已注意到这两种质量的等效性。为了验证他们的等同，牛顿设计并完成了一个定量实验。他利用两个摆线长都是3米的单摆，摆锤都是木盒子。其中一个装满木头，另一个放置同样质量的金子。然后它们以同样摆角摆动起来。实验证明，它们的周期完全相同。当把金子换成质量相同的其他任何物品时，情况也完全相同。就这样，牛顿在千分之一的精度内，验证了两个质量的等同性。1895年，匈牙利物理学家厄缶用扭秤做了一个精密的实验，证明了对于各种物质，引力质量和惯性质量的比值在10-9内是一个常数。厄缶实验如图所示：40厘米长的横杆两端分别挂以重物A和重物B，杆中的中点悬在细金属丝上，平衡时：L(mg・mg')■L(mg・mg')式中g为重力加速度，gz'是由地球自转而引起的惯TOC\o"1-5"\h\zAgAiABBgiB性离心加速度的垂直分量，LA与LB分别为物体A、B到悬点的力臂。另外，有地球自转产生的惯性力还可能引起扭秤绕竖直轴转动，其转矩为T■Lmg■Lmg'式中g'为AiAxBiBxz惯性离心加速度的水平分量。利用前述平衡条件，可导出：mmT■Lmg'[1■(gAg■g')(gAg■g')叫由于地球上g'<<g,所以可得：AiAxmxmzziAiAT■Lmg'[mA^m-B-]可见，转矩T有两种质量的比值m/m决定。如果二者比值相等，AgAzmm1ggAgB则T=0，扭秤就不动。厄缶对于木质和铂质的两种物体进行实验，在10-9的精度内未发现扭秤转动，可见惯性质量和引力质量之比在10-9精度内是一个常数。适当选取单位，一个物体的惯性质量就等于引力质量。关于两个质量的相等，爱因斯坦认为不是偶然的巧合，在其背后，必然有重要的原因尚未被人察觉，1999.6.23,爱因斯坦在英国格拉斯哥大学作了《广义相对论的来源》的报告，他说：“在引力场中一切物体都具有同一加速度。这条定律也可以表述为惯性质量和引力质量相等的定律，他当时就使我完全认识到它的全部重要性。我为它存在感到极为震惊，并猜想其中一定有一把可以更加深入了解惯性和引力的钥匙，甚至在我还不知道厄缶的令人钦佩的结果之前一如果我没有记错，我是到后来才知道这个实验的一我也未曾认真怀疑过这定律的严格可靠性。”有了这把钥匙，使爱因斯坦有了解决这个问题的线索。1922年，他在京都大学所作的《我是如何创建相对论的？》报告中说：“这个问题的突破点在某一天突然就找到了，那天我坐在伯尔尼专利局办公室里，脑子里突然闪出一个念头：如果一个人正在自由下落，也绝不会感觉到他有重量。我吃了一惊，这个简单的想象给我的印象太深了。它使我由此得到了新的引力理论。”爱因斯坦通过这一假象实验判断，在自由下落的升降机里，由于升降机以及其中的所有仪器都在以一个加速度下落。因而无法判断引力场的效应。在自由下落的升降机中，惯性力和引力彼此抵消，由于消除了引力，内部的观察者将可以应用狭义相对论原理讨论任何的物理问题，由此，在引力与惯性力局部等效的前提下，爱因斯坦考察了两个彼此做加速运动的参考系・l与・2，令■2静止，・l以加速度y相对■2运动，此时处在强度y的均匀运动场中，两个参考系内的物理定律完全相同，没有任何方法判断它们是否在相对做加速运动。由此爱因斯坦终于得出“引力场同参考系的相当的加速度在物理上完全等效”这一著名的等效原理。爱因斯坦对等效原理的认识，也有一个不断加深和完善的过程。在1907年的论文《关于相对论原理和由此得出的结论》中，他还称之为“假设”，表述为“引力场同残凯西的相当的加速度在物理上完全等价”直到1912年，他才把它正是成为“等效原理”并把它进一步推广到非匀加速运动中去。但是1907年对等效原理的阐述是不够精确的，因为它只是试图用一个均匀加速参考系来代替一个均匀的引力场，而任何真实的引力场都是非均匀的。鉴于上述问题的存在，1912年爱因斯坦将等效原理进一步精确化，他在与M.格罗斯曼合写的论文《广义相对论和引力理论纲要》中，把等效原理阐述为“在物理学上，（在无限小的体积中均匀的）引力场完全可以代替加速运动的参考系。”对等效原理的这一阐述明确了等效原理在空间上的局域性。着虽然比1907年得到阐述前进了一步，加深了对等效性的认识。然而这种说法容易吧等效原理的区域性误解为牛顿空间的区域性，同时也易于和经典力学中的达兰贝尔原理混淆。所以爱因斯坦在1916年的论文《广义相对论的基础》中又引入了下述假定：“对于无限小的思维区域，如果坐标选择的适当，狭义相对论的基本思想是：等效原理适用于思维无限小空间区域内，可以取一个加速参考系消除引力场的影响，这样一个参考系后来就称为局部惯性系。爱因斯坦特别强调了等效原理的重要性，1918年他在《关于广义相对论的原理》的论文指出：等效原理构成了整个理论的出发点。他写道：“无疑，只要人们坚持理论的基本思想，就不能抛弃它。”可见等效原理在广义相对论中的重要地位。爱因斯坦所提出的等效原理，将惯性系自然地推广到加速系，这就需要推广相对性原理。1907年的论文《关于相对性原理和由此得出的结论》中，爱因斯坦写道：“迄今为止，我们只把相对性原理，即认为自然规律同参考系的运动状态无关这一假设应用于非加速参考系。是否可以设想，相对性原理对于相互相对做加速运动的参考系也仍然成立？”而在提出“引力场同参考系的相当的加速度在物理上完全等价”的假设以后，紧接着他就指出：“这个假设把相对性原理扩展到参考系均匀加速平移运动的情况。”必须指出的是，爱因斯坦在这篇论文中对相对性原理的推广，还局限在：“均匀加速平移运动”的情形，还不能算作是广义协变原理。广义协变原理要求在任意坐标系变换下，物理定律都具有相同的形式。实际情况是，直到1913年，爱因斯坦尚未明确的坚持广义协变原理，但又觉得应该有广义协变原理。正是这种矛盾状态促使爱因斯坦进行了更深入的研究。到了1916年，在他发表的关于广义相对论的第一篇总结性论文《广义相对论的基础》中，爱因斯坦明确地提出：“物理学的规律必须具有这样的性质，它们对于以无论哪种方式运动着的参考系都是成立的。”还说：“普遍的自然规律是由那些对一切坐标系都有效的方程来表示的，也就是说，它们对于无论哪种代换都是协变的（广义协变）。”广义协变原理提出以后，关于它的物理意义就一直存在着争论。克雷奇曼当时就提出，广

义协变原理绝不是关于物理实在(即关于自然规律的内容)的表示，而只是关于数学形式化的一个要求。爱因斯坦在1918年发表的《关于广义相对论的原理》的论文中，列出了作为广义相对论基础的三个原理：a)相对性原理；b)等效原理;c)马赫原理。然后反对克雷奇曼说：“在两个都同经验相符的理论体系中，应当偏爱于那个从绝对微分学观点看来是比较简单和明了的体系。如果有朝一日赋予牛顿引力学以(思维的)绝对协变方程的形式，那么人们必然会相信，原理a)虽然不是在理论上但必定是在实际上排斥这个理论。”这里爱因斯坦明确指出，如果有两种理论，一个是简单明确的广义协变原理，另一个是繁琐含糊而又不协变的，当你选择理论体系的时候，当然应该选择强者而不是后者。正因为爱因斯坦坚持物理方程都必须是广义协变的，才使它逐步建立广义相对论的宏伟大厦。所以广义协变原理在广义相对论形成过程中绝不是可有可无的一个原理。三、光线的引力偏折和引力红移的语言根据等效原理和广义协变原理的思想，爱因斯坦通过纯粹理论的方式，初步考察了引力场的性质，得出了原来人们意想不到的结果，他的思路是这样的：先假定已知惯性系K中一物理过程的时空进程，根据广义协变原理，由于物理规律的不变性，即可推知相对K作加速运动的参考系k中的物理进程的时空进程，在根据等效原理，k中相当于存在一个引力场，因此利用从理论上考察那些惯性系的物理过程，获得关于引力场中物理过程的进程。这样引力场对物理过程的影响就全部弄清楚了。1907年，爱因斯坦提出等效原理之后，立即注意到引力场对时钟速率的影响并做出了引力红移的预言。他根据引力场和惯性力场等效的思想得出，一个处在引力场中的时钟，当所在地引力势为■时，它所指示的当地时间是与它校准的不出在引力场中的同样时钟的(1■—)倍。“在这个意义上我们可以说，在过程发生的地点的引力势越大，在时钟中所发C2生的过程——一般来说是任何物理过程——也就进行的越快。”由此，他进一步得出结论，“来自太阳表面的光是从这样一种发射源发生的，这种发射源所具有的波长要比地球上同类物质所发出的的光的波长大约大两百万分之一。”继1907年的论文之后，1911年爱因斯坦进一步探讨了引力场对光波传播的影响。在论文《引力对光传播的影响》中，爱因斯坦有等效原理出发，讨论了匀加速参考系中从S1射向S2的辐射。如果S2处钟的频率为v2,当光到达S1处的钟时，频率不在是v2.而是一个rh、较大的v1,其一级近似值为V■v(1■—)，式中r为K的加速度，h为S1,S2间的距离，12c2从未光速。接着，爱因斯坦有引入匀速参考系K0并在光从S2发射时，K'相对K0静止，那么在辐射到达S1时，S1相对于K0具有速度・(h/c)。再根据等效原理，上述方程对均匀引力场中的静止参考系K也同样有效。由此爱因斯坦推到出频率公式v■v(1■—)式中12c2■为S2中的引力矢量的势。这一关系表明，日光谱线与地球上的光源对应的谱线相比较，■吟・2«0”■吟・2«0”式中■为太阳表面同地必须稍微向红端移动，移动的相对总量是：T一v0球之间的引力势差，爱因斯坦据此指出：“要在一个相对于坐标原点具有引力势■的地方量用的那只钟慢（1・二）倍。”时间，我们必须使用的钟当它移到左边原点时要比在坐标原点上量时间所时间，我们必须使用的钟当它移到左边原点时要比在坐标原点上量时间所C2在1911年的这篇论文中，爱因斯坦从等效原理出发，根据光的频率与引力势间的关系，结合波传播的惠更斯原理，得出结论说，光在经过引力场时，光的传播方向将发生偏折，偏折的方向朝向引力势减小的一侧，因而是朝向天体的那一边，偏转角的大小是■■——2kMcos■2kM此处k表示引力常数，M表示天体的质量，■表示光线c2.nr2c2■2同天体的距离。爱因斯坦根据这个公式，计算出“光线经过太阳附近因此要受到4«0・■0.83弧度秒的偏转。”尽管这个预言比建立完整的广义相对论后的预言小了一倍，但它在物理学发展史上却是首次提出引力场对光线传播的影响的惊人预言！在同一篇文章中，爱因斯坦还提出了检验这一预言的途径：“由于日全食时可以看到太阳附近的恒星，理论的这一结果就可以同经验进行比较”。他热切的呼吁：“迫切希望天文学家接受这里所提出的的问题，即使上述考察起来似乎是根据不足或者完全是冒险从事。”四、时空“柔性”度概念的建立从1907年提出等效原理和广义相对论原理的思想，到广义相对论的最终大功告成，前后共花了八年时间。为什么要这么长的时间呢？究其根源，仍然是时空最基本的一些概使爱因斯坦感到“困惑”，正是同时性的绝对长时期阻碍果他创建狭义相对论一样。在1946年发表的《自述》中爱因斯坦曾谈到困难产生的原因，他说：“其主要原因在于，要使人们从坐标必须直接的度规意义的这一观念中解放出来，可不是那么容易的。”1912年7月，爱因斯坦在布拉格工作期间写的一篇论文中，有下面一段不寻常的话：“对时空变换的最简单物理理解一定会失去，而且目前尚不知道一般时空变换方程会是什么样的形式。我请求所有的物理学家全力以赴解决这个问题！”1933年,爱因斯坦在格拉斯哥大学所作的报告中，也谈到果当时的困难：“不久我看出，接受了等效原理所要求的非线性代换，对于坐标的简单物理解释，无可避免的是致命的那就是说，不能再要求：坐标差应当表示那些用理想标尺或理想时钟所测得的直接量度结果。我被这一点知识大大困惑住了，因为它使我花了很长时间才看清坐标在物理学中的意义是什么。”所谓坐标“必须具有直接的度归意义”，指的是坐标差等于可量度的长度和时间，空间坐标差与可量度的空间间隔ds相对应，时间坐标差（时钟上的读数差）与可量度的时间间隔■ds2■dx2■dy2■dz2相对应，它们可以表示为这种可以直接量度的时空观是基于欧几里得■■t■t21几何基础上的物理学自古以来的传统观念；或者说，空间是欧几里得几何学的空间，时间是均匀流逝的时间。这里实际上包含了一个默认的假定：时空是“平直”的。因为只有在一个平直的空间里，才能建立一组正交坐标系。狭义相对论虽然克服了同时性的绝对性以及时间间隔。空间间隔的测量与参考系运动状态无关的传统观念，但仍然承认在同一个参照系中有统一的时间、空间的测量标准，既具有“刚性”的尺和“同步”的钟，空间长度、时间间隔的测量，仍然是于坐标差相对应的，其时空是均匀的和各向同性的。然而根据等效原理以及加速度的相对性，对于物理定律来说，不能再满足洛伦兹变换的协变性（因为它对应于速度的相对性），而应扩大为更普遍的非线性变换的协变性（这对应于加速度的相对性以及加速度与引力场之间的等效性）。在1909年〜1912年间，当爱因斯坦在苏黎世和布格拉大学讲授理论物理学的时候，他一直在思考这个问题。在1916年所写的《广义相对论的基础》这篇总结性的文章里，爱因斯坦讲到一个转动的刚性圆盘的假象实验。当刚性圆盘转动时，在处于中心轴处的观察者看来，就不存在静止的刚性尺和同步的钟，因为在不同的半径处，由于旋转的线速度不同，就在不同地点的尺子收缩的程度不同，中的变慢程度也不同，时空就失去了均匀性和各向同性，也即失去了“刚性”而具有“柔性”结构。从而其坐标差也就失去了直接量度的物理意义，爱因斯坦写道：“我们因此得到这样的结果”在广义相对论里，空间和时间的量不能这样来定义，即认为空间的坐标差能用单位量杆直接量出，时间的坐标差能用标准钟量出。”坐标失去了直接量度性之后，就只剩下“时空连续区”这一概念具有可观测性质，而坐标只能起到记录物理事件的时空连续区的作用了。根据等效效应，转动圆盘的惯性力与引力等效，因此爱因斯坦认识到，在引力场中欧几里得几何学不严格成立。就这样，爱因斯坦看到了引力与时空几何的关系，或者如他说称。他找到了他的理论与高斯球面的“接触点”，从而发现了长期感到困惑的问题的答案、这就是在引力场中必须放弃惯用的、仅只是用于平直时空的欧几里得几何学，寻找一种适用于类似转动圆盘时空特性的几何学。1912年，当爱因斯坦到苏黎世工业大学任教时，他以很接近与解决这个问题了。“在这里，海尔曼.闵科夫斯基关于狭义相对论形式基础的分析想的尤为重要。”在1916年所写的/《广义相对论的基础》中，爱